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#2 Entraide (supérieur) » Gros doute sur une démonstration (isomorphisme) » 09-03-2018 11:59:53

Ablaise
Réponses : 2

Bonjour,

Je cherche à répondre à cette question:
E est un espace euclidien
On note [tex] \varphi_a: x\mapsto(x|a) [/tex] et [tex] \varphi:a\mapsto\phi_a[/tex] l'application de E dans [tex]L(E,\mathbb{R})[/tex].
Montrer que  [tex] \varphi[/tex] est un isomorphisme.

Le côté linéaire de [tex] \varphi[/tex] pas de problème.

J'ai posé [tex] \psi[/tex] de [tex]L(E,\mathbb{R})[/tex] dans E l'application [tex] \psi:f\mapsto\sum_{1<=i<=n}f(e_i)e_i[/tex] avec
[tex] (e_i)_i [/tex]une base de E

Alors [tex] \forall f\in L(E,\mathbb{R}), \forall a\in E,\varphi(\psi(f))(a)=\varphi(\sum_{1<=i<=n}f(e_i)e_i)(a) =(\sum_{1<=i<=n}\varphi(f(e_i)e_i))(a)=(\sum_{1<=i<=n}f(e_i)\varphi(e_i))(a)[/tex]
[tex]=\sum_{1<=i<=n}f(e_i)(a|e_i)=f(a)[/tex]
D'où [tex]\psi=\varphi^{-1}[/tex] dont la linéarité est facile à montrer.
Ainsi [tex] \varphi[/tex] est un isomorphisme.

Merci de me donner votre avis sur cette démonstration.

#3 Re : Entraide (supérieur) » démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie. » 29-01-2018 16:26:23

Merci de ta réponse.

Je précise un peu ma recherche:

Au départ on me demande de vérifier que [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt,[/tex] est un produit scalaire.
Cette application est clairement bilinéaire symétrique et positive.
Je veux donc démontrer qu'elle est définie.
Pour moi du fait que (1-t²) s'annule en 1 je dois justifier que f est forcément nul en 1.
Je suppose donc qu'il existe [tex]\alpha\ne0/f(0)=\alpha[/tex] et [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt=0,[/tex]
et je montre grâce à la continuité de f que dans ce cas [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt\ne0,[/tex]
Contradiction donc f constante égale à 0.

Je me suis donc demandé si [tex]h(t)\ne0[/tex] sur ]0,1[ était une condition nécessaire et suffisante pour avoir [tex]\int_0^1f(t)g(t)h(t)dt,[/tex] est un produit scalaire.

J'ai ma réponse sur ce point.

Donc si j'ai bien compris ce que tu m'as dit, je peux dire que [tex], (h\in C^0([0,1],\mathbb{R})[/tex]
([tex]h(t)>=0[/tex] sur ]0,1[ et h s'annule en un nombre fini de point) est une condition nécessaire et suffisante pour avoir [tex]\int_0^1f(t)g(t)h(t)dt,[/tex] est un produit scalaire.

#4 Entraide (supérieur) » démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie. » 29-01-2018 14:50:09

Ablaise
Réponses : 4

Bonjour,

Voila mon problème, je cherche une condition sur h pour que [tex](f,g)\mapsto \int_0^1\,f(t)g(t)h(t)\,dt, { } f,g,h\in C^0([0,1],\mathbb{R})[/tex] soit un produit scalaire.

Le seul point bloquant est le côté définie de cette application.
Intuitivement je pense que  l'application est une produit scalaire si [tex]\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne0[/tex]

Problème je ne suis pas persuadé de ma démonstration et je n'arrive pas à l'écrire rigoureusement:
Supposons qu'il existe [tex] \alpha \in ]0,1[ / h(\alpha)=0[/tex]
dans ce cas il est possible d'avoir [tex]f(\alpha)\ne0[/tex] sur un intervalle du type [tex]]\alpha-\delta,\alpha+\delta[[/tex] et donc l'application n'est pas définie.
D'où (contraposée) l'application est définie si [tex]\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne0[/tex].

Merci d'avance pour vos remarques.

#6 Entraide (supérieur) » Coordonnées de vecteurs dans un sous espace vectoriel et déterminant. » 23-10-2017 15:11:41

Ablaise
Réponses : 2

Bonjour,

j'ai une petite question,
Soit E un espace vectoriel de dimension n et (ui)1<=i<=m (m<n) une famille libre de vecteurs de E.
Je pose vi=xi,1u1+...+xi,mum avec pour tout (i,j) xi,j réels.
Puis je dire que la famille (vi) est libre car le déterminant de la matrice des coordonnées des vi dans la base (u1,...,um) du sous espace vectoriel de E Vect(u1,...,um) est non nul?

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