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#2 Re : Entraide (supérieur) » systeme libre » 14-08-2019 10:11:59

Bonjour 
Par linéarité  [tex]u(x+y)=u(x)+u(y)=\lambda x  + \mu y =\gamma  (x+y).[/tex]
Donc [tex](\lambda-\gamma) x  + (\mu-\gamma) y =0[/tex]    ( x et y sont indépendants donc ...)

#3 Re : Entraide (supérieur) » Etude de la convergence d'une série » 14-08-2019 10:07:47

Bonjour
Effectivement la fin de ma démo n'est pas très correcte. Alors je rectifie. 
Je pense que tu es d'accord jusque [tex]u_{n^2}-u_n>1[/tex]  pour n assez grand.
Oui la constante c ne sert  à rien.  On a donc pour n assez grand [tex]C_n < k^2[/tex] où k est le plus petit entier tel que [tex]u_k=n.[/tex]
A ce stade je ne sais pas si c'est utile de dire que k est le plus petit, mais laissons. 
Si [tex]u_k=n[/tex], il me faut majorer  k  en fonction de n. 
On a [tex]2 log(k)/log(log(k))<n[/tex]  donc  [tex]n> log(k)/log(log(k))>log(k)[/tex]    pour n assez grand.

C'est à dire [tex]k< e^n[/tex]   et alors  [tex]k^2<e^{2n}[/tex]  pour n assez grand.

D'où [tex]C_n<e^{2n}[/tex]. Alors avec cette majoration on obtient que la série est convergente. D'accord?

#4 Re : Entraide (supérieur) » Etude de la convergence d'une série » 12-08-2019 22:22:52

Bonjour
Il faut pour terminer donner une majoration de [tex]C_n.[/tex]
Pour cela posons [tex]f(x)=2 ln(x)/ln(ln(x))[/tex]
Une petite étude de f montre que pour x assez grand, (x>n_0),  f'(x)>0,  et f est croissante et f(x^2)-f(x) tend vers l'infini.

Donc pour n assez grand [tex]u_{n^2}-u_n>1.[/tex]   

C'est à dire que pour n assez grand il existe une constante c>0   tel que [tex]C_n< c k^2[/tex] où k est le plus petit entier tel que [tex]u_k=n[/tex]  mais cela implique qu'il existe une autre constante tel que [tex]C_n< c n^2[/tex] 
Cette majoration permet de conclure que la série est  convergente.

#5 Re : Entraide (supérieur) » Développement asymptotique » 12-08-2019 18:48:52

Bonjour
Puisque [tex]y_n=o(1/n)[/tex] tu poses[tex] y_n=e_n/n[/tex]   avec [tex]e_n=o(1)[/tex] et tu remplaces dans l'équation, ce  qui donne:
[tex]e_n=1/n^n (1+e_n)^n[/tex]
Donc pour n assez grand  on a
[tex]0< e_n=exp(-n ln(n)) exp(n ln (1+e_n))<  exp(-1/2n ln(n))[/tex]
On en déduit que ne_n=o(1) et alors:
[tex]
e_n=exp(-n ln(n)) exp(n ln (1+e_n)) =exp(-n ln(n)) exp(n e_n  +  o(n e_n))=exp(-n ln(n)) exp(o(1)) [/tex]
c'est à dire :  [tex]e_n\sim exp(-n ln(n))[/tex]

#6 Re : Entraide (supérieur) » Equation vérifié par un polynome » 09-08-2019 14:05:05

Bonjour
Si a est une racine alors a^2 est une racine et par suite a^4,a^8.... sont des racines. Donc le nombre de racines étant fini on a que seuls -1,0 et 1  peuvent être racines. 
Ensuite en raisonnant un peu on peut voir que si une de ces 3 valeurs est racines les deux autres le sont aussi.  A mon avis ça doit être assez facile à terminer.

#8 Re : Entraide (supérieur) » Somme de coefficients binomiaux » 31-07-2019 17:38:36

Bonjour
Je suppose que ça tu connais?  $S=\sum_{k=0}^{2n+1}C _{2 n+1}^k=2^{2n+1}$     (faire (1+1)^(2 n+1) avec le binôme de N)
Et que $C _{2 n+1}^k=C _{2 n+1}^{2 n+1 -k}$

Donc $S=\sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k+\sum_{k=n+1}^{2 n+1} C _{2 n+1}^{ 2 n+1-k}=2 \sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k $
(en faisant un changement d'indice dans la deuxième somme)
...
Il y a une symétrie dans chaque ligne du triangle de Pascal que j'utilise ici.

