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salut maths

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ordre dans R

Bonjours

Soit a, b et c trois nombres réels positifs. tels que a+b+c = 1.

Montrer que:     (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≥ 4/3

merci beaucoup

Dernière modification par salut maths (03-12-2017 13:53:09)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : ordre dans R

Bonjour,

  Ma première idée, c'est de tout développer et de remplacer a+b+c par 1. L'inégalité que tu dois démontrer est alors
équivalente à $a^2+b^2+c^2\geq 1/3$ dès que $a+b+c=1$.

Ce n'est pas encore si facile!
J'utilise alors deux choses :

1. Si a+b+c=1, alors $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1$.

2. On a toujours $2ab\leq a^2+b^2$, $2ac\leq a^2+c^2$ et $2bc\leq b^2+c^2$ (car $(a-b)^2\geq 0$ par exemple...).
Ainsi, on a $1=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leq 3a^2+3b^2+3c^2$.

Et là, on conclut facilement.

F.