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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 16-12-2015 00:17:31

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Bonsoir,

Voici un peu de grains à moudre..


Caclul de la Pertinence d'une approximation:


Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de  "[tex](\varphi^{2})[/tex]",  "[tex](\varphi+1)[/tex]",  "[tex](\varphi - 1)[/tex]"  et  "[tex](\varphi^{-1})[/tex]", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que  [tex](\varphi^{2})[/tex],  soit:  [tex](\varphi+1)[/tex]  et  [tex](\varphi^{-1})[/tex]  soit:  [tex](\varphi - 1)[/tex]  correspondent à des valeurs remarquables à part entière.   

Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.


Méthode de calcul:


Soient:     C : la constante à approximer
                V : la valeur de l'approximation
                N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
                p : la performance  décimale  rendue
                P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée

On commence par calculer:  [tex]1 - \left( \dfrac{C}{V} \right)[/tex] ,  on transcrit ensuite le résultat sous la forme:   [tex]a,bcde... \times 10^{\,n}[/tex] .

Ceci nous permet ensuite de calculer  p selon la formule suivante:

                [tex]n - 0,abcde...  =  p[/tex] ,


puis enfin P :

                [tex]P(Appox.)  =  \dfrac{p}{N}[/tex] .



Selon ces critères:



Relativement à [tex]\pi[/tex]:



[tex]124  =  [124,000...[/tex]
                                                                            3 pour 0,0253...  P =  0,0084...    -------->  À considérer que 124
                                                                                                                                                puisse être vu commr une
                                                                                                                                                approximation de  [tex]\pi[/tex].

[tex]4  =  [4,000...[/tex]
                                                                            1 pour 0,7854...  P =  0,7854...

[tex]3  =  3,[000...[/tex]
                                                                            1 pour 1,5280...  P =  1,5280...    ------->  Par conséquent, la pertinence
                                                                                                                                               approximative de  3
                                                                                                                                               relativement à  [tex]\pi[/tex]  est selon
                                                                                                                                               mes critères : excellente !


[tex]\dfrac{22}{7}  =  3,14[285...[/tex]
                                                                            3 pour 3,5977...  P =  1,1992...    ------->  Comparable à 355/113 !!

[tex]\dfrac{333}{106}  =  3,1415[094...[/tex]
                                                                            6 pour 4,7351...  P =  0,7892...   

[tex]\dfrac{355}{113}  =  3,141592[920...[/tex]
                                                                            6 pour 7,1509...  P =  1,1918...    ------->  Très bonne mais un tout petit
                                                                                                                                               peu moins  que 22/7.
                                                                                                                                                   => C'est étonant...

[tex]\dfrac{103\,993}{33\,102}  =  3,141592653[0\,11...[/tex]
                                                                            11 pour 9,8160...  P =  0,8924...

[tex]\dfrac{104\,348}{33\,215}  =  3,141592653[9\,21...[/tex]
                                                                            11 pour 9,8944...  P =  0,8995...     ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                 9,8944... de rendues.

[tex]\dfrac{208\,341}{66\,317}  =  3,141592653[4\,67...[/tex]
                                                                            11 pour 10,6105...  P =  0,9646...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  10,6105... de rendues.

[tex]\dfrac{312\,689}{99\,532}  =  3,141592653[6\,18...[/tex]
                                                                            11 pour 11,0723...  P =  1,0066...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  11,0723... de rendues.

[tex]\dfrac{833\,719}{265\,381}  =  3,1415926535\,8[107...[/tex]
                                                                            12 pour 11,7226...  P =  0,9769...    ------->  La progression de P est
                                                                                                                                                   harmonieuse.

[tex]\dfrac{1\,146\,408}{364\,913}  =  3,141592653\,5[914...[/tex]
                                                                            13 pour 12,4873...  P =  0,9606...


[tex]\dfrac {21\, 053\, 343\, 141}{6\, 701\, 487\, 259}  =  3,1415926535\,8979323846\,2[38\,1...[/tex]
                                                                            21  pour  22,1672...  P =  1,0076...

