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#1 Re : Café mathématique » Problème d'allocation avec contraintes et exclusions » 28-04-2019 20:43:12

Re-bonjour,

J'ai regardé ce que cela pouvait donner par programmation.

La suite matricielle converge assez rapidement, et la limite obtenue vérifie les conditions imposées à condition de prendre pour les éléments de la matrice de transformation (à l'étape de rang k) l'expression:

tij = (p/q)1/2 , avec p = L°i*C°j et q = Sli*Scj .

Voici ce que l'on obtient au bout de 10 itérations:

k=10

Tous les éléments de la matrice (Tk) se rapprochent de l'unité, et l'on peut calculer la moyenne quadratique des 16 écarts

eij = (tij - 1) .

La condition d'arrêt du programme est ainsi toute trouvée: l'itération cesse lorsque l'écart-type de vient inférieur à un seuil convenu.
Voici la matrice limite obtenue dans le cas où elim = 10-7:

Résultat_2

On retrouve bien les proportions définies en début de discussion.
L'approche de la limite peut être poussée plus loin, pour des valeurs plus faibles du seuil:
     elim = 10-12     k = 265     Ec = 9.61E-13
     elim = 10-15     k = 339     Ec = 9.23E-16
     elim = 10-18     k = 412     Ec = 9.75E-19
     elim = 10-20     k = 468     Ec = 0

Le programme source est rédigé en Pascal.

#2 Re : Café mathématique » Problème d'allocation avec contraintes et exclusions » 28-04-2019 07:01:22

Bonjour,

Une suite de matrices (4x4) à éléments réels ne pourrait-elle pas convenir, pour approcher la solution ?

Chaque ligne pourrait correspondre aux subdivisions (A, B, C, D) de la 1ère catégorie, caractérisées par les proportions idéales (ou recherchées) L°i = (0.15, 0.10, 0.50, 0.25) pour i = (1, 2, 3, 4);
chaque colonne aux subdivisions (_1, _2, _3, _4) de la seconde, caractérisées par les proportions idéales  C°j = (0.20, 0.40, 0.10, 0.30) pour j = (1, 2, 3, 4) .

Le terme initial de cette suite serait représenté par la matrice M0 = [mij]0 , dont chaque élément admettrait pour valeur (mij)0 = L°i*C°j dans le cas d'une combinaison autorisée, zéro dans le cas contraire.

Second point: la relation de récurrence permettant de passer du terme de rang (k) au suivant (k+1); il faut disposer:
a) de la somme Sk de tous les éléments de la matrice (Mk) ,
b) des sommes partielles correspondant à chaque ligne (Sli)k (soit quatre termes dans le cas présent),
c) et de celles correspondant à chaque colonne (Scj)k (là encore, 4 termes).
Les deux séquences vérifient par définition:

Sk = (Sl1)k + (Sl2)k + (Sl3)k + (Sl4)k = (Sc1)k + (Sc2)k + (Sc3)k + (Sc4)k .

Les proportions de chaque subdivision de la première catégorie ont alors représentées par les rapports:

(pi)k = (Sli)k/Sk ≠ L°i,

celles de chaque subdivision de la seconde par les rapports:

(qj)k = (Scj)k/Sk ≠ C°j ;

ce qui conduit à envisager la matrice de transformation (Tk), dont chaque élément admettrait pour expression:

(tij)k = ((L°i*C°j)/((pi)k*(qj)k))1/2

La nouvelle matrice (Mk+1) pourrait alors résulter du produit terme à terme Mk+1 = Mk│Tk ,
où chaque élément serait simplement donné par

(mij)k+1 = (mij)k*(tij)k ;

les termes initialement nuls le resteraient indéfiniment.

Je n'ai aucune idée de la convergence de la suite engendrée, faute d'avoir abordé ce problème.
La convergence pourrait être constatée en calculant la norme euclidienne de la différence entre deux termes successifs

∆Mk = Mk+1 - Mk ;

Cette norme N(Ek) devrait tendre vers zéro - ou tout au moins devenir inférieure au seuil de précision attendu.
Autre critère, encore plus important finalement: s'assurer que les conditions recherchées sont bien vérifiées en calculant les écarts-types (uk, vk)  donnés par les relations:

4*uk2 = i=14((Sli)k - L°i*Sk)2   ,   4*vk2 = i=14((Sci)k - C°i*Sk)2

et qui doivent devenir très petits devant la moyenne des termes non nuls.

