Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 22-12-2017 12:38:11

yvesmarion
Invité

espace mesuré

Salut, S'il vous plait, j'ai besoin de votre aide pour resoudre ces deux questions independantes:

Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré.
1) Soit f $E \rightarrow \mathbb{R_+}$ une fonction mesurable. Soit $B=\left\{(x,t) \in E\times \mathbb{R}; 0<t<f(x)\right\}$. Prouver que $1_B \ est \ (\mathcal{A} \otimes B(\mathbb{R}),\mathbb{R})-mesurable.$

2) Montrer que $(E,\mathcal{A},\mu)$ est $\sigma-fini$ si et seulement s'il existe une fonction integrable strictement positif.

Pour 1), le raisonnement suivant que j'ai fait, est-il correcte :
je vais prouver que $B \in \mathcal{A} \otimes B(\mathbb{R}),$ pour cela je vais designer par $\pi_1$ et $\pi_2$ les applications definies par $\pi_1(x,t)=x \ et \ \pi_2(x,t)=t,$ on peut remarquer que $B=\left\{(x,t) \in E\times \mathbb{R}, \pi_2(x,t)>0 \right\} \cap \left\{(x,t) \in E \times\mathbb{R},f(\pi_1(x,t))-\pi_2(x,t)>0 \right\},$ or les fonctions $ \pi_2 \ et \ f \ o \ \pi_1-\pi_2$ sont mesurables alors $\left\{(x,t) \in E\times \mathbb{R}, \pi_2(x,t)>0 \right\}, \left\{(x,t) \in E \times\mathbb{R},f(\pi_1(x,t))-\pi_2(x,t)>0 \right\} \in \mathcal{A} \otimes B(\mathbb{R}),$ donc $B \in \mathcal{A} \otimes B(\mathbb{R})$ et parsuite $1_B$ est mesurable.

Pour 2) Pouvez vous, svp, m'aider à le resoudre ou me donner une piste.

merci

#2 22-12-2017 12:59:22

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

ce qui concerne la question 2) :

Pour le sens direct, on suppose que qu'il existe une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{A}$ tel que $E=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n}$ et pour tout $n \in \mathbb{N},\mu(X_n)<+\infty,$ mais comment trouver cette fonction f integrable et strictement positive?

Pour le sens reciproque, on suppose qu'il existe une fonction f integrable et strictement positif, qu'elle suite d'elements de $\mathcal{A}$ faut-il prendre de façon qu'elle verifie la $\sigma-finitude$.

#3 22-12-2017 14:31:13

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 797

Re : espace mesuré

Bonjour,

  Pour le 1), c'est parfait.
Pour le 2), sens direct, je te propose de prendre $f$ sous la forme $f=\sum_{n}a_n 1_{X_n}$ avec $(a_n)$ une suite strictement positive choisie de sorte que $f$ soit intégrable.

Pour le 2), sens réciproque, je te propose de choisir $X_0=\{x;\ f(x)\geq 1\}$ et pour tout $n\geq 1$, $X_n=\{x;\ 2^{-n}\leq f(x)<2^{-(n-1)}\}.$

F.

Hors ligne

#4 22-12-2017 22:21:29

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

Salut, pour le sens direct je vais chercher la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $\int_Efd\mu=\int_E\sum_{n\in \mathbb{N}}a_n1_{X_n}d\mu=\sum_{n \in \mathbb{N}}a_n\mu(X_n) $
alors il faut que la serie $\sum_{n \in \mathbb{N}}a_n\mu(X_n) $ converge et que $a_n\mu(X_n) >0$ mais il y a un probleme :
comment verifier que $1_{X_n}$ est strictement positif ? (elle prend les valeurs 0 et 1)
aussi on ne connait pas si $\mu(X_n)$ est non nul, sinon je peux prendre $a_n=\frac{1}{n^2\mu(X_n)}$

#5 23-12-2017 06:45:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 797

Re : espace mesuré

Pourquoi faudrait il que  $ a_n  \mu(X_n) $  soit strictement positif ? Si la mesure de  $ X_n $ est nulle le terme n'intervient pas dans la somme de la série...