#9 Re : Entraide (supérieur) » polynome » 31-07-2019 17:21:36

Bonjour
Soit a  une racine de $x^2-x+1$ alors  $a^2=a-1$  d'où $(a-1)^{n+2}+a^{2n+1}=a^{2 n+4}+ a^{2 n+1} =a^{2n}(a^4+ a)$
Mais $a^4+a=(a-1)^2+ a= a^2-a+1=0$

#10 Re : Entraide (supérieur) » Somme de coefficients binomiaux » 30-07-2019 16:52:09

DL  = développement limité. 
En fait p(z) admet une autre écriture pour tout z différent de 1/2. 1/(z-1/2) tu peux le développer en série entière  (DSE) ou alors en faire un développement limité à tout ordre  en z=0.  (DL)
Pour cela on utilise la série géométrique  1/(1-u)=1+u+u^2+...   + u^n+...  (pour tout |u|<1 )
faire  1/(z-1/2)=-2/(1-2z)  et u=2z..... 

Finalement tu identifies p(z) avec  avec son DL ou son DSE.   ...


Cette démonstration n'utilise que des outils simples d'analyse.

#11 Re : Entraide (supérieur) » Somme de coefficients binomiaux » 30-07-2019 10:27:44

Bonjour
Une solution simple à cet exercice consiste à voir que $C_{n+k}^k \times 1/2 ^k$ est le coefficient de $z^n$  dans le développement de $(z+1/2)^{n+k}.$
On est alors amener à montrer que le    coeff de $z^n$ dans  le polynôme
$\sum_{k=0}^n (z+1/2)^{n+k} =\sum_{k=n}^{2n}  (z+1/2)^k$ vaut [tex]2^n[/tex].
où encore  dans le polynôme $p(z)=\sum_{k=0}^{2n}  (z+1/2)^k $  (ce qui ne change rien puisque  j'ai ajouté un polynôme de degré inférieur à n).
Mais on a $p(z)=((z+1/2)^{2n+1}-1)/(z-1/2) $     (suite géométrique) 
et $1/(z-1/2)=-\sum_{j=0}^\infty 2^{j+1} z^j $  (quand la série est convergente, on peut raisonner avec les séries ou les Dl selon tes connaissances)
ainsi on cherche le coefficient de $z^n$ dans la développement de
$( (z+1/2)^{2n+1}-1)  \times  )\times -[\sum_{j=0}^\infty 2^{j+1} z^j]$

Celui qui vient du terme -1  vaut :   $2^{n+1} $
Celui qui vient du développement  de     $(z+1/2)^{2n+1}$
vaut $-\sum_{k=0} ^n  C_{2n+1}^k   1/2^{2*n+1-k} \times 2^{n-k+1}=-1/2^n  \sum_{k=0} ^n  C_{2n+1}^k =-1/2^n* 2^{ 2n}=-2^n$
Donc en tout cela fait $2^{n+1}-2 ^n=2 ^n.$  ce qu'il fallait démontrer.

#12 Re : Entraide (supérieur) » valeur propre d'une matrice » 03-06-2019 22:18:24

C'est m^me plus simple que ça: la matrice est de rang 1, donc le noyau est de dimension 3, i.e 0 est valeur propre d'ordre au moins 3.
Pour avoir la 4ème valeur propre, tu utilises la trace  qui est la somme de toutes les vp en tenant compte de leur multiplicité. Ici la trace vaut 0. Donc 0 est valeur propre de multiplicité 4. C'est pour ça que je sais A est nilpotente (d'ordre 2 et sans avoir calculer A^2.

#13 Re : Entraide (supérieur) » valeur propre d'une matrice » 03-06-2019 18:27:08

Bonjour
La question est un peu bizarre pour moi. Mais bref.
Disons que pour certains cas particuliers, on peut éviter le calcul du polynôme caractéristique effectivement.
Une matrice diagonale ....
ou alors la matrice A ci-dessous qui admet comme unique valeur propre 0 (je te laisse deviner pourquoi,  et par conséquent elle est nilpotente)  mais une astuce en général??

[tex]A=\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
[/tex]

#14 Re : Entraide (supérieur) » Séries et Intégrales » 02-06-2019 17:16:26

Bonjour
Il faut sortir l'exponentielle du sinh(t) et puis remplacer le dénominateur par son développement en série. Il reste à justifier les opérations
d'interversion  somme et intégrale.