[tex] \dfrac {30\, 246\, 273\, 033\, 735\, 921}{9\, 627\, 687\, 726\, 852\, 338}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,50[7\,44...[/tex]
                                                                            33  pour  32,8548...  P =  0,9956...

[tex] \dfrac {2\,646\,693\,125\,139\,304\,345}{842\,468\,587\,426\,513\,207}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841[830...[/tex]
                                                                            37 pour 38,5510...  P =  1,0419...


[tex]3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,694  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,69[4...[/tex]
                                                                            44 pour 45,8011...  P =  1,0401...    ------->  Sa pertinence est semblable
                                                                                                                                                   aux précédentes...         
     

[tex]\left(\dfrac{39}{22}\right)^{2}  =   3,14[256...[/tex]
                                                                            5 pour 3,6915...  P =  0,7383...


[tex]\left(\dfrac{296}{167}\right)^2  =  3,14159[704...[/tex]
                                                                            7 pour 5,8602...  P =  0,8372...

[tex]\left(\dfrac{8\,545}{4\,821}\right)^2  =  3,1415926[424...[/tex]
                                                                            9 pour 8,6439...  P =  0,9604...


[tex]\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  =  3,141592[701...[/tex]
                                                                            7 pour 7,8497...  P =  1,1214...    ------->  Assez bonne à bonne.

[tex]\left(\dfrac{9\,629}{8\,873}\right)^{14}  =  3,141592653[0\,23...[/tex]
                                                                            10 pour 9,8198...  P =  0,9812...

[tex]\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/4}  =  3,14159265[25\,8...[/tex]
                                                                            7 pour 9,6794...  P =  1,3828...    ------->  Très très bonne !


[tex]\dfrac{22}{17} + \dfrac{37}{47} + \dfrac{88}{83}  =  3,141592653[4\,67...[/tex]
                                                                            12 pour 10,5126976  P =  0,8761..    ------->  Pas très bonne mais
                                                                                                                                                     fractions simples...


[tex]\dfrac{311}{70\sqrt{2}}  =  3,1415[744...[/tex]
                                                                            6 pour 5,4194...  P =  0,9032...

[tex]\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  =  3,141[632...[/tex]
                                                                            3 pour 4,8730...  P =  1,6243...    ------->  Excelllente !!


[tex]\dfrac{6}{5}. \varphi^2  =  3,141[6407...[/tex]
                                                                            3 pour 4,8468...  P =  1,6156...    ------->  Excellente !!

[tex]\left(\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}\right)^2  =  3,1415926[848...[/tex]
                                                                            7 pour 8,0050...  P =  1,1436...    ------->  Assez bonne.
                                                                                                                                               (Mais non prévue
                                                                                                                                               pour [tex]\pi[/tex].)


[tex]\dfrac{69}{163}+ e  =  3,14159[471... [/tex]
                                                                            6 pour 6,3448...  P =  1,0575...

[tex]\dfrac{95.\varphi}{18.e}  =  3,1415[204...[/tex]
                                                                            6 pour 4,8707...  P =  0.8118...

[tex]\dfrac{11}{48} . e^{\varphi^2}  =  3,141[5875...[/tex]
                                                                            6 pour  5,8365...  P =  0,9727...

          ------->  Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme   [tex]\dfrac{a}{a}.e^{\varphi^2}[/tex]
          Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:

                                                                          [tex]\dfrac{55\,549}{1\,270}.e^{\varphi^2}[/tex]


[tex]\left(\dfrac{45\,048}{47\,153}\right)^{2} e^{2 (\varphi-1)}  =  3,1415926535\,8[298...[/tex]
                                                                            14 pour 11,7832...  P =  0,8417...

[tex]\dfrac{5}{7}. e . \varphi  =  3,141[623...[/tex]
                                                                            4 pour 5,0297...  P =  1,2574...    ------->  Très bonne.

[tex]\dfrac{e  .  \varphi}{\sqrt{2}-71/5\,000}  =  3,141592[701...[/tex]
                                                                            9 pour 7,8477...  P =  0,8720...


