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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 17-10-2018 17:37:37

Bonjour et merci pour votre aide

Mais le résultat que vous me proposez, je l'ai déjà trouvé et c'est d'ailleurs les réponses que j'ai proposé au premier post

Si j'ai calculé $f(x) = 0 $ ( c'est ce que je faisais l'an passé en seconde ) c'est simplement pour m'entrainer  et j'ai demandé de l'aide pour faire ce calcul  (hier j'avais du temps pour le faire )


je suis parti de $2x^2 - 8x + 5 = 0 $ puis je suis arrivé à : $2\left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right] = 0 $

$<=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \left(x - 2 + \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 0$


et là, j'ai demandé de l'aide sur le forum parce que je ne savais pas comment faire pour simplifier les fractions avec les racines.

voilà..

merci à Yoshi

#2 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 17-10-2018 11:56:14

Bonjour Yoshi

J'ai mis un moins devant parce que ça peut être aussi un nombre négatif, si on utilise la racine carré , au départ on peut aussi avoir un nb négatif

je continue le calcul

$\left[\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right] \left[\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right] = 0 <=> \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \sqrt{2}\left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0$


$ \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \sqrt{2}\left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0 <=> \sqrt{2}\times \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right]= 0$

propriété : $\sqrt{x}\times \sqrt{x} = x $

$\sqrt{2}\times \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right]= 0<=>2\times  \left[(x - 2) ) -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x -2) +\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0$

$ <=>2\left[(x - 2) ) -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x -2) +\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0 <=> 2\left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) +\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\right] = 0 $

$<=> 2 \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{6}}{2}\right] = 0$

#3 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 17-10-2018 11:10:02

Bonjour ,

$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=> \left(\sqrt{2}\right)^2 \times \left(x  -  2\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 0 <=> \left(\sqrt{2}(x - 2)\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 0 <=> \left(\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right)=0$

$<=> \left(\sqrt{2}(x - 2 ) - \sqrt{3}\right) = 0 $ ou bien $\left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right) = 0 $

1 er cas :

$\left(\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right ) = 0 $ ou bien $\left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right) = 0 $

2e cas :

$\left(-(\sqrt{2}(x - 2)) - \sqrt{3}\right ) = 0 $ ou bien $\left(-(\sqrt{2}(x - 2)) + \sqrt{3}\right ) = 0 $

#4 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 19:14:19

au départ, j'ai calculé les racines avec géogébra et puis, comme je me suis dit je vais quand même faire le calcul
et bien je suis en train de me dire que j'ai bien fait
ce calcul est vraiment intéressant

$2 \left(x - 2\right)^2  - 3 $

mon $A$ c'est : $\sqrt{\left( 2(x - 2)^2\right)}$

c'est à dire : $\sqrt{2 (x-2)^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{(x-2)^2} = \sqrt{2} \times (x - 2 )$


mon $B$ c'est $\sqrt{3}$


c'est passionnant !

#5 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 17:04:19

oui, je vais faire les deux, comme j'ai le temps aujourd'hui...

tu me dis que la factorisation est fausse, donc je reprends le truc :
$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 $

je cherche à mettre sous la forme $A^2 - B^2  $

(j'ouvre une parenthèse et je sors un peu de la question posée)
c'est le même principe que pour passer de : $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2  - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}= 0 $

à : $ a\left(x + \frac{b }{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right)\left(x +  \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right) = 0 $

$b^2 - 4ac >0 $ donc je peux chercher une forme $A^2 - B^2 $

ici on a $ A =\left( x + \frac{b}{2a}\right)$ et le $B$ c'est $\left(\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right)$


mais pour ici , pour $2(x - 2)^2 - 3 = 0$

mon $A$ c'est bien $\left(x - 2\right)$ d'accord ?

et mon $B$ est bien c'est $\sqrt{3}$

#6 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 16:14:00

$2 \left(x - 2 - \sqrt{3}\right) = 0 <=> 2x - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 <=> 2x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} <=> x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{2}}$