C'est un bon sujet de programmation.

#3 Re : Café mathématique » équation d'un triangle » 09-04-2019 13:29:45

Exemple: réseau de courbes admettant pour équation
(MA + MB - AB)(MB + MC - BC)(MC + MA - CA) = Constante
construit sur un triangle quelconque (ABC) - ici représenté en rouge, et correspondant à l'annulation du produit.

190409031215855336.png

Les graphes correspondent à des valeurs régulièrement espacées du paramètre sans dimension s = r1/3

avec r = q / Qref , q = (MA + MB - AB)(MB + MC - BC)(MC + MA - CA) et Qref = AB.BC.CA .

#4 Re : Café mathématique » équation d'un triangle » 09-04-2019 07:19:26

Salut,

1°) L'expression proposée (non vérifiée) ne concerne que l'un des côtés (AB) du triangle
on met sur [AB]un point Q(x,y) tel que AQ=ε
et non pas l'ensemble de la figure.
Et rien n'interdit d'envisager le point (Q) hors du segment [AB], en posant AQ = (ε/AB).AB ;
il vient alors: AQ = │ε/AB│.AB = │ε│, et l'on peut avoir: ε < 0  ou  ε > AB .

2°) Dans un plan, l'équation d'une figure fait intervenir deux variables de position - et non pas trois, comme dans la relation donnée où apparaissent (x, y) et (ε).
Elle s'écrirait F(x, y) = 0  (équation cartésienne),
ou ρ = G(θ) (équation polaire).

Sachant qu'une ellipse définie par MF1 + MF2 = d se réduit au segment joignant les foyers dans le cas limite de l'égalité: d = F1F2 ,
un triangle quelconque (ABC) admet pour équations équivalentes:

Min((MA + MB - AB), (MB + MC - BC), (MC + MA - CA)) = 0

(MA + MB - AB)(MB + MC - BC)(MC + MA - CA) = 0  .

#5 Re : Café mathématique » équation d'un triangle » 21-03-2019 20:12:22

Wiwaxia a écrit :

... Et pour un polygone régulier à (N) côtés circonscrit au cercle de rayon 1 centré à l'origine:

ρ = 1/cos(Arcsin(sin(Nθ/2))2/N) .

Une valeur fractionnaire de (N) conduit à un polygone étoilé.

Exemples: Cas de l'heptagone (N = 7 ; période = 2π)

Polygone 7/1

et du polygone croisé à 11 sommets (N = 11/5 ; période = 10π)

Polygone 11/5

#6 Re : Café mathématique » théorème » 21-03-2019 06:13:14

Bonjour,

algèbre 2001 a écrit :

... j'ai trouvé que lorsqu'on utilise les formules trigonométriques on va avoir S=PRτ (τ=(sin a  sin b  sin c)/(sin a + sin b + sin c ) et R le rayon du cercle circonscrit au triangle).
S en m^2 ; P en m ;Rτ en m. m^2=m*m. Lorsqu'on remplace Rτ par 1 on va obtenir S=P.

Le terme (T), qui ne fait intervenir que des fonctions trigonométriques, est dans dimension et il n'y a aucune raison d'écrire son symbole en indice; la notation (RT), qui tendrait à faire prendre le produit (R×T) pour une grandeur unique est fautive.
Prétendre "remplacer RT par 1" n'a aucun sens parce qu'il s'agit d'une longueur: on peut seulement, si l'on recherche des cas particuliers, envisager de remplacer RT par (P/5) , (S1/2/6) ou (a + 2b)/7 , par exemple.
La relation proposée S = PRT (non vérifiée, mais peu importe) est homogène puisque figurent de part et d'autre du signe d'égalité deux grandeurs de même espèce: US = UL2 , UPRT = UL×UL×1 = UL2 d'où US = UPRT .

algèbre 2001 a écrit :

... "Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent" ...