[tex]\dfrac{\ln{(640\,320^{3}+744)}}{\sqrt{163}}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,[726...[/tex]
                                                                            14 pour 31,2878...  P =  2,2348...    ------->  Énorme !! !! !
                                                                                                                                                   Même en comptabilisant
                                                                                                                                                   ln comme 1 dans N
                                                                                                                                                   (=> Ultime?)



Relativement à  [tex]\sqrt{\pi}[/tex]:



[tex]\dfrac{39}{22}  =  1,772[727...[/tex]
                                                                            4 pour 3,8458...  P =  0,9614...

[tex]\dfrac{296}{167}  =  1,77245[508...[/tex]
                                                                            6 pour 6,3010...  P =  1,0502...

[tex]\dfrac{8\,545}{4\,821}  =  1,7724538[477...[/tex]
                                                                            8 pour 8,8219...  P =  1,1027...    ------->  Assez bonne.


[tex]\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/8}  =  1,772453850[6\,21...[/tex]
                                                                            7 pour 9,8397...  P =  1,4057...    ------->  Très très bonne.


[tex]\dfrac{94\sqrt{2}}{75}  =  1,7724[809...[/tex]
                                                                            5 pour 4,8468...  P =  0,9694...


[tex]\dfrac{379.\varphi}{90.e \sqrt{2}}  =  1,772453[543...[/tex]
                                                                            8 pour 6,8266...  P =   0,8533...

[tex]\dfrac{7\,361.e}{6\,977.\varphi}  =  1,77245385[11\,4...[/tex]
                                                                            10 pour 9,8648...  P =  0,9865...

[tex]\dfrac{45\,048}{47\,153}.e^{(\varphi-1)}  =  1,7724538509\,0[359...[/tex]
                                                                            12 pour 11,8916...   P =  0,9910...

[tex]\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385[97\,2...[/tex]
                                                                            6 pour 8,5025...  P =  1,4171...    ------->  Très très bonne, elle est
                                                                                                                                               encore meilleure que celle
                                                                                                                                               un peu plus haut.


Bon milieu de semaine!


0^0.

#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 10-12-2015 21:23:46

0^0

La notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs sembe pouvoir être exploitée...


[tex]\boxed{\boxed{\dfrac {\varphi^2}{\sqrt{2}} \times\dfrac{45}{47}   \approx   \sqrt\pi}}[/tex]


Soit: [tex]\sqrt\pi   \approx   \boxed{\dfrac {45\varphi^2}{47\sqrt{2}}}   =   1,77245385...[/tex]


--------------> [tex]\boxed{\dfrac {45\varphi^2}{47\sqrt{2}}}[/tex] -------------------------------------------------> 9 caractères
------------------------------- [tex]\boxed{1,77245385...}[/tex] ----------------------> 10 caractères


------ [tex]\boxed{\sqrt{\pi}}[/tex] ----------------------------------------------------------------> 2 caractères


: )

#3 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 08-12-2015 23:10:02

0^0

Bonsoir,

Et pour ce  95041 doit on s'en étonner? Comment évaluer la probabilité que cette coïncidence ne soit qu'un fruit du hasard ou au contraire qu'elle chache une raison mathématique?

@+

#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 05-12-2015 12:23:37

0^0

Bonjour,

freddy a écrit :

Salut,

ta quête est intéressante, presque ludique, mais inutile aujourd'hui. Inutile car avec la révolution électronique et la miniaturisation des outils de calculs, la communauté n'a plus besoin d'approximations astucieuses de nombres transcendants, comme par le passé.

A titre plus personnel et de mon humble point de vue, le vrai tour de force est un quotient simple de nombres entiers, facilement mémorisables. Faire intervenir d'autres nombres remarquables n'apporte pas grand chose à l'affaire.

Oui, je sais bien que ce n'est pas utile si comme tu le penses ce que l'on veut c'est "utiliser" [tex]\pi[/tex], dont l'on en connait des milliards de décimales et dont on peut connaître la énnième sans avoir besoin de calculer les précèdentes.. Je sais..

Mais l'utile ne détermine pas en soi ce qui est intéressant.

