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#1 Re : Leçons de Capes » [Math 36] - Intégrales, primitives. » 28-10-2017 20:23:11

Bonsoir,

  Tu n'as pas l'air d'avoir les idées claires du tout sur cette partie du programme. Il ne faut pas confondre intégrale et primitive :
* une intégrale est un nombre. $\int_a^b f(t)dt$ est définie comme "l'aire sous la courbe" représentative de $f$, entre les droites $y=a$ et $y=b$.
* une primitive est une fonction. C'est l'opération "inverse" de la dérivation. Une primitive de $f$ est une fonction $F$, dérivable, et telle que $F'=f$.

Tout l'intérêt du théorème fondamental, c'est de faire le lien entre ces deux notions qui n'ont a priori rien à voir. Pour calculer $\int_a^b f(t)dt$, il suffit de connaître une primitive $F$ de $f$, et on a alors $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$.
Certes, le théorème fondamental ne s'énonce pas exactement comme ci-dessus, mais c'est bien cela qu'il veut dire!

Capesman.

#2 Re : Leçons de Capes » [Math 18] - Proportionnalité et géométrie » 24-10-2017 06:17:50

Bonjour,

  Pas mal d'idées ont déjà été données plus haut. Il est clair que cette leçon s'articule autour des notions d'agrandissement/réduction, théorème de Thalès et homothétie. Cela occupe une bonne place dans les programmes du cycle 3 et du cycle 4, et cela permet de construire une leçon je pense. Parmi d'autres idées, tu as aussi la proportionnalité entre la longueur d'un arc de cercle, l'aire d'un secteur
angulaire et l'angle au centre (ceci permet par exemple de construire des patrons de cône). Tu as aussi la loi des sinus (dans un triangle, $a/\sin(\widehat A)=b/\sin(\widehat B)=c/\sin(\widehat C)$) par exemple...

Capesman

#3 Re : Leçons de Capes » [Info 18] - Exemples d'activité manipulant des images bitmap » 22-09-2017 20:17:15

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport du jury 2017 de cette leçon :

"l s'agit ici de présenter des activités liées à l'image dans un cadre très simplifié. Une image bitmap peut être considérée comme un
tableau bidimensionnel de valeurs prises dans un ensemble fini : 0/1 pour les images binaires, trois nombres entiers entre 0 et 255 pour les images RVB sur 24 bits, etc.

Les  candidats  peuvent  expliquer  le  lien  entre  les  transformations  classiques  d'images et  les manipulations  des  tableaux  associés.  Ces  transformations  peuvent  être  faites  point  à  point : extraction de composantes, renforcement de couleur, application d'un filtre, etc. Elles peuvent aussi concerner la géométrie de l'image : rotation, symétrie, dilatation, contraction, rognage, etc. Elles peuvent  aussi  concerner  les  objets  représentés  par  l'image :  remplissage  d'une  composante connexe par une couleur, extraction des contours, comptage des composantes connexes, etc.

Les candidats sont bien sûr invités à faire le lien avec leurs expériences de traitement d'images dans les logiciels classiques : Photoshop, Gimp, Paint, etc. Ils peuvent aussi s'intéresser à des actions qui mettent en jeu plusieurs images, par exemple en considérant la transparence
et en superposant les images, etc.

Un exemple d’algorithme adapté à cette leçon est la transformation d'une image carrée par une symétrie centrale, sans utiliser d'image auxiliaire (transformation «en place»). Dans tous les algorithmes présentés, on veille à faire preuve de rigueur dans la définition des
indices de boucles et dans les accès aux pixels de l'image."

Capesman

#4 Re : Leçons de Capes » [Info 17] - Codage et traitement numérique des couleurs » 22-09-2017 20:15:19

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport de jury de cette leçon :
"Cette leçon peut être traitée à différents niveaux et illustrée par toutes sortes d’algorithmes. Dans cette leçon, il est judicieux de s’intéresser aux images en niveaux de gris (les algorithmes pertinents sur ces images pouvant être appliqués sur les composantes d’une image en RVB), mais on ne saurait se limiter à celles-ci.Les notions de synthèse soustractive vs. synthèse additive des couleurs peuvent être illustrées par
des exemples concrets.

Le  modèle  mathématique  du  cube  des  couleurs  est  une  base  conceptuelle  fort  utile  pour  cette leçon. On  peut  consulter  à  ce  sujet  plusieurs  des  ressources pédagogiques  destinées  aux  classes  de Première STD2A"

Voici quelques liens vers les ressources pédagogiques dont le rapport parle :
* Eduscol 1
* Eduscol 2

Capesman

#5 Re : Leçons de Capes » [Info 16] - Programmation événementielle : principe et applications » 22-09-2017 20:11:21

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport de jury 2017 de cette leçon :

"Cette leçon est très ouverte, et son contenu peut librement être adapté à la culture du candidat. Il s'agit essentiellement de présenter les principes de programmation d'un système réactif, dont les actions sont déterminées par le comportement de son environnement. L’environnement Scratch permet d’illustrer assez facilement les événements : contact d’un lutin avec le bord ou avec un autre lutin, appui sur une touche du clavier, réception d’un son fort, etc.

Les questions intéressantes dans ce domaine sont liées à la gestion des événements entrants. Par exemple: Quelle est la nature des événements captés? Que se passe-t-il si deux événements sont détectés en même temps? Comment les gérer en tenant compte de leurs priorités? Que se passe-t-il  si  un  événement  est  perçu  par  deux  capteurs  à  la  fois?  Par  exemple,  deux  boutons  qui  se
recouvrent en Scratch. Que se passe-t-il si un événement attendu ne se produit pas? Combien de temps attendre avant de décider qu'il ne viendra jamais?

Un exemple d’algorithme adapté à cette leçon est une petite tortue Logo en Scratch. Une boucle lit un caractère au clavier et déplace la tortue en fonction des caractères captés. On peut ajouter des caractères pour émettre un miaulement ou encore les événements souris, éventuellement par un processus concurrent."

Capesman

#6 Re : Leçons de Capes » [Info 9] - Exemples d'algorithmes de tri. Comparaison. » 22-09-2017 20:09:19

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport de jury 2017 de cette leçon :

"Cette leçon amène à exposer au moins un algorithme de tri élémentaire comme le tri par sélection, ou par insertion, ou à bulle;  développer longuement chacun de ces trois tris n’est en revanche pas attendu. Suite à une étude de la complexité de l’algorithme élémentaire choisi, on peut évoquer au moins  un algorithme de tri plus performant, comme le tri fusion ou le tri rapide. D’autres algorithmes spécifiques, adaptés quand les données ont une taille particulière, peuvent être aussi évoqués avec intérêt (voir par exemple le tri par base, ou radix sort).

Le  terme  «comparaison»  utilisé  dans  l’intitulé  peut  renvoyer  à  la  comparaison  d’un  tri  de complexité quadratique à un tri de complexité $O(n\ln n)$, mais peut également conduire le candidat à évoquer la question d’un tri «en place» ou non."

Capesman

#7 Re : Leçons de Capes » [Info 12] - Exemples de détermination de la complexité.... » 22-09-2017 20:07:38

Bonjour,

  Voici ce qu'en dit le rapport du jury :

"Cette leçon est orientée vers l'utilisation pratique de méthodes d'évaluation de la complexité, avec comme objectif le choix entre plusieurs algorithmes pour résoudre un problème donné. Le candidat précise clairement ce qu’il choisit comme mesure de la complexité : le nombre de comparaisons, le nombre d’appels, etc. Le candidat doit savoir équiper le programme qu’il présente d’un compteur qui permette la mesure expérimentale de sa complexité.

Si le candidat utilise la notion d’ordre de grandeur et la notation de Landau $O(f)$, il doit savoir la définir. On s'attache particulièrement à mettre en évidence que le comportement d'un algorithme dans un cas donné  peut  être très variable,  et éventuellement très différent de son comportement dans le pire cas. Le choix d'un algorithme ne doit pas être seulement dicté par sa complexité en pire cas,
mais  aussi  par  une  définition  soigneuse  de  l'espace  des  cas  considérés.  Par  exemple,  certains algorithmes de tri sont très efficaces si le tableau est déjà «presque trié», alors que c'est indifférent pour d'autres."

Capesman

#8 Re : Leçons de Capes » [Info 29] - Exemples d'algorithmes de chiffrement et de déchiffrement » 22-09-2017 20:05:06

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport du jury à propos de cette leçon :
"L'objectif de cette leçon est de présenter des systèmes de chiffrement et de déchiffrement simples en insistant sur l'étude de leurs propriétés, plutôt que sur leur efficacité. Le niveau mathématique attendu pour cette leçon est élémentaire. Toute discussion avancée sur l'arithmétique modulaire, les courbes elliptiques ou l'utilisation des technologies quantiques est catégoriquement hors sujet.

Comme toute leçon d’exemples, le candidat doit présenter plusieurs exemples effectifs. On peut d'abord présenter les systèmes de cryptage lettre à lettre (code de César, ROT13...) et discuter de leur utilisation pratique. La question du déchiffrement est aussi intéressante que celle
du chiffrement.

On  peut  ensuite  présenter  les  systèmes  de  cryptage  à  clé  secrète,  en  particulier  le  XOR  et quelques-unes de ses multiples variantes. On pourra souligner l'aspect involutif du codage XOR. Pour chaque système de cryptage lettre à lettre et pour le cryptage symétrique XOR, on peut présenter les algorithmes de manière détaillée en utilisant un tableau de caractères ou de bits.
Dans le cas des caractères, on peut détailler comment passer d'un caractère A-Z à un code ASCII, puis à un nombre entre 0 et 25 et réciproquement.

Un algorithme facilement programmable dans cette leçon est le chiffre de César. On peut éventuellement présenter les systèmes de cryptage à clé publique et la notion de protocole cryptographique, en séparant bien le principe de ces systèmes des particularités des fonctions
cryptographiques utilisées. On peut montrer que ces systèmes peuvent aussi être utilisés pour l'authentification (signature).

Une autre piste de discussion est la stéganographie qui permet de cacher une donnée dans une image. On peut en décrire l'idée générale, puis détailler l'algorithme qui cache un message dans une image bitmap RVB et qui le retrouve ensuite."

Capesman

#9 Re : Leçons de Capes » [Info 14] - Représentation binaire des nombres : formats... » 22-09-2017 20:02:21

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport du jury 2017 à propos de cette leçon :
"Cette leçon est très ouverte, et son contenu peut librement être adapté à la culture du candidat.

Cependant, elle doit au moins contenir une description précise des décompositions décimales et binaires d'un nombre entier positif sous la forme d'une somme de puissances de la base $b$ avec des coefficients entiers entre 0 et $b-1$. Le candidat peut expliquer que la base 10 et la base 2 sont deux cas particuliers usuels, mais que la base 8 ou la base 16 sont intéressantes et que d'autres bases sont aussi utilisées (60 pour la mesure du temps, par exemple).

Le  candidat  peut  écrire  un  algorithme  pour  convertir  une  écriture  de  base  10  en  base  2 et réciproquement. Il peut comparer le nombre de chiffres de la représentation d'un nombre en base 10 et en base 2.

Le candidat peut également présenter des formats pour les entiers signés (bit de signe, complément à 2, etc.), les réels flottants (format
IEEE 754, etc.), ou s'intéresser aux entiers en précision arbitraire (Python, OCaml BigNum), etc.

Un exemple d’algorithme adapté à cette leçon est celui qui prend en entrée un entier positif et
renvoie la chaîne de caractères qui constitue son écriture hexadécimale."