Il n'y a aucune relation concernant le triangle (ou toute autre figure) qui ne soit pas homogène; le défaut d'homogénéité constitue même un critère de détection des erreurs dans les formules.

http://debart.pagesperso-orange.fr/geop … rique.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_ci … n_triangle

#7 Re : Café mathématique » équation d'une droite » 19-03-2019 13:09:52

Bonjour,

L'équation y = ax + b apparaît ici inappropriée, et n'est plus viable dans le cas d'une droite parallèle à l'axe (y'y) ...

Le plus simple est d'envisager la droite (∆) normale en (H) au vecteur (OH), de longueur (d) et d'angle polaire
α = (ux, OH): OH = d.cos(α).ux + d.sin(α).uy ;
tout point (M) de (∆) vérifie la relation: (OHHM) = 0 , d'où:
(x - d.cos(α))d.cos(α) + (y - d.sin(α))d.sin(α) = 0 , soit encore:

cos(α).x + sin(α).y = d .

Une autre droite (∆') déduite de la précédente par une rotation d'angle (β) autour de l'origine admettra alors pour équation:

cos(α + β).x + sin(α + β).y = d .

Pour le retour aux équations cartésiennes dans leur forme initiale, faire les calculs (évidents).

#8 Re : Café mathématique » équation d'un triangle » 18-03-2019 23:00:06

@ Roro

Bonsoir,

On a aussi pour le carré Max(│x│, │y│) = 1 .

Et pour un polygone régulier à (N) côtés circonscrit au cercle de rayon 1 centré à l'origine:

ρ = 1/cos(Arcsin(sin(Nθ/2))2/N) .

Une valeur fractionnaire de (N) conduit à un polygone étoilé.

#9 Re : Café mathématique » équation d'un triangle » 18-03-2019 14:23:38

algèbre 2001 a écrit :

aucune réponse?

Et que vas-tu demander par la suite ? L'équation d'un carré ? Celle d'un pentagone ?

#10 Re : Café mathématique » théorème » 18-03-2019 14:10:43

algèbre 2001 a écrit :

Salut Wiwaxia vous avez dit que λ = µP/µA
donc je pense qu'on peut avoir λ à l'aide des formules trigonométriques.

Bonjour,

Non, car il ne s'agit pas de rechercher une éventuelle relation entre l'aire et le périmètre d'une figure (ici un triangle).

Le paramètre sans dimension (λ) est le rapport de deux mesures observées pour une figure initiale donnée, et liées à deux unités arbitrairement choisies:

λ = µP/µA = (P/uL)/(A/uA) = (P/A)(uA/uL) = P.uL/A si uA = uL2 .

Ce qui est en cause, c'est l'absurdité de l'énoncé initial, qui suppose l'égalité entre une aire et une longueur; quelle que soit la figure considérée, la relation A = P n'a aucun sens, à moins qu'on prenne le détour biaisé µA = µP évoqué auparavant.

Par contre, la recherche d'une autre égalité telle que A = P2/10 est tout à fait envisageable, parce que la relation est désormais homogène, et conduit à un résultat indépendant du système d'unités.

Autre contre-exemple: la formule de Héron S² = p(p-a)(p-b)(p-c)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron
qui relie l'aire (S) du triangle à son demi-périmètre (p = P/2) est bien homogène, puisque le carré de l'aire est proportionnel à la quatrième puissance d'une longueur.

Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent, qui vérifie dans le cas des aires et des volumes:

uA = uL2 et uV = uL3 .

#11 Re : Café mathématique » théorème » 17-03-2019 18:55:16

Bonjour,

oussama hajji a écrit :

...  si on prend un triangle quelconque tel que a ; b ; c sont ses angles
je veux savoir quand sa surface est égale à son périmètre.

Qu'il puisse intervenir une égalité entre une aire et une longueur, c'est pour moi une question qui n'a aucun sens, parce qu'il s'agit de grandeurs d'espèces différentes.
À moins qu'on ne s'intéresse qu'aux mesures des grandeurs considérées, rapportées à des unités de longueur (uL) et d'aire (uA = uL2) cohérentes et arbitrairement choisies: le problème est alors très artificiel, et admet une infinité de solutions.

Soit une figure plane quelconque (triangle, polygone, ...) de périmètre P = µP.uL et d'aire A = µA.uA .
Une seconde figure déduite de la précédente par une homothétie de rapport (λ) présentera un périmètre P' = λ.P , et une aire A' = λ2.A;
les mesures de ces deux grandeurs vérifieront par conséquent: µP' = λ.µP et µA' = λ2A ,
et si l'on veut de plus qu'elles soient égales: µP' = µA'
on obtiendra λ.µP = λ2A d'où: λ = µPA .
Il y a donc une solution quelles que soient la figure et l'unité de longueur choisies.