#9 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 15:59:07

pour avoir les Deux racines je résous   l'équations $2x^2 - 8x + 5 = 0$

et l'équation admet 2 solutions $x_1 = ..$ et $x_2 = .. $



$2x^2 - 8x + 5 =  0 <=> 2 \left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right] = 0 $

je redistribue le 2 sur le carré et sur la fraction

il vient $2 \left(x - 2\right)^2 - 3  = 0 $

je continue pour avoir la forme $A^2 - B^2 $

$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{3}\right) \left( x - 2 + \sqrt{3}\right) = 0$

#10 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 15:00:30

pour déterminer la forme canonique de la fonction $2x^2 -8x + 5$

j'ai saisi $2x^2 - 8x + 5$

j'ai tapé forme et d'après l'aide à la saisie j'ai sélectionné avec la souris forme canonique <Fonctions 2d degré>
et j'ai mis f entre les <>.
géogébra me donne le résultat $2 \left(x - 2\right)^2 - 3$.

et moi je fais ça :

$2x^2 - 8x + 5 <=> 2 \left[x^2 - \frac{8}{2}x + \frac{5}{2}\right]  <=> 2 \left[x^2 - 4x + \frac{5}{2}\right]  $

pour arriver ( après factorisation ) à :

$2\left[x^2 - 4x + \frac{5}{2}\right]  <=> 2 \left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right]  $

#11 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 14:23:19

théoriquement , le produit de 2 facteurs me donne les 2 racines, enfin comme je faisais en seconde en calculant $f(x) = 0 $
et je n'arrive pas trouver $ \frac{\sqrt{6} - 4}{2}$ et $ -\frac{\sqrt{6} - 4}{2}$

#12 Re : Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 14:12:43

Bonjour Yoshi



en fait (hier) j'ai fait ça mais cela n'a pas abouti

$2x^2 - 8x + 5 = 0$

mise en facteur de $2$

$2x^2 - 8x + 5 = 0 <=> 2\left(x^2 - \frac{8}{2}x + \frac{5}{2}\right) = 0 <=> 2\left((x - 2)^2 - 4 + \frac{5}{2}\right) = 0 <=> 2\left((x - 2)^2 -\frac{3}{2}\right) = 0$

$2\left((x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right) = 0 <=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \left(x - 2 + \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 0 <=> 2 \left( x - 2 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) = 0$

#13 Entraide (collège-lycée) » racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5. » 16-10-2018 13:27:13

leo0
Réponses : 20

Bonjour

Je dois trouver la forme factorisée de la la fonction $f(x) = 2x² - 8x + 5$

les calculs suivants me donne les 2 racines :
$\Delta = b² - 4ac = (-8)² - 4 \times 2 \times 5 = 64 - 40 = 24 $

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6}  = 2 \times \sqrt{6}$

$x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{8 - 2\sqrt{6}}{2\times2}$

$x' = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{2\times2}$

seulement, je n'arrive pas à trouver le même résultat que géogébra
dans affichage, j'ai validé l'option calcul formel et j'ai saisi la fonction $2x^2 - 8x + 5 $
et j'ai déterminé la forme factorisée mais je n'arrive pas à trouver le résultat de géogébra
Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

#14 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 18:34:23

$(A - B) (A + B) = A^2 - B^2 $

$A = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 $

pour B , je dois prendre $ \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$

ce qui me fait souffrir , c'est de trouver  $B^2$ (pas évident )

si j'ai $x^2 - k = 0 $

c'est $(x - \sqrt{k}) (x + \sqrt{k}) = 0 $

#15 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 18:19:12

$x_1 \times x_2 = \left[\left(\frac{-b}{2a} \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right]$

double distributivité

$ \left[\left(\frac{-b}{2a} \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = \left(\frac{-b}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \left(\frac{-b}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) + \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) +\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$


premier quotient :

$\left(\frac{-b}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) = \frac{b^2}{4a^2}$

les deux suivants s'annulent et après c'est la racine de $\Delta$ multipliée par elle - même $ \sqrt{x}  \times \sqrt{x} = x $

$\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = \frac{-\Delta}{4a^2}$


Finalement

$x_1 \times x_2 = \frac{b^2}{4a^2} + \frac{-\Delta}{4a^2} $

pour faire apparaitre la lettre $c$ je vais dire que $\Delta = b^2 - 4ac$

ça me parait bon ?

