Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
est-ce que quelqu'un peut me proposer des équations différentielles à résoudre dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ pour m'entrainer?
Merci d'avance.

Bonjour,
c'est quoi le problème du bi-laplacien, et c'est quoi les questions interessantes pour l'étudier dans le cadre des espaces de Sobolev?
Merci par avance.

Bonjour,
on considère le problème de Cauchy $$
\begin{cases}
y'=2x \sqrt{y-1},\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$ La question est de calculer la solution de ce problème.

Voici ce que j'ai fait. On remarque que l'edo est d'ordre 1 à variables séparables.
On commence par étudier l'existence et l'unicité de la solution de ce problème.
On pose $f(x,y)=2 x \sqrt{y-1}$, et on a que $f$ est de classe $C^1$ par rapport à $y$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. On conclut par le théorème de Cauchy Lipschitz (formulation faible), que pour tout $(x_0,y_0)$, ce problème admet une solution unique à valeurs dans $]1,+\infty[$.

Mes deux questions sont   1. Pour le cas où $y$ est identique à 1, on n'a pas unicité de la solution ? Dans ce cas là, il peut y avoir des solutions t.q il existe $x_i: y(x_i)=1$. Comment faire dans ce cas ?

2. dans le cas du problème
$$
\begin{cases}
y'=y^2\\
y(0)=2
\end{cases}
$$
comment savoir si $y$ ne s'annule pas seulement en quelques points? Et qu'est ce qui va nous permettre d'écrire l'edo sous la forme équivante:
$
\dfrac{1}{y^2}y'=1
$?
S'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Bonour,
dans une preuve, je lis que le produit de convolution $T \star S \in \mathcal{D}$ t.q $T$ est une distribution à support compact, et $\varphi$ une fonction test.
Pour montrer que $T \star \varphi$ est a support compact, on dit dans le preuve que c'est grâce à l'inclusion
$$Supp (T \star \varphi) \subset Supp T + Supp \varphi$$
Donc comment cette dérnière inclusion peut nous affirmer que $T \star \varphi$ est à support compact?
Merci par avance.

Bonjour,
je bloque sur une question de calcul. Merci par avance pour l'aide.
Soit $varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Soit $x, y \in \mathbb{R}^n$. On note $\tau_x \tilde{\varphi}(y)= \varphi(x-y)$. ($\tilde{\varphi}(x)= \varphi(-x))$.
Ma question est: soit $\alpha \in \mathbb{N}^n$. Comment on arrive à montrer que
$$
D_y^\alpha(\tau_x \tilde{\varphi})= (-1)^{|\alpha|} \tau_x(D_y^{\alpha} \tilde{\varphi})= (-1)^{|\alpha|} D_y^{\alpha}(\tau_x \tilde{\varphi})
$$
?

Bonjour,
soitla distribution
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \langle T,\varphi \rangle= \displaystyle\int_{-1}^1 x \varphi'(x) dx.
$$
Ma question est: Qu'est ce qu'on est tenter de prendre comme le support de T?
Merci pour votre aide.

Bonjour,
dans mon cours sur le produit de convolution, on commence par le théorème de dérivation qui dit ceci:
Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^p)$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{p+q})$.
L'application définie par
$$
f(y)=\langle T_x,\varphi\rangle_{\mathcal{E}'(\mathbb{R}^p),\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)}
$$
($y$ est une variable, et $T$ une distribution par rapport à $x$)
est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^q)$ (car $y \in \mathbb{R}^q)$
et on a
$$
\forall \alpha \in \mathbb{N}^q: D^\alpha f(y)= \langle T,D^\alpha_y \varphi \rangle$.
$$

Voilà, je suis un peu perdue. En fait, on commence par supposer que $\varphi \in \mathcal{E}^{p+q}$, puis dans le crochet de distribution on écrit $\mathcal{E}(\mathbb{R}^p)$, et ça veut dire quoi que $T$ est une distribution par rapport à $x$? S'il vous plaît. Et ma dérnière question, à quoi sert ce théorème?
Merci par avance.

Bonjour,

Soit $m \in \mathbb{N}$. On pose $$A=\sum_{|\alpha|\leq m} (-1)^{|\alpha|} D^{2 \alpha}$$ défini de
H^m(\mathbb{R}^n) \to H^{-m}(\mathbb{R}^n)$$  est bijective, donc surjective et injective.