Cela me rappelle un règlement des années 60, concernant les maisons individuelles: la surface totale des fenêtres devait être au moins égale au 1/8 du volume de la pièce ... ce qui impliquait, au-delà d'un certain seuil, des pièces dépourvues de murs !
Cas d'un prisme droit à base carrée, de hauteur (h): il a pour volume V = a2h, et pour surface latérale S = 4ah ;
la condition S > V/8 entraîne 4ah > a2h/8 , donc a < 4*8 = 32 m (si le mètre est l'unité de longueur ...).

#12 Re : Café mathématique » À propos de notre ami Blaise Pascal » 17-03-2019 06:36:28

Bonjour,

dsb a écrit :

... Dans l'évangile de Saint Jean 3:12 il est écrit ceci

"Le vainqueur, je ferai de lui une colonne dans le Temple de mon Dieu ; non il n'en sortira plus , et j'écrirai sur lui le nom de mon Dieu et le nom de la ville de mon Dieu, la nouvelle Jérusalem qui descend du ciel d'auprès de mon Dieu, ainsi que mon nom nouveau  "
...

L'erreur est grossière. Le passage provient en fait d'Apocalypse 3:12.

Il conviendrait pour le moins de vérifier tes sources ... C'est à la portée de tout internaute honnête et conséquent, quelle soit sa culture.

Cette citation est doublement déplacée.

#13 Re : Entraide (supérieur) » Equation_Pendule de Foucault » 16-03-2019 13:38:18

@ Zebulor

Avec les mêmes conventions, ne pourrait-on pas envisager une solution légèrement différente:

x = a.cos(ω0t).cos(ω1t)
y = -a.cos(ω0t + ϕ).sin(ω1t)

et par dérivation:

x' = a[-ω0sin(ω0t).cos(ω1t) - ω1cos(ω0t).sin(ω1t)]
y' = a[ω0sin(ω0t + ϕ).sin(ω1t) - ω1cos(ω0t + ϕ).cos(ω1t)] ?

Cela donnerait à l'instant initial:

x0 = a ; y0 = 0 ; x'0 = 0 ; y'0 = - aω1cos(ϕ) ,

soit en tenant compte de la condition y'0 = 0 : cos(ϕ) = 0 d'où: ϕ = ± π/2 .

Il ne reste plus qu'à s'assurer que les nouvelles solutions (pour ϕ = + π/2)
x = a.cos(ω0t).cos(ω1t) ,
y = a.sin(ω0t).sin(ω1t)
vérifie bien l'équation différentielle. .

Je me demande si le fait de poser z = x + i.y (procédé élégant et efficace) n'a pas restreint l'éventail des solutions.

#14 Re : Entraide (supérieur) » Equation_Pendule de Foucault » 16-03-2019 10:22:51

@ Zebulor

En posant a = xm et ω1 = ω.sinλ , il vient:

x = a.cos(ω0t).cos(ω1t)
y = -a.cos(ω0t).sin(ω1t)

et par dérivation:

x' = a[-ω0sin(ω0t).cos(ω1t) - ω1cos(ω0t).sin(ω1t)]
y' = a[ω0sin(ω0t).sin(ω1t) - ω1cos(ω0t).cos(ω1t)] .

1°) On obtient à l'instant initial (t = 0): x0  = a ; y0 = 0 ; x'0 = 0 ; y'0 = -aω1 :
la vitesse initiale n'est pas conforme à la valeur attendue y'0 = 0 .

Zebulor a écrit :

... avec les conditions initiales : [tex]x(t=0)=x_m[/tex] ,  [tex]y(t=0)=0[/tex] et [tex]\dot y(t=0)=\dot x(t=0)=0[/tex] ...