Je précise que je ne fais pour ma part des maths, quand j'en fais, que pour mon amusement.

yoshi a écrit :

Bonjour,

@O^O C'est sympa de revenir nous voir...
Ça me rappelle quand j'écrivais mon prog de calcul des éclipses solaires, j'avais écrit à Jean-Pierre Petit, qui m'avait aiguillé vers un de ses amis à l'époque Directeur de l'Observatoire de Marseille...
Il m'avait répondu -gentiment - qu'il était inutile de chercher à réinventer la roue, que ces programmes existaient déjà, qu'ils fonctionnaient très bien... et n'avait pas répondu à mes questions...

C'est drôle cette tendance à ne pas répondre aux questions...

JPP est phycicien, donc il reste quelqu'un de pragmatique.

yoshi a écrit :

Cet homme n'avait pas compris que j'étais au courant de l'existence de ces programmes et que je m'en fichais pas mal : j'étais un conquérant de l'inutile, je cherchais l'art pour l'art, pour ma satisfaction personnelle...
Donc, O^O doit probablement chercher pour son plaisir personnel...

Je ne "recherche", quand je recherche, que pour mon plaisir personnel, tu m'as bien cerné.

Bon.. C'est aussi un peu par l'intérêt des connaissances pour elles-mêmes.


yoshi a écrit :

Le plus gros reproche que je ferais à cette approximation, c'est qu'elle nécessite d'utiliser une autre approximation celle de [tex]\varphi[/tex] ou celle de [tex]\sqrt 2[/tex]...
Mais c'est anecdotique.

@+

Je ne la vois pas comme ça. En fait elle met en relation des nombres particuliers, un transcendant et deux irrationnels dont [tex]\varphi^{2}[/tex], dans un rapport d'aproximation inédit avec un rapport de naturels: [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)[/tex]

Ce que je recherchais c'était:
[tex]\boxed{ \left(\dfrac{a}{b}\right)  \approx  \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{\varphi^{2}} }[/tex]

Or j'ai trouvé et propose:
[tex]\  \left(\dfrac{a}{b}\right) =  \dfrac{45}{47}[/tex]

Je dis et affirme que ce rapport inédit est "exceptionnel" et je pèse mes mots !


Voyons en quoi:

Prenons pour exemple le cas de 355/113, cette approximation de [tex]\pi [/tex] correspond à un résultat de:  [tex] \left(\dfrac{a}{b}\right)  \approx  \pi [/tex]

Le point à retenir c'est que le développement en fractions continues de  [tex] \pi [/tex] étant: [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ... ], l'excellence de 355/113 est dûe au fait que calculée à partir 4 premiers termes, elle bénéficie du suivant, le 5 ème terme, 292, qui est relativement important.


Or, si je fais la même chose avec mon approx. : [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \dfrac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} . \dfrac{45}{47} }[/tex], en calculant donc le développement en fractions continues de [tex]\dfrac{\sqrt{2.\pi}}{\varphi^{2}}[/tex] l'on trouve: [0, 1, 22, 2, 95041, 3, 1, 7, 7, 7, 1, 40, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 6, 1, 2, 2, ...].

Observe bien le 5 ème terme:    95041 !!!    = >   Dingue non?

En choissant la 4 ème approximation que permet ce développement en fractions continues, l'on bénéficie cette fois de ce 5 ème terme: 95041 qui est donc encore beaucoup plus grand, d'où ce rapport probablement le meilleur possible (???):

-----> [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)[/tex]  =  [tex] \dfrac{45}{47} [/tex].


Content d'être de nouveau parmi vous!

;)

#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 03-12-2015 22:23:34

0^0

Bonsoir,

Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouvent une multitude de similaires ou au contraire relativement peu.

Mon approximation de [tex]\sqrt{\pi}[/tex] se réduisant à la forme: [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47} } [/tex]

l'expression générale que je recherche sera de la forme:  [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{\sqrt{2}} × \dfrac{a}{b}} [/tex]

avec donc seulement 3 paramètres: (X, a et b), tous naturels sauf X (un nombre "remarquable"), a et b ayant chacun dans mon approximation seulement 2 chiffres significatifs.

Selon ces critères, il en résulte que mon approximation de [tex]\sqrt{\pi}[/tex] est relativement simple, ne comportant en réalité que 6 chiffres significatifs, [tex]\varphi^{2}[/tex] pouvant être considéré comme un nombre "remarquable".