#16 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 17:54:33

je fais le plein d'essence du quad et je continue

#17 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 17:45:48

Bonsoir Yoshi

[tex]f(x)=ax^2\quad\quad\quad\quad+\;bx\quad\quad\quad\quad+c[/tex]
[tex]f(x)=a(x_1+x_2)x^2-b(x_1+x_2)x+ax_1x_2[/tex]


j'ai vu que tu as mis des quad dans ta formule , il faut y aller en quad ?

#18 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 17:22:31

j'ai déjà trouvé , regarde  dans mon premier message

$ax² + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2) = ax² - a (x_1 + x_2) x + x_1 \times x_2 $

ainsi, les deux polynômes sont égaux par conséquent leurs coefficients aussi

pour x
j'ai une première égalité $ b = -a (x_1 + x_2) $ qui me donne $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

et pour x°
l'autre égalité me donne $x_1 + x_2 = \frac{c}{a} $

mais ça c'est bon, je sais le faire

#19 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 16:02:26

Bonjour Freddy , merci également de m'avoir répondu

pour l'identité remarquable, j'ai ma petite idée mais je vais continuer ce que j'ai commencé, d'accord ?



alors, j'ai un produit  ( 2 facteurs ) : $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} $

je peux dire pour la première fraction $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} $

et la  pour deuxième fraction $ \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

maintenant je fait mon calcul en appliquant double distributivité $ \left(\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left( \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$

#20 Re : Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 15:31:33

bonjour

avant d'essayer avec l'identité remarquable, j'aimerais continuer le développement

est ce que je peux écrire :

$\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a}   + \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$

#21 Entraide (collège-lycée) » Produit des racines » 05-10-2018 13:40:50

leo0
Réponses : 14

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la deuxième partie de mon exercice

intitulé : SOMME DES RACINES D ' UN TRINOME

on considère un trinôme de degré 2 a x² + bx + c et son descriminant $\Delta = b² - 4 ac$
on suppose que $\Delta > 0 $ et on note $x_1$ et $x_2$ les deux racines du trinôme.

1 ) Calculer $x_1 + x_2$

j'ai trouvé -b/a en additionnant les formules $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} $ et $ \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} $

2 ) Calculer $x_1 \times x_2$

3 ) Johan affirme qu'il a trouvé la réponse sans additionner les racines. Comment a t-il fait ?

si le trinôme admet deux racines alors il se factorise

donc $ax² + bx + c = a \left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right) = a \left(x² - x\times x_2 - x_1 \times x + x_1 \times x_2\right)$
$ax² + bx + c = a \left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right) = a \left(x² - (x_2 + x_1) x + x_1 \times x_2\right) = ax² - a (x_2 + x_1) x + a x_1x_2$
les 2 polynômes $ax² + bx + c $ et $ ax² - a (x_2 + x_1) x + a x_1x_2$ sont égaux, leurs coefficients aussi.

pour $x$ 
l'équation $b = (x_1 + x_2) x$ me donne $x_1 + x_2= \frac{b}{a}$


je bloque sur la 2 )

Ai-je le droit d'écrire ça :
$x_1\times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \left( \frac{-b}{2a}  \right)+ \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

#22 Re : Entraide (collège-lycée) » DM géométrie » 01-10-2018 19:47:33

Pythagore ne va pas être content s'il voit que j'ai mal écrit son nom...

#23 Re : Entraide (collège-lycée) » DM géométrie » 01-10-2018 18:43:56

salut
moi, j'ai jamais pompé, cela ne m'est jamais venu à l'idée
(ma mère est prof d'histoire géo, elle en prend tous les jours en train de pomper)

et utiliser deux fois le théorème de Phytagore pour avoir la longueur et la largeur
tu en penses quoi ?
j'ai essayé mais j'arrive à un calcul long, c'est normal ?