2°) À chaque fois que le pendule atteint son écart maximal (t = k.T0/2 = k.π/ω0 , d'où: ω0t = k.π), on obtient donc:
xk = a.cos(k.π).cos(ω1t) = (-1)ka.cos(ω1t)
yk = -a.cos(k.π).sin(ω1t) = -(-1)ka.sin(ω1t)

x'k = a[- ω1cos(k.π).sin(ω1t)] = (-1)k+11.sin(ω1t)
y'k = a[- ω1cos(k.π).cos(ω1t)] = (-1)k+11.cos(ω1t)

et par conséquent
xkx'k + yk.y'k = -a2ω1cos(ω1t).sin(ω1t) + a2ω1cos(ω1t).sin(ω1t) = 0 .

Le vecteur vitesse est alors normal au vecteur position, conformément à ce que l'on recherchait, mais c'est bien l'une des rares propriétés communes de la trajectoire observée avec l'ellipse !
Le passage systématique du mobile par l'origine toutes les demi-oscillations:

t = (k + 1/2).T0/2 = (k + 1/2).π/ω0 d'où ω0t = (k + 1/2).π et x(t) = y(t) = 0

exclut qu'il s'agisse d'une ellipse: le point (0, 0) ne peut vérifier l'équation cartésienne de cette dernière, qui est du type

Ax2  + By2 + Cx + Dy = 1 .

La seule approximation envisageable vient de la relative lenteur de la rotation terrestre (ω1 << ω0), et consiste à envisager le cas limite: ω1 = 0 ; on a déjà vu que l'on obtient alors une droite (voir # 6).

Zebulor a écrit :

... Je crois comprendre que dans cet exercice, à la seule condition de faire l'approximation adéquate, on doit pour se ramener à l'équation ... d'une ellipse.

Je me demande depuis quelques messages si les équations horaires mentionnées sont correctes; je me suis jusque là contenté de les exploiter.
Intuitivement, la trajectoire d'un pendule lâché sans vitesse initiale dans le repère terrestre devrait présenter, en chaque position extrême, un point de rebroussement ... cela tient peut-être à très peu de choses, dans l'expression des solutions.
Ou alors, une donnée de l'énoncé a été négligée.

#16 Re : Entraide (supérieur) » Equation_Pendule de Foucault » 15-03-2019 12:03:53

Zebulor a écrit :

... néanmoins je ne vois pas encore comment trouver l'équation de cette fameuse ellipse ...

Ce n'est justement pas une ellipse, et il n'est donc pas possible de trouver l'équation cartésienne correspondante.
Si la Terre était immobile (ω = 0) ou si le Panthéon se trouvait à l'équateur (λ = 0), le pendule lâché sans vitesse initiale oscillerait dans un plan vertical fixe, et la projection orthogonale de son barycentre décrirait le segment rectiligne (AB) centré en (O), de longueur (2xm) et d'équation:

y.cos(θ0) - x.sin(θ0) = 0 ,

où (θ0) représente l'angle (ux, 0A) .
Il n'existe même aucune équation cartésienne, de quelque type que ce soit, dans la mesure ou le rapport q = ω0/ω est généralement quelconque, et irrationnel.

Ce n'est que dans le cas d'un rapport entier (ou rationnel simple ?) que l'on peut en trouver une, au prix de plus ou moins grandes complications.

#17 Re : Entraide (supérieur) » Equation_Pendule de Foucault » 15-03-2019 07:10:17

Bonjour,

Dans le repère du laboratoire, le barycentre du pendule décrit un mouvement oscillatoire de pulsation (ω0) sur une droite passant par l'origine, et tournant uniformément dans le plan horizontal à la vitesse angulaire (-ω.sinλ) - dans le sens rétrograde; ce qui peut se traduire par les relations:
OM = xm.cos(ω0t).u ,
(ux, u) = - ω.sinλ.t .

La trajectoire obtenue est une rosace aux boucles très resserrées, circonscrite par le cercle de rayon (xm) et centré sur l'origine.
Une ellipse "tournante" ne passerait pas par (O).

#18 Re : Entraide (supérieur) » Equa-Diff solution analytique ? » 12-03-2019 12:44:33

Pour la partie 2°b et 2°c je travailles avec des particules sphériques très fines ayant de vfin = 3 m/s ou vfin = 7 m/s
pour les plus grosses donc c'est pour cela que je ne souhaites pas négliger la vitesse du vent.

