Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Roro,

Je n'avais pas fini d'écrire mon message. Je suis d'accord avec toi, mais pour tester si une famille de fonctions "convient" il faut bien essayer des exemples de fonctions de cette famille, c'est à dire calculer les paramètres ajustables avec des méthodes de régression non-linéaire et voir si le résultat est acceptable par rapport au critère que l'on s'est fixé.

Bonjour Roro,
N'aie crainte, je ne l'ai pas mal pris du tout. Ma remarque s'adressait uniquement à Pharès qui semblait me soupçonner de ne pas vérifier mon résultat avant de le publier.

Bonjour Pharès,
Par hasard serais-tu membre de la CPEM dont un précepte favori est : << Demander à autrui de vérifier ce que l'on pourrait vérifier soi-même >>.
CPEM = Confrérie des Partisans de l'Effort Minimum.

Bonjour,
écrire l'équation sous la forme :
$y'\sin(y)=\frac{y'}{x^2}-\frac{2y}{x^3}$
qui est directement intégrable.
Note: La solution sera obtenue sous la forme d'une équation implicite $f(x,y)=c$ avec $c$ constante arbitraire.
On peut ensuite écrire explicitement la fonction $x(y)$.
Mais on ne peux pas écrire explicitement la fonction réciproque $y(x)$. Il faut se contenter de la solution implicite.
Si c'est dans le contexte d'un problème de physique, soit calculer numériquement  $y(x)$ pour chaque valeur numérique de $x$ donnée, soit exprimer approximativement $y(x)$ sous forme de série limitée valide sur un domaine limité de $x$.

La fonction W de Lambert est une fonction spéciale. On l'utilise de la même façon que les autres fonctions spéciales : les fonctions de Bessel, les fonctions Gamma, polygamma, les fonctions elliptiques, les fonnctions hypergéométriques et beaucoup d'autres. Elles sont implémentées dans les logiciels mathématiques qui permettent leur calcul numérique aussi facilement que pour les fonctions sinusoïdales par exemple.
Un article de vulgarisation concernant les fonctions spéciales : https://fr.scribd.com/doc/14623310/Safa … -speciales

Bonjour,
Fred a très bien répondu à ta question.
Je n'ai pas grand chose à dire de plus en ce qui concerne le choix du type de fonction à ajuster. S'il n'y a aucune piste provenant de l'origine des données numériques il faut essayer successivement des fonctions de divers genres et sélectionner ce qui convient le mieux. D'après ce que tu as écrit il semble que le genre de fonction exponentielle soit un bon candidat. Donc ce premier point est probablement réglé.
Le second point est l'ajustement des paramètres qui figurent dans la fonction choisie. Ainsi que déjà dit, cela relève de méthodes bien connues de "régression" non-linéaire dans le cas présent pour la fonction
y = a . (1 - exp(-b . x))+c
Une constante ajustable supplémentaire (c) est indispensable car les courbes ne passent pas exactement par (x=0 , y=0).
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gr … %C3%A9aire
Les algorithmes couramment utilisés sont itératifs et pour démarrer nécessitent de donner des valeurs initiales aux paramètres (valeurs plus ou moins bien estimées). Ils ne sont pas fiables dans tous les cas lorsque que les valeurs initiales sont trop loin des valeurs exactes inconnues, ou lorsque que le processus itératif ne converge pas.
Une méthode non conventionnelle (non itérative et sans nécessité de valeurs initiales des paramètres) est décrite dans cet article : https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regr … integrales . Le cas de l'ajustement de fonction exponentielle est traité pages 16-17.

Change de fonction : y(x)=exp(f(x)) et tout devient simple.

Pas de méthode générale. On essaye successivement des équations jusqu'à tomber sur une qui donne une forme de courbe susceptible de convenir (le flair, ou l'intuition, ainsi que la connaissance des propriétés de nombreuses fonctions peuvent limiter le champ de recherche). Pour déterminer précisément les paramètres de l'équation testée, on utilise une méthode de calcul par régression.
Des logiciels existent pour faire une recherche systématique (sans garantie de prendre en compte tous les cas possibles).

Salut,

C'est une équation différentielle à variables séparées, c'est à dire du genre  dy/dx=f(y).
Pour la résoudre on intègre :  dx=dy/f(y)
ce qui donne x=fonction de y +constante. Cette fonction est une primitive de 1/f(y).

Salut boski,

utilise l'intégrale de Riemann-Liouville, d'abord pour calculer l'intégrale fractionnaire d'ordre 1/2 (ou dérivée fractionnaire d'ordre -1/2). Elle doit être convergente, c'est pour cela qu'il est plus simple de procéder ainsi. Ensuite, dériver au sens habituel la fonction qui a été obtenue.

Néanmoins, je crains que ce soit ardu. Bonne courage !

La "manip" est ultra simple. Mais les explications pour inverser l'ordre des intégrales doubles dégénèrent souvent en de longs et pénibles discours.
Au contraire, tout se comprends en un simple coup d'œil sur un petit dessin : il suffit de représenter les limites des intégrales dans un système d'axes (0x, 0y) ce qui montre le contour du domaine d'intégration. On voit alors directement les plages de variations, soit de x puis de y, soit de y puis de x, selon l'ordre que l'on choisi pour les intégrales correspondantes.

d(r²) = 2r dr

@ yoshi :
Cher ami, je disais cela dans une bonne intention : Eviter de passer du temps à un travail ingrat, demandant soin et attention !
Ceci dit, j'admire ce genre de bénévolat.

@ yamaghyma :
je ne prétends pas que ce soit la seule méthode. Peut-être que quelqu'un aura une idée plus simple.