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#1 30-11-2017 11:38:49

marcow
Invité

integrale et mesure

Salut, en resolvant des exercices en mesure et integration, j'ai arrivé a la question suivante qui me semble difficile :

Soit $(K,\mathcal{E},\nu )$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de fonctions (à valeur dans $\bar{\mathbb{R}}$) $\nu-$ integrable. On suppose que $(f_n)_{n}$ converge simplement vers une fonction f.
Prouver que si $sup_{n \in\mathbb{N}}\left|\int_K{f_nd\nu } \right|$ est fini alors f est $\nu-$ integrable.

j'ai bloqué sur cette question, s'il vous plait pouvez vous m'aider ou me donner une piste pour la resolution?

merci

#2 30-11-2017 21:23:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 750

Re : integrale et mesure

Bonsoir,

  Je décomposerais $f_n$ sous la forme $f_n=f_n^++f_n-$ où $f_n^+$ est la partie positive de $f_n$ et $f_n^-$ sa partie négative.
J'écrirais aussi $f=f^++f^-$. Par la croissance de la suite $(f_n)$, on a $f_n^+\leq f$ et $f_0^-\leq f_n^-\leq f^-\leq 0$. Ceci prouve déjà que $\int |f^-|d\nu$ est fini. D'autre part, il suffit par le théorème de convergence monotone de prouver que $\sup_n \int_K f_n^+ d\nu<+\infty$. Pour cela, tu peux écrire que
$$f_n^+=f_n-f_n^-\leq f_n-f_0^-$$
et normalement tu devrais être capable de conclure en utilisant l'hypothèse faite sur la suite $(f_n)$.

F.

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