Les ordres de grandeur apparaissent mieux appropriés, au moins pour les vitesses.
Les hauteurs de chute se ramènent à quelques mètres, au moins pour la phase initiale du mouvement (h = v2/2g).
Si la hauteur totale est réellement de 3000 m, on pourrait peut-être considérer que la vitesse d'équilibre dynamique est quasiment atteinte sur la quasi-totalité du parcours, et envisager la résolution de l'équation différentielle approchée:

mg = -k(v - f(t))2

obtenue en négligeant le terme d'inertie (m│dv/dt│max << mg et │k│(v - f(t))2) .
Ce raccourci peut choquer, mais les matheux en donneront une version présentable.

L'équation simplifiée s'intègre facilement, à vue d'oeil.
[Là, je suis contraint d'interrompre]

#19 Re : Entraide (supérieur) » Equa-Diff solution analytique ? » 12-03-2019 09:00:47

Re-bonjour,

Je tente de répondre aux précisions que vous avez données.

1°) Il n'y a aucun vecteurs dans l'équation, un seul axe est concerné dans le calcul, celui de la chute verticale de la particule ...
on ne va étudier que le cas descendant mg + k(v-f(t))² sachant que k est signé (-) donc on a opposition des forces ...

J'ai bien compris que c'était un problème unidimensionnel, et que tous les vecteurs se réduisent à une composante unique; le choix d'un axe vertical orienté vers le bas conduit ainsi aux expressions:
g = g.uy ; v = v.uy ; γ = (dv/dt).uy ... etc
C'était une imprécision sans gravité.

2°) k est un coefficient constant en kg/m (k le coefficient de portée de l'air, et k(v-f(t))² la force de résistance de l'air) ça vaut -0.000102 kg/m ...
Le signe s'accorde avec la convention précédente, aux fortes valeurs de la vitesse. L'écriture de ce terme appelle cependant quelques remarques:
a) L'expression d'une loi de force fait en principe intervenir des constantes positives, à moins qu'il ne s'agisse de paramètres algébriques susceptibles d'inversion de signe; la résistance au mouvement exercée par le fluide ambiant devrait s'exprimer en fonction de la vitesse relative du mobile par une relation de la forme:
Fa = - k.│vr│vr , avec k = + 0.000102 kg/m .
b) Une chute libre d'une hauteur de 3000 m conduirait en l'absence de tout freinage à une vitesse finale

vfin = (2g.y0)1/2 = 243 m/s = 873 km/h .

Or tout se passant sur un axe unique, cela suppose l'intervention de vents verticaux qui pour avoir un effet sensible, devraient dépasser 100 km/h; c'est approximativement le seuil des plus violentes tempêtes observées sur Terre (~ 200 km/h), au sein desquelles circulent des vents horizontaux, exceptionnellement hélicoïdaux au coeur des tornades.
c) L'expression même de la vitesse relative vr = v - f(t) = v - exp-t implique pour l'air ambiant une vitesse positive, donc un vent descendant (pourquoi pas ?) au plus égal à 1 m/s, soit 3.6 km/h : est-il vraiment indispensable de maintenir ce terme, compte tenu des vitesses acquises au cours du mouvement étudié ?
La même observation vaut pour l'autre loi proposée (f(y) = e-y) .

3°) f(t) ou exp-t est un nombre en m/s c'est une vitesse également ...
L'écriture des expressions (v - e-t) , (v - e-y) est profondément choquante, parce qu'elles mêlent dans une même somme algébrique une grandeur physique (ici exprimée en m/s) à un autre terme dépourvu d'unité; et les arguments des exponentielles devraient être de même sans dimension ...
Il faut écrire, pour que cela ait un sens: (v - v1.e-t/T1) , (v - v1.e-y/y1) en précisant v1 = 1 m/s , T1 = 1 s , y1 = 1 m.
Il ne s'agit pas d'un simple point de grammaire: si l'on prend la peine d'écrire des équations homogènes, on dispose d'un moyen simple de vérification de tout ce que l'on peut en déduire: des éventuelles solutions analytiques, comme des grandeurs particulières (temps de parcours, vitesse finale, etc ...).
Il faudrait en fait reprendre tout l'énoncé, en ne faisant intervenir que des grandeurs sans dimension: c'est la démarche habituelle, pour décrire le comportement d'un système.