Hors ligne

#6 23-12-2017 18:45:04

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

Pour verifier que $f=\sum_{n \in \mathbb{N}}{a_n1_{X_n}}$ est strictement positif, que pour tout n, $1_{X_n}\neq 0$ (en supposant que $a_n>0)$, cad il faut prouver qu'il existe $n_0$ tel que $X_{n_0}\neq$ est non vide, comment verifier qu'il existe un?

pour le choix de $a_n,$ (pour etablir que f est integrable), on a comme resultat :$\int_{E}{fd\mu}=\sum_{n \in \mathbb{N}}{a_n \mu(X_n)}$ et cette serie doit etre convergente, pour se debarasser de ce $\mu(X_n),$ je vais prendre $a_n=\frac{1}{n^2\mu(X_n)}$ mais comment s'assurer que $\mu(X_n)$ est different de 0 pour tout n ?(car $\mu(X_n)$ est au denominateur)

#7 23-12-2017 20:50:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 797

Re : espace mesuré

Si $\mu(X_n)=0$, tu n'as qu'à prendre $a_n=1$ car alors $a_n\mu(X_n)=0$.

Si tous les $X_{n_0}$ étaient vides, alors $E$ serait vide...

Hors ligne

#8 26-12-2017 14:41:10

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

Salut, alors pour la question 2), je pense qu'on peut le resoudre comme ça:

je vais distinguer 2 cas :
1er cas : Si E est vide, alors on a bien l'equivalence (pour le sens reciproque, on peut prendre f=1, d'integrale nulle sur l'ensemble vide, d'ou f est integrable et f>0)

2eme cas:
E est non vide,
sens direct : on suppose que $(E,\mathcal{A},\mu)$ est $\sigma-fini.$ alors il existe une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'elements de $\mathcal{A}$ tel que $E=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n}$ et pour tout $n \in \mathbb{N},\mu(X_n)<+\infty$, on designe par $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite definie par :
$u_n=\left\lbrace\begin{matrix} 1 \ si \ \mu(X_n)=0 \\ \frac{1}{n^2\mu(X_n)} \ si \ \mu(X_n)>0 \end{matrix}\right.$
Soit f la fonction definie par : $f=\sum_{n \in \mathbb{N}}{u_n1_{X_n}},$ et soit $B=\left\{n \in \mathbb{N};\mu(X_n)>0 \right\}$
puisque E est non vide, alors il existe $n_0$ tel que $X_{n_0}$ est non vide et pour tout $x \in E,u_{n_0}1_{X_{n_0}}(x)>0$ alors pour tout $x \in E$ f(x)>0, aussi $\int_{E}{f(x)}=\sum_{n \in \mathbb{N}}{u_n\mu(X_n)}=\sum_{n \in B}{\frac{1}{n^2}}\leq \sum_{n \in \mathbb{N}}{\frac{1}{n^2}}<+\infty$ ce qui prouve que f est integrable.


sens reciproque, on suppose qu'il existe une fonction f strictement positif et integrable, et on peut considerer la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ definie par $X_n=\left\{f>\frac{1}{n} \right\},$ on a bien $\bigcup_{n\in \mathbb{N}^*}{X_n}=E$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*,X_n \in \mathcal{A} \ et \ \mu(X_n)\leq n\int_E{f}d\mu<+\infty$

D'ou l'equivalence

On peut aussi, pour le sens reciproque, prendre votre exemple

#9 27-12-2017 13:57:35

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

Salut, une question, pour le sens reciproque, si on veut appliquer votre exemple alors on utilise que l'inegalité a gauche?
(ca veut dire $2^{-n}\neq f(x)$ pour obtenir $\mu(X_n)<2^n \int_{E}{fd\mu}$)

#10 27-12-2017 13:58:28

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

excusez moi je veux dire $2^{-n}<f$

#11 27-12-2017 14:02:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 797

Re : espace mesuré

Oui tu as raison !

Hors ligne

#12 27-12-2017 14:09:23

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

aussi, pour la suite $(u_n)$ definie ci-dessus, il faut distinguer deux cas ($\mu(X_n) >0 \ et \ \mu(X_n)0)$), on ne peut pas la definir d'une d'autre maniere qui ne distingue par de cas ??

merci pour l'aide

#13 27-12-2017 15:02:15

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

par exemple $f=\sum_{n \in \mathbb{N}}{\frac{1_{X_n}}{2^n(\mu(X_n)+1)}}$ (qui est strictement positif et integrable d'integrale plus petit que 2)

#14 27-12-2017 15:03:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 797

Re : espace mesuré

$ u_n=\frac{1}{n^2(\mu(X_n)+1)} $  si tu veux.

Hors ligne

#15 27-12-2017 15:06:13

yvesmarion
Invité

Re : espace mesuré

ca marche aussi (il faut enlever le 0 ie $n \in \mathbb{N}^*$)
merci pour l'aide!!!!

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?96 - 18
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums