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#1 04-10-2005 21:47:57

gouari
Membre
Inscription : 02-10-2005
Messages : 9

theoreme de superposition des solutions

bonjour/bonsoir tout le monde!
j'aimerais avoir l'ennoncé du theoreme de superposition des solutions pour les equations differentielles. quand est ce qu'on l'utilse? si possible des exemples.
merci d'avance et a bientot.

Hors ligne

#2 05-10-2005 06:56:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : theoreme de superposition des solutions

Dans mon esprit, le théorème de superposition des solutions est le suivant :
  si on considère une équation différentielle linéaire homogène (sans second membre), si u et v sont deux solutions de cette équation, alors toute combinaison linéaire au+bv est encore solution.

Maintenant, on parle aussi de superposition des solutions dans le contexte suivant : si on considère une équation différentielle avec second membre, alors toute solution est somme d'une solution particulière de l'équation, et de la solution générale de l'équation sans second membre.

Voici un exemple : on considère l'équation différentielle y'-y=-x.

On résoud d'abord l'équation homogène y'-y=0, dont (toutes) les solutions sont données par : y(x)=a*exp(x).
On cherche ensuite une solution particulière de l'équation : y'-y=-x. La forme de l'équation nous invite
à chercher une solution qui soit un polynôme de degré 1, et on constate que y(x)=x+1 est solution.
D'après le principe de superposition des solutions de l'équation, les solutions de l'équation différentielle sont exactement
les fonctions de la forme : y(x)=a*exp(x)+x+1.

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#3 22-10-2005 07:58:30

Au
Membre
Inscription : 22-10-2005
Messages : 22

Re : theoreme de superposition des solutions

bonjour,

à mon avis le principe de supeprposition auquel fait référence le 1er message est le suivant :
on prend une equa diff lineaire par ex du type
y''+ay'+by=c(x)+d(x)
et en fait pour la résoudre, on résout l'équation homogène associée et on cherche une solution particuliere u(x) de
y''+ay'+by=c(x)
et v(x) de y''+ay'+by=d(x)
alors la solution generale de l'equation sera
u+v+solution homogene...

Au

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