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#1 Re : Entraide (supérieur) » Exercice somme » 21-07-2017 13:19:31

Bonjour,

La seconde somme que vous proposez n'a rien de compliquée (une simple décomposition en éléments simples et un peu de manipulation algébrique).
Pour la première, je peux vous proposer de calculer les coefficients de Fourier de la fonction $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 2 $\pi$ périodique telle que: $f(x)= exp(x)$ sur $ ]-\pi,\pi]$ et d'appliquer le th de Parseval.

Cordialement
JM

#2 Entraide (supérieur) » Série de fonction » 26-03-2017 18:59:58

Mendes
Réponses : 0

Bonjour,

Voici la suite d'un exercice sur les séries de fonctions que j'avais posté ces derniers jours.

On considère une suite réelle  (a_n) telle que :
∑_(n≥1)〖n² (a_n) ²〗converge.
∑_(n≥1)〖n^3 (a_n) ²〗converge
Il s'agit de montrer que la série de fonctions ∑_(n≥1) 〖a_n  cos⁡(n x)〗  définit une fonction C1 sur IR.

Pour la partie C0 (continuité) j'ai réussi cependant la partie dérivable je bloque.
En dérivant terme à terme j'obtiens ∑_(n≥1) 〖 - (a_n)  n sin⁡(n x)〗.
Le but est de montrer que cette somme est uniformément continue sur IR.
Je voudrais montrer que cette série converge normalement cad que ∑_(n≥N) 〖 n | a_n |〗converge. J'ai essayé de multiples choses mais rien n'aboutit à cette conclusion...(peut être que cette série ne converge pas normalement)

Des idées svp ?
Merci d'avance.

#3 Re : Entraide (supérieur) » Série de fonctions » 19-03-2017 11:44:28

Ok merci Roro
J'ai trouvé finalement c'était juste manipuler ∑|an| =∑|an|*n *(1/n) et d'utiliser Cauchy ...

Bonne journée
Cordialement.

#4 Re : Entraide (supérieur) » Série de fonctions » 19-03-2017 10:18:06

Bonjour Roro,

Merci de ton indication.
Oui je vois bien ce que c'est cauchy schwarz ( |<x,y>| <= ||x|| * ||y|| ) . Cependant dans le cadre des suites et des séries je ne vois pas son utilité...pourrais tu m'en dire un peu plus stp .

#5 Entraide (supérieur) » Série de fonctions » 18-03-2017 21:12:06

Mendes
Réponses : 4

Bonjour,

Voici un petit exercice scolaire qui me tiens en haleine depuis quelques temps:

On considère une suite réelle  (a_n) telle que :
∑_(n≥1)〖n² (a_n) ²〗converge.
Il s'agit de montrer que la série de fonctions ∑_(n≥1) 〖a_n  cos⁡(n x)〗  définit une fonction continue sur IR.
Pour se faire je veux démontrer que ∑_(n≥1) 〖a_n  cos⁡(n x)〗 converge uniformément sur IR.
On déduit rapidement que |a_n| < 1/n à partir d'un certain rang N et que |a_n| décroît vers 0.
Mon intuition me dit que en réalité ∑_(n≥N) 〖| a_n |〗converge. (si c'est le cas l'affaire serait régler,  peut être n'est pas le cas...) Cependant je n'arrive pas à la faire immerger et à tirer les ficelles de cet exercice.

Des idées svp ?
Merci d'avance.

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