A comparer par exemple avec :  22/7  (3 chiffres significatifs)  et  355/113  (7 chiffres significatifs), il n'est pas évident que l'on puisse en fabriquer des tas et des tas d'autres...

22/7 est très simple mais peu précise.

355/113 est excellentissime mais bien qu'elle possède également 6 chiffres significatifs à peine, elle ne fait pas intervenir de nombre remarquables...

Par conséquent, pour vérifier si ce genre d'approximation est exceptionnelle ou pas, on pourrait imaginer des programmes les recherchant toutes, par précision et forme souhaitée. Ils pourraient donc examiner entre autre des formes comme:

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{a}{b} } [/tex]

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  X × \dfrac{a}{b}}[/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{1}{X} × \dfrac{a}{b}}[/tex]

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  {X} × {Y} × \dfrac{a}{b}} [/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y} × \dfrac{a}{b}} [/tex] ----->  (avec Y un deuxième nombre "remarquable")

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X × Y}{Z} × \dfrac{a}{b}} [/tex]     [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y × Z} × \dfrac{a}{b}} [/tex] ----->  (avec Z un troisième nombre "remarquable")

et pourquoi pas aussi des formes comme:

[tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} [/tex]   ou même, celle-ci plus intéressante:   [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}} [/tex]

En effet, cette forme:  [tex]\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}} [/tex] est intéressante dans le sens où [tex] \sqrt{a^{2}+b^{2}} [/tex] et [tex] \sqrt{c^{2}+d^{2}} [/tex] sont la

plupart du temps des irrationnels avec [tex] \sqrt{c^{2}+b^{2}} [/tex] correspondant au rayon du cercle pour lequel un carré de coté

[tex] \sqrt{a^{2}+b^{2}} [/tex] aura une aire approximativement égale.


Bien cordialement.

#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 02-12-2015 23:19:08

0^0

Re,

Excuse moi, Terces..

Des programmes?

Je ne suis pas expert, mais Simon Plouffe lui-même ne l'a pas trouvé celle là. Alors jaimerais bien voir si des programmes informatiques peuvent aussi facilement que tu sembles le croire, trouver des approximations de ce genre, aussi précises et simples..

Je demande à voir..

Je l'ai trouvée en examinant les propriétés de certains rapports de nombres entiers, certaines propriétés des rectangles "2n x n" et celles de certaines constructions géométriques de phi et de phi².

#8 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 02-12-2015 22:11:37

0^0

Salut tierces,

Elle est non seulement simple, mais elle rivalise avec l'excellente 355/113. Elle serait même en réalité plus simple et plus intéressante du fait qu'elle utilise le nombre d'or, ce qui lui confère certaines propriétés exploitables...


Elle serait aussi inédite, mais je n'en ai pas la confirmation.

#9 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une approximation de racine de Pi de mon cru. Inédite je pense. » 02-12-2015 11:37:50

0^0
Réponses : 16

Bonjour,


Voilà un peu plus d'un an que je l'ai découverte à tâtons..


Vous m'en direz ce vous en penser, la voici:      [tex]\boxed{\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}    \approx    \sqrt{\pi}} [/tex]

[tex]\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}  =  1.77245385[/tex]9723... --------> 8 décimales exactes!



Ce qui nous donne aussi:

[tex]\left(\frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47}\right)^{2}  =  3.1415926[/tex]84847... -------> 7 décimales exactes!


Géométriquement, cela revient à tracer pour un cercle de rayon 47, un carré de diagonale 45 φ² qui aura une aire approximativement égale.


Bien cordialement.

#10 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 07-08-2014 20:17:44

0^0

Re,

Oui très clair merci!

Mais toujours pas de résultats et je ne comprends pas pourquoi... J'essaye de suivre ce qui se dit dans l'autre fil sur le sujet, mais je ne vois encore poindre aucune justification éclairante...


@+

#13 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 06-08-2014 18:54:38

0^0

Re,

Merci pour tes explications.

Il y a des aspects que je comprends bien et d'autres qui m'échappent. Je n'arrive pas encore à voir clairement ce qui empêcherait que m et n soient simultanément des entiers...