Capesman

#10 Re : Leçons de Capes » [Info 1] - Logique booléenne et instructions conditionnelles... » 22-09-2017 19:59:21

Bonjour,

Voici ce que dit le rapport du jury à propos de cette leçon :
"Cette leçon a pour but de présenter les bases de la logique booléenne et l'utilisation d'expressions booléennes dans les structures de choix
(if) et itération (for, while). Les deux parties de la leçon doivent donc être fortement liées. Pour la logique booléenne,  le  candidat  peut  présenter les principaux  opérateurs (négation,  conjonction,  disjonction,  etc.) et  l'évaluation  d'une  expression booléenne  construite  à  l'aide  de  ces  opérateurs  ainsi  que  les  principales  équivalences  qui permettent de simplifier les expressions complexes.
Pour   les   instructions   conditionnelles,   les   notions   ci-dessus   peuvent   être   appliquées   à   la simplification des compositions de structures. Par exemple, si b alors P sinon (si b alors Q sinon R) peut être simplifiée en si b alors P sinon R.

De  même  on  peut  illustrer  la  différence  entre  les  opérateurs  &  et  and  de
Python,  en  montrant comment l’un et l’autre pourraient être simulés par des instructions conditionnelles bien écrites.

Un exemple d’algorithme qu’on peut présenter dans le cadre de cette leçon est un algorithme qui
teste si une fonction booléenne $f(a,b,c)$ est vraie quelles que soient les valeurs booléennes de $a$, $b$ et $c$."

#11 Re : Leçons de Capes » [Info 13] - Exemples de démarches...correction d'un algorithme » 22-09-2017 19:55:57

Bonjour,

  Voici ce que dit le rapport du jury 2017 à propos de cette leçon :
"Cette leçon doit présenter des utilisations pratiques et concrètes de telles démarches et méthodes en les appliquant à un ensemble d’algorithmes concrets. Le candidat est attentif à la précision et àvla diversité des aspects présentés et non à la difficulté des développements théoriques. Le  candidat  peut  s'appuyer  sur  l'introduction  d'assertions  logiques  dans  la  description  de  son
algorithme pour exprimer les propriétés vérifiées aux points de contrôle intéressants.
Dans  le  cas  des  itérations  non  bornées (while),  on  peut  présenter  les  notions  de  variant  et d'invariant, en particulier dans les cas classiques: parcours de tableau, tri, calcul de factorielle, etc.
Pour prouver la correction, le candidat peut montrer, sur des exemples simples, comment dériver la spécification du résultat à partir des assertions, en particulier les invariants de boucle. Le candidat peut également faire le lien avec la définition de suites récursives $u_{n+1}=f(u_n)$."

#12 Re : Leçons de Capes » [Info 19] - Exemples d'activité manipulant des objets géométriques... » 22-09-2017 19:53:11

Hello,

  Voici ce que dit le jury de capes à propos de cette leçon :

"L'objectif de cette leçon est de présenter des algorithmes de gestion d'objets géométriques dans le plan et dans l'espace, avec des applications aux jeux vidéos et à la synthèse d'images. Le matériel mathématique  pour  ce  sujet  est  donc  essentiellement  celui  des  leçons  de  géométrie  en mathématiques.

On peut commencer par s'intéresser au cas des rectangles définis par les coordonnées de deux sommets opposés et à un algorithme de calcul de l'intersection et de l'enveloppe rectangulaire de deux tels rectangles, en s’attachant à la plus grande précision
dans le calcul des indices des pixels. On peut étendre au cas 3D et ou à une liste de rectangles, ou encore à d’autres formes, polyèdres
ou sphères.

On peut aussi s'intéresser au déplacement d'objets géométriques pour déterminer quelle partie de l'écran
doit être redessinée quand on déplace un rectangle dans une pile de rectangles (cette opération est cruciale dans les systèmes de gestion de fenêtres des interfaces graphique). Une autre source d'inspiration est la simulation de phénomènes physiques. Le cas le plus simple est
probablement une boule (carrée) qui se déplace sur une table de billard avec une vitesse constante en rebondissant sur les bords, un peu comme dans le jeu Pong. On peut s'intéresser à ce qui se passe si la vitesse est peu à peu amortie, s'il y a plusieurs boules qui s'entrechoquent, si le billard se déforme avec des trous qui apparaissent, etc."

