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Merci yassine,
mais ma question est comment faire pour parvenir à
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2n-1} = \frac{t}{2}ln(\frac{1+t}{1-t})$$
par ce que si on simplifie les terme pair, il ne rest pas : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2n-1}$$
Merci d'avance

bonjour

Merci yassine,  je comprend mieu pour quoi sa ne marche pas !

Bonjour

on à :
[tex]cos(n) = \frac{e^{in}+e^{-in}}{2}[/tex].
en utilisant [tex]sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)[/tex]
on trouve :
[tex]U_n = \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})cos(\frac{e^{-in}}{2})}{n} + \frac{sin(\frac{e^{-in}}{2})cos(\frac{e^{in}}{2})}{n}  [/tex]

en utilisant un developpement limité an voisinage de 0 : [tex]\lim_{n\to \infty} e^{-in} = 0[/tex]

on trouve :

[tex]\frac{cos(\frac{e^{in}}{2})}{2ne^{in}} - \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{4ne^{2in}} + \frac{sin(\frac{e^{in}}{2})}{n}[/tex]
on peut facilement démontrer la convergence des 2 premiers terms, et pour le 3eme on peut faire la transformé d'abel pour prouver sa convergence.

je ne suis pas sur des calcule je vous conseil de les revoir.

Bonsoir,

je pense qu'il sufit de demontrer qu'elle est a term positif a partir d'un certain rang de n.

Merci !
donc on peut dire :

on à le numérateur   [tex]g(x) =x^2(1-e^x)[/tex] est une fonction continue,donc bornée sur [tex][a,b][/tex]
on note  [tex]N = sup||g(x)_{[a,b]}||_{\infty}[/tex]
donc :
[tex]\lim_{n\to \infty} ||f_n(x)-f(x)||_\infty \le   \lim_{n\to \infty}  \frac{N}{n+x^2} \le \lim_{n\to \infty}  \frac{N}{n} = 0[/tex]
donc elle coverge uniformement sur [tex][a,b][/tex]
c'eest a peut prés sa ?

vous avez raison, ce que j'aurais du ecrire est :

[tex]F_n = \sum_{k=1}^{n} U_k(x)[/tex]
et puis
[tex]\lim_{k \to n} \sqrt[n]{U_n}[/tex]
Merci pour votre remarque !

merci bcp !

Merci beaucoup !

c'est a la série que je m'interesse.

bonjour,
non ce que je cherche plutot a prouver est . . .
pour savoir si mon raisonement est correct pour prouver la convergence simple d'une série de focntion ou pas.
voici la série :
[tex]F_n : \mathbb{R_+\to  R}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n)}[/tex] avec [tex]n\ge 0[/tex]
tout d'abord on à:
[tex]F_n(0) = 0[/tex]

ensuite,
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{ln{((1+x)(1+x^2) . . . (1+x^n))}}} [/tex] = [tex]\frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(1+x^n)}}[/tex]
[tex]F_n(x) = \frac{x^n}{e^{\sum_1^n ln(x^n) + ln(\frac{1}{x^n}+1)}}[/tex]

[tex]\forall x > 1[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} F_n(x)[/tex] est ce que je cherche a calculer
donc si je peux faire la permutation limite et somme pour calculer la somme  sur l'exponentiel et voir si cette série converge ou pas.