@+

#14 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 06-08-2014 14:42:54

0^0

Bonjour,

Concernant le triangle rectangle.

yoshi a écrit :

Conclusion AC étant entière, l'aire du triangle AMC sera toujours rationnelle si AK l'est.
Ce qui reporte la question plus loin :
Dans le triangle ABC rectangle en A aux côtés de longueurs entières, M étant un point intérieur ou pas, à quelle(s) condition(s) AK est-elle rationnelle ?

Bien vu!!

Les choses paraissent toujours bien simples une fois que l'on a l'explication...

Je vois bien maintenant - merci yoshi! - que du moment que les longueurs AB, BM et AM sont entières, AK sera toujours rationnelle.

Démonstration:

    Si (MK) est la hauteur du triangle ABM passant par A            et si            AB, AM et AM sont des longueurs entières,  l'on aura:

               [tex]AK = \frac{AB^2+AM^2-BM^2}{2AB}[/tex]

    Or, comme les carrés de nombres entiers sont toujours entiers, ainsi que leur sommes, différences et ou produits, l'on aura toujours toujours:

                 [tex]AK = \frac{p}{q}[/tex] avec p et q entiers.

____

Concernant le centre de gravité des triangles isocèles:

yoshi a écrit :

[si]  [tex]a,b,m,n \in\mathbb{N}^*[/tex], les 2 conditions à vérifier sont, en fait, très précisément :
[tex]a^2+2b^2 = 9m^2[/tex]   et   [tex]4a^2-b^2 = 9n^2[/tex]

Oui, et ton dessin semble prouver que ces deux conditions peuvent être réunies.

Alors, qu'en est-il pour nos points M centres de gravité de triangles isocèles?  En existerait-il?

     Je ne sais plus très bien quoi penser...


@+

#15 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 06-08-2014 08:33:29

0^0

Bonjour,

Ce n'était pas le but, le but était de prouver que les triangles isocèles dont les cotés sont entiers n'ont jamais leur centre de gravité à distances entières de leur sommets.

C'était bien moins évident que la non rationalité de racine carrée de 2.

Mais fut un temps où même cela n'était pas si évident...

#16 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 05-08-2014 23:43:34

0^0

Oh la la, il y a méprise!!

Loin de moi l'idée de me pavaner avec ces résultats approchés!

Je les ai juste mis là dans un but d'indiquer le fait qu'il y a effectivement une forte chance qu'ils correspondent à ce que j'ai dit, sans évidemment prouver quoi que ce soit, je ne le sais que trop bien.

Quand tu écris:

yoshi a écrit :

Tu pourrais bien me fournir 2000 chiffres décimaux égaux à 3 que ça ne donnerait qu'une probabilité très forte, pas une certitude...

C'est parfaitement exact, c'est pourquoi je comptais justement sur toi, car il est bien clair que ce n'est pas moi - je pense que tu as souvenir de mon ancien pseudo qui était sans prétention - qui vais faire ces calculs théoriques...

Remets donc ce que tu avais écrit, tu sais bien que c'est beaucoup plus intéressant que mes résultats suivis de trois petits points ! (Je pense que tout le monde sera d'accord.)


Ne pense pas que je cherche à tendre des pièges ou te coincer, ce n'est pas du tout mon esprit. Et je ne balaies pas non plus tes calculs en 3 clics de souris comme tu dis, ce n'est pas ça. Je ne connais que trop bien leur valeur, passant moi-même des heures à essayer de me frayer un chemin dans ce labyrinthe de problèmes que me posent ces maudits triangles (que j'affectionne pourtant). 


Je te dis donc la même chose: à un de ces jours donc, sans rancune si j'ai pu t'échauffer, j'espère le plus tôt possible, en toute amitié.


@+

__

Ps: Et encore désolé si j'ai pu être malencontreusement vexant.

[  Edit: j'ai modifié le post plus haut de façon à ce qu'il ne porte plus à confusion.  ]

#17 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 05-08-2014 20:13:59

0^0

Bonsoir,

Aire de ABM = 5.33268225192538543772... 

