Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 03-12-2017 11:50:13

salut maths
Membre
Inscription : 03-12-2017
Messages : 1

ordre dans R

Bonjours

Soit a, b et c trois nombres réels positifs. tels que a+b+c = 1.

Montrer que:     (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≥ 4/3

merci beaucoup

Dernière modification par salut maths (03-12-2017 11:53:09)

Hors ligne

#2 03-12-2017 21:04:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 750

Re : ordre dans R

Bonjour,

  Ma première idée, c'est de tout développer et de remplacer a+b+c par 1. L'inégalité que tu dois démontrer est alors
équivalente à $a^2+b^2+c^2\geq 1/3$ dès que $a+b+c=1$.

Ce n'est pas encore si facile!
J'utilise alors deux choses :

1. Si a+b+c=1, alors $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1$.

2. On a toujours $2ab\leq a^2+b^2$, $2ac\leq a^2+c^2$ et $2bc\leq b^2+c^2$ (car $(a-b)^2\geq 0$ par exemple...).
Ainsi, on a $1=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leq 3a^2+3b^2+3c^2$.

Et là, on conclut facilement.

F.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?73 - 68
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums