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Tu dis savoir mais:   déjà #7  c'est pas le même que #5, alors?
Ensuite dans #5   qu'est devenu $\int_0^{2\pi}   y'\bar{y'} dx $?

Bonjour
Inutile de dériver, il suffit de faire un petit développement à l'ordre 2 au voisinage du pôle.

On peut toujours se ramener à a= 1. On trouve la somme des 2 résidus= $-\frac{3 i}{8 \sqrt{2}}$

Bonjour

Ma démonstration est correcte jusqu'à preuve du contraire et j'ai mis les détails. Oui je suis passé par $\C$

Maintenant si on peut faire mieux en évitant une décomposition sur $\C$  ou bien si on peut faire différemment, c'est très bien de le dire.
 

Ainsi j'attends que tu montres comment tu as fait.

Bonjour tes si i=k/2  ou i=(k+1)/2  pour moi c'est pas clair.

Personnellement à ta place je ferai: 
[tex]S_nY_n= \sum_{i,j=1,...,n} X_i Y_j=\sum_{i,j=1,...,n} X_i X_j X_{j+1}  [/tex]

Et tu partitionnes  ta famille  des couples  (i,j)  en  2  sous-ensembles: 
les couples (i,j) tels que j=i-1 ou j=i
et les autres couples sinon.

D'une part c'est pas difficile à dénombrer,  d'autre  part à l'intérieur de  chaque des cas  l'espérance de [tex]X_Y_j [/tex] est la même, et visiblement tu sais le calculer.

Alors oui, il y a une racine unique qui ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles. Par contre il y a moyen de calculer des valeurs approchées avec la précision souhaitée.

Bonjour
Une chose est certaine c'est que si f  (définie sur [tex]\mathbb R^+[/tex]) est u-continue, elle ne croit pas + vite qu'une fonction affine,
c'est à dire  qu'il existe  a,b positifs  tels que
[tex]\forall x, |f(x)|\leq  a x +b[/tex]  ça se démontre facilement. Je ne sais pas si la réciproque est vraie mais je pense que ce n'est pas le cas.

Oui ils sont fixés.  Mais la question c'est bien:   Etant donné  une fonction $\psi$  qui vérifie une  l'inégalité que j'appelle  (1)  (inégalité où  interviennent A,B,....) 
  montrer que $\psi$   vérifie une autre inégalité (2). 

Et bien si tu trouves pour  des constantes  A,B, ... une fonction qui vérifient (1)  mais pas (2)  ça montre que l'énoncé est faux.

Comme contrexemple j'ai donné  la fonction $psi$  qui vérifie l'égalité (1)  (donc elle vérifie  l'inégalité  (1)  )  avec $x_0=a.$ 

Cette fonction se calcule explicitement  car c'est une équation diff.  On vérifie  aisément que  si B<1, l'inégalité (2)  n'est pas vérifié.

Bonjour
Je trouve bizarre cet exercice.  En effet
rien n'interdit que $x_0=a$ et alors  $\psi$ vérifie une équadiff  facile à résoudre.  ET sauf erreur  je trouve que l'inégalité est fausse avec B<1.

Bonjour 
Par linéarité  [tex]u(x+y)=u(x)+u(y)=\lambda x  + \mu y =\gamma  (x+y).[/tex]
Donc [tex](\lambda-\gamma) x  + (\mu-\gamma) y =0[/tex]    ( x et y sont indépendants donc ...)

Bonjour
Il faut pour terminer donner une majoration de [tex]C_n.[/tex]
Pour cela posons [tex]f(x)=2 ln(x)/ln(ln(x))[/tex]
Une petite étude de f montre que pour x assez grand, (x>n_0),  f'(x)>0,  et f est croissante et f(x^2)-f(x) tend vers l'infini.

Donc pour n assez grand [tex]u_{n^2}-u_n>1.[/tex]   

C'est à dire que pour n assez grand il existe une constante c>0   tel que [tex]C_n< c k^2[/tex] où k est le plus petit entier tel que [tex]u_k=n[/tex]  mais cela implique qu'il existe une autre constante tel que [tex]C_n< c n^2[/tex] 
Cette majoration permet de conclure que la série est  convergente.

Bonjour
Si a est une racine alors a^2 est une racine et par suite a^4,a^8.... sont des racines. Donc le nombre de racines étant fini on a que seuls -1,0 et 1  peuvent être racines. 
Ensuite en raisonnant un peu on peut voir que si une de ces 3 valeurs est racines les deux autres le sont aussi.  A mon avis ça doit être assez facile à terminer.

Bonjour
Je suppose que ça tu connais?  $S=\sum_{k=0}^{2n+1}C _{2 n+1}^k=2^{2n+1}$     (faire (1+1)^(2 n+1) avec le binôme de N)
Et que $C _{2 n+1}^k=C _{2 n+1}^{2 n+1 -k}$

Donc $S=\sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k+\sum_{k=n+1}^{2 n+1} C _{2 n+1}^{ 2 n+1-k}=2 \sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k $
(en faisant un changement d'indice dans la deuxième somme)
...
Il y a une symétrie dans chaque ligne du triangle de Pascal que j'utilise ici.