Aire de BCM = 4.33398441474128122894...

                                                                                 Aire de ABM + Aire de BCM = 29/3 ???


Aire de ACM = 14.3333333333333333333... = 43/3 ???

                       
                                   Aire de ABM + Aire de BCM +  Aire de ACM = 24


@+


[  EDIT: en rouge  ]

#18 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 05-08-2014 10:20:44

0^0

Bonjour,

Ta démonstration est bonne, voilà donc un problème de plus qui est résolu!

Je conserve le choix n° 3 dans ton programme en substituant cependant au module ton explication géométrique...

___

Reste encore l'observation faite page 9 au post #207. 

Trivial ou pas?


@+

#19 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 04-08-2014 22:36:19

0^0

Re,

Diable oui!!

       Malheur...


J'aurais dû dire que

[tex]2b^2+a^2[/tex]     et     [tex]4a^2-b^2[/tex]    doivent être des multiples de 9 mais aussi des carrés parfaits.


Bien vu!!


@+

#22 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 04-08-2014 19:30:22

0^0

Salut,

Oui, c'est troublant cette absence de résultats pour les triangles isocèles! Je n'ai pas d'explication et n'ai pas vu d'anomalie. S'il n'y en a vraiment pas ce peut être un fait à creuser...

Pour le triangle équilatéral ça se comprend, ce point étant à distance [tex]AG = coté \times \frac {\sqrt{3}}{3}[/tex], puisque nous travaillons avec des cotés entiers, AG ne pourra jamais prendre une valeur entière.

Mais pour le triangle isocèle, voyons ce que cela peut signifier:

Soit b la base du triangle isocèle, a et a les cotés égaux, c et c les distances des sommets de la base à M le centre de gravité et enfin d la distance du sommet principal à M.

Si je n'ai pas fait d'erreur, le problème se résume donc à trouver des cas où a, b, c et d ont des valeurs entières avec

[tex]c = \frac{\sqrt {2b^2+a^2}}{3}[/tex]

    et 

[tex]d = \frac{\sqrt {4a^2-b^2}}{3}[/tex]


Autrement dit:


[tex]2b^2+a^2[/tex]     et     [tex]4a^2-b^2[/tex]    doivent être des multiples de 9


[  EDIT: Attention bullshit!!  ]


@+

#23 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 03-08-2014 21:57:09

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Bonsoir,

yoshi a écrit :

Je crois avoir détaillé cela dans le post#237...

En effet! En te relisant, je vois tout y était déjà parfaitement explicité...

Mon attention a dû être captivée par l'un ou l'autre aspect de ta démonstration me faisant oublier la conclusion!!

Comme quoi, il est bon de bien prendre le temps de lire et mais aussi de relire, ce que pour ma défense je fais pourtant la plupart du temps.


Je charge la version complète!

     :)


@+

#24 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 03-08-2014 15:42:38

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Bonjour,

Je n'ai pas trouvé mieux...

J'ai aussi trouvé sur le net la formule utilisant le périmètre mais je n'ai pas su aussi bien l'exploiter.


Pour tout triangle ABC, si M est le point de concours de ses bissectrices nous avons donc:


[tex]AM = \sqrt{\frac{bc(p-2a)}{p}}[/tex]            [tex]BM = \sqrt{\frac{ac(p-2b)}{p}}[/tex]            et            [tex]CM = \sqrt{\frac{ab(p-2c)}{p}}[/tex]


Très bien!

___


En décortiquant un peu ton programme et particulièrement le module relatif aux triangles ABC scalènes pour lesquels M est confondu avec leur orthocentre, j'ai aussi noté avec intérêt ce qui suit:


Pour tout triangle ABC, si M est son orthocentre nous avons:


[tex]AM = \frac{a\times(b^2+c^2-a^2)}{4\times Aire_{ABC}}[/tex]            [tex]BM = \frac{b\times(a^2+c^2-b^2)}{4\times Aire_{ABC}}[/tex]            et            [tex]CM = \frac{c\times(a^2+b^2-c^2)}{4\times Aire_{ABC}}[/tex]


Comment es-tu parvenu à ce résultat?


@+

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