#15 Re : Entraide (supérieur) » densité » 13-05-2019 14:59:13

Bonjour
Je suppose qu'elles sont indépendantes E(XY)=E(X)E(Y)=0  c'est tout

#16 Re : Entraide (supérieur) » densité » 11-05-2019 18:07:56

Bonjour Il suffit de calculer la fonction de répartition  F  de Z (en tenant compte de l'indépendance) et la densité  f=F'.   
Pour tout  [tex]y,  (Z\leq y)= (ln(U/V)\leq y)  =(U/V \leq  exp(y) )   =( U\leq  V exp(y))[/tex]
D'où  [tex]F(y)=\int_{v=0}^{\infty} ( dv  \int_{u=0}^{v exp(y) }  exp(-u) exp( -v)  du ).[/tex]
Faire le calcul et on trouvera que [tex]f(y)= \dfrac{e^y}{\left(1+e^y\right)^2}[/tex]
On vérifie que le résultat trouvé est bien une densité de proba.

#18 Re : Entraide (collège-lycée) » Aide.. » 27-03-2019 17:38:04

Bonjour
C'est pas clair ce qu'il faut calculer. Même si tu ne mets pas de latex, au moins mettre  des (  ) ne serait pas inutile. 

Là deuxième est moins problématique dans son écriture,  elle se calcule  avec 2 IPP pour faire disparaitre le terme polynomial.

#19 Re : Entraide (supérieur) » arithmetique » 23-03-2019 21:32:13

Bjr 
[tex](n^2 + 3 n + 19)-(n+2)(n+1)=17[/tex]
Donc si a  divise .....

#21 Re : Entraide (supérieur) » fonction homogène / implicite » 20-03-2019 14:57:41

Bjr
D'après ce qui est écrit il semble que
[tex]\frac{xy^2}{x2} + \frac{x^3}{3} - 4x + y^2[/tex]

Mais [tex] f(3,2)\neq 7[/tex]. Problème!!

#22 Re : Entraide (supérieur) » équation dans D » 03-03-2019 19:48:34

ccapucine a écrit :

Avez vous une fonction linéaire intéressante et originale telle qu'on puisse montrer que c'est une distribution, calculer son support et trouver qu'il est compact?

La je me pose des questions!!

#23 Re : Entraide (supérieur) » équation dans D » 03-03-2019 19:17:02

Je crois tu n'as pas fait la synthèse et que tu ne me comprends donc pas: 
Par exemple la règle de dérivation (uv)'  =u'v +u v'  (valable pour les fonctions au sens classique) reste vraie pour des distributions.
C'est important de le savoir et la démonstration se fait en revenant au définition et dc avec les crochets de dualité.
Donc pour les dérivées supérieures aussi.  Mais une fois cela acquis il faut appliquer la règle.
Donc  si T=gh  ,  si j'écris T'=(gH)'  il s'agit de la dérivée au sens des distributions mais la règle ne change pas  comme je l'ai dit au dessus.

Alors tout bêtement T''= g''H +2 g' H'  +   g H''  ( bien entendu il s'agit de dérivée au sens des distributions).

Ensuite il faut simplifier g'H' et g H''    .   [tex]g'H' =g(0)\delta_0[/tex]  et  [tex]g H'' = g(0) \delta'_0[/tex]. 

Bien entendu si tu veux t'en convaincre tu peux refaire le calcul.

Déjà [tex] H'=\delta_0[/tex]  c'est hyper, hyper classique     (pour le retrouver tu fais  <H',\phi> = -<H, fi'>= .....=\phi(0)  donc [tex]H'=\delta 0[/tex])


Donc je te laisse faire pour montrer que [tex]g'H'=g(0)\delta_0[/tex] et bien sûr [tex]g H'' = g(0) \delta'_0[/tex].   c'est complètement analogue

#24 Re : Entraide (supérieur) » équation dans D » 03-03-2019 18:47:57

Je vois  déjà une erreur à la dernière ligne g'\phi'  devient (g phi)' et ça c'est faux. Donc déjà il faut corriger.
Ensuite pourquoi faire tous ces calculs avec le crochet de dualité. Tout se passe comme si tu ne voulais pas appliquer les règles de dérivation des distributions.  A moins qu'elles te soient inconnues ?

#25 Re : Entraide (supérieur) » équation dans D » 03-03-2019 18:23:52

On applique les règles de dérivation d'un produit: 
(u v)'=u'v +u v'  et puis (uv)''= (u'v+uv')'=u''v+ 2 u'v' + u v''   (règle de Leibniz)

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