Voici ce que j'ai fait
Je lis dans un livre, qu'on remarque que  $||Au||_{H^{-m}}= ||u||_{H^m}$, et il a dit que celà signifie que $A$ garde les distance, donc A est mesurable et c'est mieux qu'un morphisme. Je ne comprend pas bien cette remarque.

A est injectif car $u=0$ implique que $||u||=0$ donc $||Au||=0$.

Il reste à montrer que A est surjectif. Pour ca, j'ai trouvé la preuve suivante:
Soit $T \in H^{-m}$, alors il existe un unique $u \in H^{-m}$ t.q $\forall v \in H^m: <T,v>_{H^{-m},H^m}= (u,v)_{H^m} = <Au,v>_{H^{-m},H^m}$
on en conclut que $T= Au$.
Je n'ai vraiment pas réussi à comprendre cette preuve de la surjectivité. Qu'est ce qu'ils essayent de faire?

Merci par avance de m'aider à comprendre ce point.

Bonjour,
Si $m_1, m_2 \in \mathbb{N}$ t.q $m_1 < m_2$ quelle inclusion il y a entre $H^{m_1}$ et $H^{m_2}$?
Merci par avance

Bonjour,
soit l'opérateur
\begin{align*}
A: H^1 &\to H^{-1}\\
     u &\to Au= \sum_{i,j=1}^n D_i(a_{ij} D_j u)
\end{align*}

où $(a_{ij})$ sont des fonctions réelles, bornées, t.q $a_{ij}= a_{ji}$, et t.q $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq |\xi|^2$.

On a le théorème suivant:
$$\forall \lambda >0,\forall f \in H^{-1}, \exists! u \in H^{-1}: Au-\lambda u=f$$

Je cherche à démontrer ce théorème. Voici la preuve que j'ai trouvé. On utilise le lemme suivant:
l'application
\begin{align*}
H^1 \times H^1 &\to \mathbb{C}\\
(u,v) &\to (u,v)*
\end{align*}
avec
$$
(u,v)*= \sum_{i,j=1}^n \int a_{ij}D_i \overline{D_j v} + \lambda \int u \overline v
$$

défini un produit scalaire sur $H^1$, et sa norme est équivalente à celle de $H^1$.

Preuve de l'existence: soit $f \in H^{-1}$, et soit $\lambda >0$. On considère la forme linéaire continue
\begin{align*}
H^1 &\to \mathbb{C}\\
v &\to <f,v>_{H^{-1},H^1}
\end{align*}

D'après Riesz,
$$\exists! w \in H^1, \forall v \in H^1: <f,v>_{H^{-1},H^1}= (x,w)*$$

Soit $\phi \in \mathcal{D}$. On a $$<f,phi>_{H^{-1},H^1}= <f,\phi>_{D',D}$$
\begin{align*}
<f,\phi>_{D',D}&= (\phi,w)*\\
& = \sum_{i,j} \int a_{ij} D_i \phi \overline{D_j w} + \lambda \int \phi \overline{w}\\
                       & = \sum <a_{ij} D_j w,D_i \phi>_{D',D}+ \lambda <w,\phi>_{D',D}\\
                       & = - <\sum D_i(a_{ij} D_j w),\phi> + <\lambda w,\phi>_{D',D}
\end{align*}
donc on conclut que $$f= -\sum_{i,j} D_i(a_{ij} D_j w)+ \lambda w$$

Mes questions s'il vous plaît, sont:

1. Pourquoi on a besoin que $a_{ij}= a_{ji}$?
2. à quoi sert la condition $\sum_{i,j} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq C |\xi|^2$?
3. Que signifie exactement le théorème? S'il vous plaît.
4. Dans la preuve du théorème: partie existence:
4.1. Je ne comprend pas pourquoi on introduit a forme linéaire continue qui à $v \in H^1$ associe $<f,v>_{H^{-1},H^1}$
4.2. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on introduit Riesz.
4.3. S'il vous plaît, pourquoi et comment on écrit pour tout $\phi \in  D, <f,\phi>_{H^{-1},H^1}= <f,\phi>_{D',D}= (\phi,w)*$? Je ne comprend pas pourquoi on peut l'écrire et quel est sont intérêt? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.