#24 Re : Entraide (collège-lycée) » DM géométrie » 01-10-2018 18:08:43

Le prof a quand même parlé de l'aire du triangle $QAM$ 

aire $QAM  = \frac{L \times l}{2} = \frac{ x (4 - x)}{2} = \frac{4x - x²}{2}$

aire $MBN = \frac{L \times l}{2} = \frac{x (4m - x)}{2} = \frac{4mx - x²}{2} $

aire des 4 triangles = $\left[ 2 \times \frac{(4x - x²)}{2} + 2 \times \frac{4mx - x²}{2}\right] = \left(4x - x² + 4 mx - x² \right) = \left(-2x² + 4x + 4mx \right)$

puis  $f(x) = 16 m - \left(-2x² + 4x + 4mx \right)  = 16m + 2x² - 4x - 4mx  = 16 m + 2x² - 4x (m + 1)$



ce n'est pas demandé, mais au départ, j'ai essayé de calculer $aire_{MNPQ} $ en appliquant directement $MN \times QM$

dans le triangle $QAM$ j'ai trouvé $QM² = 2x² -8x + 16 $ et $MN² = 2x² +16m² - 8mx$
puis j'ai pris les racines pour avoir les longueurs mais en multipliant j'arrive à un calcul drôlement long

#25 Entraide (collège-lycée) » DM géométrie » 01-10-2018 15:17:24

leo0
Réponses : 6

Bonjour,

$ABCD$ est un rectangle, $M,N,P$ et $Q$ sont respectivement les points de $[AB]$ $[BC]$ $[CD]$ et $[DA]$ tel que $AM = BN = CP = DQ$
[AD] = 4 cm et $[AB] = AD \times m$ où $m$ est un réel compris entre $0$ et $3$.
on pose $AM = x$ et on note $f(x)$ l'aire du rectangle MNPQ en fonction de $x$.

1- démontrer que $f(x)= 2x² - ( 4 + 4m ) x + 16 m $

2- calculer la forme canonique

3 - en déduire les variations de $f(x)$, son extremum et la valeur pour laquelle il est atteint


$f(x) = aire  (ABCD) - 2 \times aire  triangle ( QAM) + 2 \times aire  triangle (MBN) $

Aire du triangle $QAM$

$QAM = \frac{AM \times QA}{2}  = \frac{x \times (4 - x)}{2} =  \frac{4x \times  -x^2}{2} $


puis l'aire du triangle $MBN$

$MBN = \frac{MB \times BN}{2} = \frac{4mx - x²}{2} $




$f(x) = 16 m - \left[2\times \frac{(4x \times - x²)}{2} + 2\times \frac{(4mx - x²)}{2}\right] $

les $2 $ se simplifient en haut et en bas, pour avoir :

$f(x) = 16 m - \left((4 x \times - x² ) + (4mx - x²)\right)$

$f(x) = 16 m - \left(-2x² + 4x + 4mx\right) = 16 m + 2x² - 4x - 4mx = 16 m + 2x² -   (4  + 4m) x$



avant de tout recopier, j'ai essayer une autre méthode

dans le triangle $QAM$

$AM² + AQ² = QM²$
<=>
$x² + (4 - x )²  = QM²$
<=>
$x² + (16 - 8x +x²)  = QM²$
<=>
$QM = \sqrt{2x² - 8x + 16}$
<=>
$QM = 2x + 2\sqrt{2}x + 4$


dans le triangle $MBN$

$MB² + BN² = MN² $
<=>
$(4m - x)² + (x)² = MN²$
<=>
$16m² - 8mx + 2x² = MN²$
<=>
$MN  = \sqrt{2x² + 16m² -8mx} = \sqrt{2x + 4m - 2\sqrt{2}mx}$


je voudrais calculer l'aire mais yé ouné drôle dé multiplication

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