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#1 12-12-2017 20:38:57

JackiJacko
Invité

Homéomorphisme et ouvert

Bonjour,

j'ai lu que la notion d'ouvert est une notion topologique. Je suppose qu'il existe des résultats du genre : si une partie d'un espace métrique est homéomorphe à un ouvert de ce même espace métrique alors elle est ouverte. Néanmoins je ne trouve ce genre de résultat nulle part. Quels sont les résultats généraux dans ce genre que l'on peut énoncer ?

Par avance merci

#2 12-12-2017 21:07:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Homéomorphisme et ouvert

Bonjour,

  La propriété que tu énonces est claire, car l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert!

F.

Hors ligne

#3 12-12-2017 21:13:39

JackoJacki
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Oui c'est un ouvert relatif, avec ce que vous dîtes si on a deux parties A,B homéomorphes d'un espace métrique E et A ouvert dans E, on obtient que B est un ouvert dans B mais pas dans E. N'est-ce pas ?

#4 12-12-2017 21:24:53

JackoJacki
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Par exemple,
si f:]-10,10[->[-1,1] est la fonction sinus, f est continue mais l'image réciproque du fermé [-1,1] de R est ]-10,10[ qui n'est pas un fermé de R, mais c'est bien un fermé de lui même.

#5 12-12-2017 21:43:17

JackoJacki
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Voici un autre exemple : f : [-1,1]->[-10,10] x -> sin x.
Alors l'image réciproque de ]-5,5[ est [-1,1] qui n'est pas un ouvert de R.

#6 12-12-2017 22:00:04

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Homéomorphisme et ouvert

Bonsoir,
Je pense que tu changes sans t'en rendre compte de topologie.
Si tu considère une fonction $f: E \to F$ et que tu dis qu'elle est continue, cela sous entend que chacun des ensembles $E$ et $F$ est muni de sa topologie. Si maintenant tu considères une partie $K \subset E$ et que tu considère la restriction $f|_K$ de $f$ à $K$, alors, quand on dit qu'elle est continue, c'est par rapport à la topologie induite sur $K$ !
L'image réciproque d'un ouvert de $F$ par $f|_K$ est un ouvert de la topologie induite et non d'origine.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#7 12-12-2017 22:02:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Homéomorphisme et ouvert

Je ne suis pas d'accord avec ton exemple : ton application n'est pas un homéomorphisme (elle n'est pas bijective).

F.

[edit : devancé par Yassine!]

Hors ligne

#8 12-12-2017 22:08:37

JackiJacko
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Yassine a écrit :

Bonsoir,
Je pense que tu changes sans t'en rendre compte de topologie.
Si tu considère une fonction $f: E \to F$ et que tu dis qu'elle est continue, cela sous entend que chacun des ensembles $E$ et $F$ est muni de sa topologie. Si maintenant tu considères une partie $K \subset E$ et que tu considère la restriction $f|_K$ de $f$ à $K$, alors, quand on dit qu'elle est continue, c'est par rapport à la topologie induite sur $K$ !
L'image réciproque d'un ouvert de $F$ par $f|_K$ est un ouvert de la topologie induite et non d'origine.

J'entends bien ce que tu dis mais cela ne répond pas à ma question et mes précédents messages étaient juste des exemples en lien avec le message de Fred. Voici comment il faut comprendre ma question : On peut démontrer que deux intervalles ouverts de R (munis de la topologie induite) sont homéomorphes mais qu'un intervalle fermé n'est pas homéomorphe à un intervalle ouvert --> Dans quelle mesure peut-on généraliser ce résultat ?

#9 12-12-2017 22:13:40

JackiJacko
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Fred a écrit :

Je ne suis pas d'accord avec ton exemple : ton application n'est pas un homéomorphisme (elle n'est pas bijective).

F.

[edit : devancé par Yassine!]

Je n'ai pas dit que mon application était un homéomorphisme, j'ai donné cette application juste pour vous préciser que ce vous disiez de marche pas si on ne parle pas d'ouvert relatif. Si on parle d'ouvert relatif évidemment une partie est ouverte dans elle-même mais je ne parle pas d'ouvert relatif dans ma question.

#10 12-12-2017 22:55:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Homéomorphisme et ouvert

Je ne suis pas sûr d'avoir compris parfaitement ta question, mais je pense que la réponse est non.
Prends par exemple $E=]0,1/2]\cup]1,2[$, muni de la distance usuelle (valeur absolue).
Prends $U=]0,1/2]$ et $V=]1,3/2]$. Alors $U$ et $V$ sont clairement homéomorphes, mais $U$ est un ouvert relatif de $E$ alors que $V$ ne l'est pas.

F.

Hors ligne

#11 12-12-2017 23:06:31

JackiJacko
Invité

Re : Homéomorphisme et ouvert

Merci de votre réponse, c'est ce genre d'exemple que je cherchais. Néanmoins, le résultat est-il vrai si on prend E = R^n ou un evn quelconque ?

#12 18-12-2017 09:20:35

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Homéomorphisme et ouvert

Bonjour,
Concernant la question de la généralisation, je pense qu'il doit être possible de montrer qu'une boule ouverte d'un $\mathbb{R}-$espace vectoriel normé n'est pas homéomorphe à une boule fermée (en construisant une bijection continue de $[0,1] \to  [0,1[$, ce qui serait une contradiction).

Pour des topologies d'un espace métrique quelconque, je ne pense pas que ce soit faisable (il existe je crois des exemples de distances pour lesquels tous les ouverts sont également fermés).

[EDIT]
Il faut que j'y repense un peu plus, je crois que l'exemple que j'avais en tête ne marche pas bien.

[EDIT2]
Je pense que ça marche. On se donne donc une boule ouverte $B(0,1)$ et on suppose qu'elle est homéomorphe à $\overline{B(0,1)}$ et on note $\varphi$ la bijection continue entre ces deux parties. On considère un vecteur $a$ non nul quelconque On construit alors la fonction $f: [0,1[ \to [0,1]$ par $f(\lambda)=\| \varphi(\lambda\dfrac{a}{\|a\|})\|$ et on peut montrer qu'elle est bijective et de par sa définition continue.

Dernière modification par Yassine (18-12-2017 09:51:15)


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