4°) De tout ce qui précède, on peut s'accommoder au prix de quelques corrections. Le reproche essentiel que l'on peut faire au problème posé, c'est qu'il n'a pas de sens physique, et débouche sur une équation différentielle insoluble.

#20 Re : Entraide (supérieur) » Equa-Diff solution analytique ? » 11-03-2019 21:50:19

Bonjour,

Je suis un peu décontenancé par la forme de l'énoncé, et la solution proposée. Mais peut-être ai-je mal lu ?

# Parlons tout de suite de la solution: l'équation différentielle à résoudre n'est pas du type dv/dt = u(t) , mais plutôt
dv/dt = u(v, t); et si l'on regarde de près l'expression de la dérivée:
(dv/dt) = g + (k/m)(v-f(t))2
les variables ne sont même pas séparables.
Je ne vois guère le moyen de la résoudre, à moins que quelque chose m'ait totalement échappé ...

# Ce qui me met beaucoup plus mal à l'aise, ce sont les anomalies physiques de l'énoncé.

1°) Le terme (v - f(t)) n'est pas homogène, parce que (v) représente une vitesse, tandis que f(t) = exp(-t) (selon l'énoncé) est un nombre sans dimension, indépendant du système d'unités choisi;
on devrait avoir: f(t) = v1.exp(-t) , la valeur de (v1) (donnée homogène à une vitesse) étant fixée pas l'énoncé.

2°) Les conditions initiales
v0 = 0 m/s
y0 = 3000 m
t0 = 0 s

font du mouvement étudié une chute libre sans vitesse initiale, dont la trajectoire est la verticale du lieu; cette chute est ralentie par la résistance de l'air, opposée à la vitesse du mobile donc dirigée vers le haut, tandis que le vecteur (v) est comme la force motrice (mg) dirigée vers le bas; les deux termes présentent donc des signes opposés, quelle que soit l'orientation choisie pour l'axe vertical (y'y): l'équation différentielle devrait ainsi s'écrire:
a) dans le cas d'un axe ascendant (v < 0): m(dv/dt) = - mg + k(v-f(t))2 ,
b) dans le cas d'un axe descendant (v > 0): m(dv/dt) = mg - k(v-f(t))2 .

3°) La présence du terme f(t) confère à l'équation une allure bizarre et gratuitement compliquée; l'auteur de l'énoncé initial aurait-il voulu tenir compte de ce que la résistance de l'air est proportionnelle à sa densité, laquelle est fonction exponentielle décroissante de l'altitude (si l'on convient d'un axe vertical ascendant) ?
Cela conduirait à une équation différentielle un peu modifiée:
m(dv/dt) = - mg + k(v.exp(-y/y1))2 ... dont la difficulté ne s'arrange pas !

4°) À propos du vent:
k(v-f(t)) = résistance de l'air appliqué sur la particule en prenant en compte la vélocité relative de la goutte par rapport à la vélocité du vent (ici une seule composante y il n'y a aucun vecteur).
Un mouvement unidimensionnel implique un vent vertical ... moi, je veux bien ...
La valeur de la constante (k) n'est pas donnée.

Mais il ne s'agit plus là de mathématiques, ni de physique, mais de la reconstitution hasardeuse de textes.

#21 Re : Café mathématique » tableau nombre premier » 23-02-2019 07:00:04

Bonjour,

J'ai eu quelques difficultés à suivre le fil logique de ces échanges.

Cependant je remercie rastarocco pour ses précisions concernant les test de primalité, et le théorème de Wilson (oublié depuis longtemps).

#22 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 26-01-2019 17:55:08

Bonjour encore une fois,

Michel Coste a écrit :

... Pour qui souhaite voir la "Anna" des délires de Dattier (vous allez être déçus !).

Mais non, au contraire, j'ai trouvé la vidéo passionnante, et seulement regretté sa brièveté !

#23 Re : Café mathématique » Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois. » 22-01-2019 09:31:53

Bonjour,

Larac a écrit :

Avez-vous testé avant de juger ? ...

J'ai regardé, justement, l'erreur est patente - page (3):

Exemples :
4807 (N) est mis en bijection avec 0,4807 (R)
1690 (N) -----------------------  0, 0169 (R)
       J’espère avoir répondu clairement à ta question.

