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#1 29-12-2017 12:47:13

lailaaa
Invité

matrice et application linéare

BONJOUR,

est ce que vous pouvez m'expliquer cette question ?

Soit V=R3(X) =( a+bx+cx²+dx3  / a b c d £ R )

soit A: V_V :p_ A(p) :=5p' - 2p montrez que A est linéaire et donnez la matrice de A dans la base

E :=(1;x;x²;x3)

Merci d'avance

Dernière modification par yoshi (29-12-2017 13:53:43)

#2 05-01-2018 15:20:20

Multimusicos
Membre
Inscription : 05-01-2018
Messages : 12

Re : matrice et application linéare

Je reformule la question parce que à lire comme ça c'est immonde:
Soit [tex]V=\mathbb{R}[X]=\lbrace aX^3+bX^2+cX+d\vert a,b,c,d\in\mathbb{R}\rbrace[/tex].
Soit [tex]A:\substack{V\longrightarrow V\\P\mapsto 5P^\prime - 2P}[/tex].
Montrer que A est linéaire et donnez la matrice de A dans la base [tex]E=(1,X,X^2,X^3)[/tex].

Pour répondre à la question, on regarde la question: montrer que A est linéaire. C'est quoi linéaire ? On regarde la définition: c'est une application qui vérifie les propriétés de linéarité.
Bon. A est une application ça va. Il faut vérifier les propriétés de linéarité:
(i) Pour [tex]P,Q\in V, A(P+Q)=A(P)+A(Q)[/tex]
(ii) Pour [tex]P\in V[/tex] et [tex]\lambda\in\mathbb{R}, A(\lambda P)=\lambda A(P)[/tex]

Autre méthode, plus élaborée: on sait que la dérivation [tex]D: \substack{V\longrightarrow V\\P\mapsto P^\prime}[/tex] est linéaire donc comme l'ensemble des applications linéaires de V dans V [tex]\mathcal{L}(V)[/tex] est un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel, alors
[tex] V=5D-2id_V\in\mathcal{L}(E)[/tex] est bien linéaire.

Continuons de regarder la question afin de répondre à la question: donnez la matrice de A dans la base E. Déjà il faut se rappeler de la définition de la matrice d'un endomorphisme dans une base.
Une fois qu'on se rappelle, la méthode classique de calcul est de calculer l'image de la base E par A donc calculer:
[tex]A(1),A(X),A(X^2),A(X^3)[/tex]
puis les décomposer dans la base E, ce qui donne les coefficients de la matrice, colonne par colonne.
Exemple: [tex]A(X)=5(X)^\prime-2X=5-2X[/tex] donc la deuxième colonne est [tex]\begin{pmatrix}5\\-2\\0\\0\end{pmatrix}[/tex].
À toi de trouver les autres colonnes parce que je vais pas tout te spoiler non plus.

Dernière modification par Multimusicos (05-01-2018 15:21:05)

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