Capesman

#13 Re : Leçons de Capes » [Math 33] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications. » 13-09-2017 20:54:23

Bonjour,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017 :
"Cette leçon repose sur un théorème dont il convient, avec un recul de niveau M1, d’étudier la démonstration (en s’appuyant par exemple sur l’axiome de la borne supérieure) et d’en apprécier le caractère existentiel et non-constructif. Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, apparaît une interrogation sur les images des intervalles par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) et le type d’image (directe ou inverse) ? "

J'avoue ne pas comprendre tout à fait ce que le jury veut dire par "d'en apprécier le caractère existentiel et non-constructif". Il est clair que le jury attend que l'on connaisse une preuve du théorème des valeurs intermédiaires. On peut en donner une preuve à l'aide de l'axiome de la borne supérieure, et là je comprends que c'est "non-constructif". Mais il y a aussi une preuve par dichotomie, à partir de suites adjacentes, et cette preuve est tellement constructive qu'on peut en déduire très facilement un algorithme!

Capesman.

#14 Re : Leçons de Capes » [Math 27] - Différents types de raisonnement en mathématiques » 13-09-2017 20:51:04

Bonjour,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017. Voici ce qui en est dit :
"Elle doit être illustrée par des exemples variés et « consistants ». Rappelons que le raisonnement par disjonction de cas, s’il est très fréquent en arithmétique (disjonction selon les restes modulo un entier donné), peut également être invoqué en géométrie (disjonction selon la position relative de deux objets géométriques) ou en algèbre (disjonction selon le signe d’une expression littérale). La présentation au tableau de la rédaction précise d’un raisonnement par récurrence faisant usage de quantificateurs est attendue du jury."

Capesman.

#15 Re : Leçons de Capes » [Math 22] - Système d'équations et systèmes d'inéquations. Exem... » 13-09-2017 20:49:57

Bonjour,

Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017 :
"Son intitulé incite à sortir du cadre linéaire (équations ou inéquations s’y ramenant, mais aussi équations ou inéquations trigonométriques). Les exemples proposés doivent illustrer des méthodes de résolution différentes. ".

Capesman.

#16 Re : Leçons de Capes » [Math 21] - Proportionnalité et linéarité. Applications » 13-09-2017 20:48:55

Bonjour,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport de jury 2017. Voici ce qui en est dit :
"Cette leçon permet de revisiter une large part des programmes des cycles 3 et 4, tout en ouvrant des perspectives au niveau du lycée.  Au niveau du collège, elle offre de nombreuses opportunités, comme les changements d’unités dans les mesures des grandeurs mentionnées dans le programme de cycle 4 (vitesse, débit, masse volumique, concentration, densité de population, rendement d’un terrain, puissance électrique), ou encore la caractérisation d’une fonction affine par la proportionnalité des accroissements. Au niveau du lycée, il est facile d’exhiber des exemples de fonctions non linéaires.  "

A un autre endroit, pour expliquer que l'interrogation orale pouvait permettre d'évaluer le recul des candidats au niveau M1, il est aussi dit :
"Ainsi sur la leçon 21 (Proportionnalité et linéarité), au-delà de calculs de pourcentages, d’échelles et de proportions dans une recette présentés par un candidat au niveau du collège, l’entretien peut déboucher sur une mise en perspective du concept de linéarité dans le cadre d’une dimension supérieure à 1".

Capesman.

#17 Re : Leçons de Capes » [Math 11] - Repérage dans le plan, dans l'espace, sur une sphère » 13-09-2017 20:46:17

Bonjour,

Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport de jury 2017. Voici ce qui en est dit :
"Si le candidat choisit de se limiter son exposé à la géométrie repérée présentée dans les programmes du lycée, le jury peut quant à lui, lors de l’entretien, l’interroger sur la manière dont cette notion est introduite dès le cycle 3 (avec le modèle du papier quadrillé) et approfondie au cycle 4 : (Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d'un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère. Abscisse, ordonnée, altitude. Latitude, longitude. ".

Capesman.