Passons sur l'aspect bancal de l'application de l'ensemble des entiers naturels sur le domaine des réels [0 , 1[: il eût été plus simple de leur faire correspondre 0.7084 et 0.0961 - ou plus simplement encore le rapport x = N/(N + 1) .

Le seul (mais gros, très gros) ennui, et que tu ne trouveras aucun entier naturel qui soit par ton procédé l'antécédent de
(1/2)1/2 = 0,70710678118654752440084436210485...
Qu'écriras-tu en effet ? 707 ? 707106 ? 707106781186547524400844 ?

L'ensemble des images obtenues est celui des nombres décimaux appartenant à [0 ; 1[, admettant pour expression (p/10q) et sous-ensemble des rationnels du même domaine.
En sont par définition exclus tous les nombres irrationnels, et rien d'étonnant donc à ce qu'il soit dénombrable: tu t'es fabriqué un ensemble de réels lacunaire, une sorte d'éponge dont tu oublies candidement les trous ...

J'ajoute qu'affirmer froidement

Larac a écrit :

... L’utilisation scientifique de la diagonale de Cantor: c’est relativement simple, c’est clair, net, et faux ...

dénote une immense vanité, pour ne pas dire plus: chercher l'erreur de ton raisonnement eût été pour toi  beaucoup plus avisé et instructif.

Mais je n'ai pas la témérité de croire que tu sois accessible à l'ombre d'un doute.

#24 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dimensionner un rectangle dans un rectangle » 19-12-2018 22:11:21

Une variante consistant toujours à introduire un paramètre sans dimension, ici le rapport du grand côté au petit, pour le rectangle inscrit (IJKL): r = D/C .
La similitude des triangles rectangles se traduit par la série d'égalités:
u'/u = v'/v = D/C = r ;
par ailleurs, l'aire du grand rectangle est égale à la somme de celles du rectangle inscrit, et des quatre triangles adjacents, d'où:
A.B = C.D + (2/2)(u.v) + (2/2)(u'.v') ,
ce qui conduit à
r.C2 = A.B - u.v(1 + r2) .

En tenant compte de ce que l'on a par ailleurs:
A = u + r.v , B = v + r.u ,
il vient : u(1 - r2) = A - r.B , v(1 - r2) = B - r.A ,
ainsi que l'équation finale correspondant à un polynôme de degré 5:
C2.r = A.B - (A - r.B)(B - r.A)(1 + r2)/(1 - r2)2 .

La résolution par un processus itératif semblable au précédent conduit à r = 3.271060 13 ; la convergence est cependant beaucoup plus lente.
On obtient à partir de là: D = r.C = 98.131804 ,
et pour vérification de l'accord avec la première solution proposée (#3):
u = (A - r.B)/(1 - r2) = 14.982680 .

Pour comparaison, on trouve en exploitant au maximum les possibilités de la calculatrice:
D#4 = 98.131 803 899 202 ,
D#5 = 98.131 803 899 199 .

#25 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Dimensionner un rectangle dans un rectangle » 19-12-2018 20:50:05

Bonsoir,

J'ai repris la figure telle qu'elle était donnée, en ne modifiant que la notation (X) - changée en (D).

181219075123504746.png

Il vient à partir des termes introduits:

# u = C.Sin(t) ,
   v = C.Cos(t) , d'où: C = (u2 + v2)1/2 ;

# u' = D.Sin(t) ,
   v' = D.Cos(t) , d'où:  D = (u'2 + v'2)1/2 ;

# u' = B - v ,
   v' = A - u , d'où compte tenu des relations précédentes: Tan(t) = u/v = (B - v)/(A - u)
et finalement: A.Sin(t) = B.Cos(t) - C.Cos(2t) ,
dont la solution (strictement comprise entre 0 et 45° si B<A) est donnée par la limite de la suite:
tk+1 = Arcsin((B.Cos(tk) - C.Cos(2tk))/A) .

En reprenant les valeurs proposées: A = 100 , B = 75 , C = 30 ,
on obtient: t = 29.961810 °
u' = B - C.Cos(t) = 49.009246
v' = A - C.Sin(t) = 85.017320
D = (u'2 + v'2)1/2 = 98.131804 .

Les résultats numériques confirment ceux de la solution précédente (u = 14.982680), réserve faite de la dérive concernant le dernier résultat.

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