#18 Re : Leçons de Capes » [Math 5] - Représentation et interprétation de données. Outils stat... » 13-09-2017 20:45:01

Hello,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017. Voici ce qui en est dit :
"Elle peut donner lieu à une liste assez fastidieuse de définitions de toutes sortes, s’éloignant ainsi de l’objectif d’un enseignement vivant en prise avec les réalités physiques, sociales et économiques. Une approche allant des phénomènes aux outils de mesure statistique est certainement plus convaincante, permettant de dégager quelques grandes tendances à partir des données recueillies.".

Vaste programme, non? J'avoue que je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ce qui est préconisé (ni si je saurais le présenter ainsi).

Capesman.

#19 Re : Leçons de Capes » [Math 19] - Problèmes de constructions géométriques » 16-06-2017 11:08:01

Ce que tu dis est plutôt bon. Ordonner les exemples en fonction des grands types de problèmes, donner pour chaque exemple les objectifs avec l'élève, réaliser aussi bien des frises sous Scratch (ou avec n'importe quel logiciel réalisant des dessins algorithmiques) ou des constructions plus traditionnelles sous Geogebra...

#20 Re : Leçons de Capes » [Math 19] - Problèmes de constructions géométriques » 16-06-2017 07:22:19

Bonjour,

  Que veux-tu dire par "formaliser des concepts généraux"? Pour ma part, je penserais plutôt qu'il faut donner des exemples suffisamment bien ordonnés.

Capesman.

#21 Re : Leçons de Capes » [Info 10] - Exemples illustrant ... problèmes algorithmiques » 14-06-2017 14:58:28

Bonjour,

  Je n'y connais pas grand chose non plus, mais est-ce qu'une résolution par une méthode itérative ou bien par une méthode récursive d'un même problème d'algorithmique ne rentrerait pas dans le cadre?

Capesman.

#22 Re : Leçons de Capes » [Math 7] - Arithmétique des nombres entiers » 14-06-2017 14:56:44

Bonjour,

  C'est effectivement une leçon où il y a beaucoup (sans doute trop!) de choses à dire, mais le positionnement en TS Spé Maths me semble une bonne idée. Difficile de ne pas parler d'une seule des notions que tu cites avec un titre aussi large. Peut-être qu'il faut passer très rapidement sur la division euclidienne???

Capesman.

#23 Re : Leçons de Capes » [Math 15] - Solides de l'espace et volumes » 14-06-2017 14:54:55

Bonjour,

  Le mieux est encore de se référer au rapport du jury qui affirme que : "Le niveau auquel se situe l'exposé reste au choix du candidat qui n'a pas à adapter le contenu au programme de telle ou telle classe". Le jury attend une leçon de synthèse, et non une leçon comme on le ferait devant une classe. Il n'y a pas de problèmes à proposer au fur et à mesure du plan des notions qui sont abordées à des niveaux différents (d'ailleurs, avec la notion de cycle au collège, la notion de niveau au sens de classe est de moins en moins pertinente).

Capesman.

#24 Re : Leçons de Capes » [Math 13] - Transformations du plan. Frises et pavages. » 09-06-2017 13:57:26

Bonjour,

  Je ne pense pas, mais je ne peux pas le garantir. Il y a plusieurs démonstrations possibles, en voici une  en trois étapes :
* tu le démontres pour les segments parallèles à l'axe de symétrie (en utilisant que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles, je pense qu'on peut démontrer que si [AB] est parallèle à l'axe de symétrie, et [A'B'] est son image, alors le quadrilatère ABB'A' est un rectangle).
* tu le démontres pour les segments perpendiculaires à l'axe de symétrie (ça doit être facile)
* tu le démontres pour tous les segments en utilisant le théorème de Pythagore....

Est-ce que cela te convient?

Capesman

#25 Re : Leçons de Capes » [Math 10] - Géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace » 09-06-2017 13:49:54

Bonjour,

  Je n'ai pas beaucoup réfléchi à cette leçon, mais je ne vois pas comment prendre le produit scalaire en prérequis si l'on n'a pas défini la notion de vecteurs! Cela dit, je pense que le produit scalaire n'est effectivement pas au cœur de la leçon. Il y a en effet beaucoup à faire autour de la notion de vecteurs, de la colinéarité, de vecteurs coplanaires, des équations paramétriques....

Capesman.

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