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#1 Re : Entraide (supérieur) » Injectivité/surjectivité à deux variables » Hier 08:29:33

Bonjour,

Natsu hadder a écrit :

Ah , d'accord , je comprend mieux maintenant . Mais ne devrait il pas étudier deux cas ? si on revient à dire qu'ils sont différents alors ce sera soit p<p' soit p'<p , et on demontrera par une contradiction que c'est faux .

En fait, l'argument développé par Fred est important à comprendre. Il dit :

Fred a écrit :

Quitte à permuter le rôle joué par (p,q) et (p',q'), on peut supposer que p<p'.

Comme on ne suppose rien de particulier sur (p,q) et (p',q'), la démonstration qui serait déroulée pour le cas p'<p est strictement la même que celle pour le cas p<p', à l'inversion des 'prime' près. Donc plutôt que de redire deux fois la même chose, on invoque cet argument de symétrie des variables.

Par exemple, si on te demande de démontrer une propriété sur deux entiers quelconques, tu commences par dire soit $x$ et $y$ deux entiers quelconques. Quitte à renommer les variables, on peut suppose $x \le y$.
Par contre, tu n'aurais plus le droit de le faire si on "spécialise" une des variable. Si on demande de vérifier une propriété pour un entier premier est un entier quelconque, on ne peux pas dire : soit $p$ premier et $n$ entier, quitte à bla bla, on peut supposer $p \le n$. Ici, il n'y a plus de symétrie dans les rôles joués par les deux variables et on aurait alors démontré la propriété que dans le cas où l'entier quelconque est supérieur au nombre premier.

#2 Re : Entraide (supérieur) » probabilité » 18-11-2017 11:19:04

Bonjour Idris,

Essaie de dire en mots ce qu'est $X_2$ :

Idris a écrit :

Xn la variable aléatoire égale au nombre de changement survenus durant les n premiers lancers

Donc $X_2$ égale au nombre de changements survenus durant les $2$ premiers lancers
Comme par définition, le premier lancer ne donne pas lieu à un changement, ça donne
$X_2$ égale à 1 s'il y a un changement durant le $2-$ème lancers et $0$ sinon
...

#3 Re : Entraide (supérieur) » Suite divergente dans un espace métrique » 18-11-2017 10:31:29

Bonjour,

Sauf erreur : par définition, une suite admet une valeur d'adhérence lorsqu'elle a une suite extraite qui converge vers cette valeur.
Donc, si une suite a deux valeur d'adhérences distinctes, elle a deux suites extraites qui convergent vers ces deux valeurs distinctes.
Or, si une suite converge, toute suite extraite converge vers la même valeur...

#4 Re : Entraide (supérieur) » Ensembles et Bijections » 16-11-2017 16:47:49

Bonsoir,
Je vais un peu simplifier les notation pour que ce soit propre.
Je note $\Gamma$ l'ensemble des bijections de $A \to B$ et $\Gamma_{ab}$ l'ensemble des bijections de $A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ pour $(a,b) \in A\times B$ quelconque.
Je vais montrer qu'on peut construite une injection de $\Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$ et une injection de $B\times \Gamma_{ab}\to \Gamma$, ce qui montrera que les deux ensembles sont en bijection (Théorème de Cantor-Bernstein).

Pour une application $F: \Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$, je vais noter $F(f)=(F_1(f), F_2(f))$ les composantes de l'image de $F(f)$ (on a donc $F_1(f) \in B$ et $F_2(f) \in \Gamma_{ab}$).

Soit $\gamma \in \Gamma$. Je définis alors $F_1$ et $F_2$ comme suit :
1) $F_1(\gamma) = \gamma(a)$
2) $F_2(\gamma): A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ telle que $\forall x \in A\setminus\{a\}$, $F_2(\gamma)(x) =
  \begin{cases}
    \gamma(x)       & \quad \text{si } x \neq \gamma^{-1}(b)\\
    \gamma(a)  & \quad \text{si } x = \gamma^{-1}(b)
  \end{cases}$

Tu peux alors montrer que $F$ ainsi définie est injective.

L'injection dans l'autre sens est plus simple. Soit $(b',\sigma) \in B \times \Gamma_{ab}$, je définis alors $G(b',\sigma) \in \Gamma$ par :
1) $G(b',\sigma)(a) = b'$
2) $\forall x \neq a$, $G(b',\sigma)(x) = \begin{cases}
    \sigma(x)       & \quad \text{si } \sigma(x) \neq b'\\
    b  & \quad \text{si } \sigma(x) = b'
  \end{cases}$
Ici, c'est encore plus simple de montrer l'injectivité.

Une fois qu'on montre que $F$ et $G$ sont injectives, on peut conclure que $\Gamma \simeq B \times \Gamma_{ab}$

[EDIT]
Pour être complet, il faudrait également montrer que $F$ et $G$ sont bien définies et qu'en particulier, $F_2(\gamma)$ est bien un élément de $\Gamma_{ab}$, ce qui ne pose pas de difficulté particulière.

[EDIT2]
L'expression de $G$ était incorrecte. J'étais allé un peu vite en besogne !
by the way, tu peux également montrer que $G=F^{-1}$

#5 Re : Entraide (supérieur) » Ensembles et Bijections » 16-11-2017 08:07:12

Bonjour,
Dans ce cas tu peux alors montrer que l'ensemble $EnsBij(A,B)$ est bijectif avec l'ensemble  $B \times EnsBij(A\setminus\{a\},B\setminus\{b\})$. Ce sera peu ou prou la même démarche  : une bijection $f$ de $A \to B$ est entièrement déterminée si je connais l'image $b=f(a)$ d'un élément quelconque $a$ et que je connais la bijection  $f|_{A\setminus\{a\}}: A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ (restriction de $f$ à $A\setminus\{a\}$)

#6 Re : Entraide (supérieur) » Ensembles et Bijections » 15-11-2017 20:59:01

Bonsoir,
Je ne pense pas que tu trouveras une égalité ensembliste entre EnsBij(A,B) et EnsBij(A\{a},B\{b}), les éléments n'ont rien à voir entre eux.
Par contre, tu peux trouver une relation qui lie leur cardinal.
L'idée générale est la suivante pour compter les bijections :
Pour construire une bijection de A vers B, je prends un élément a de A et j'essaie de lui trouver une image dans B : j'ai #B possibilités.
Une fois que je fais un choix, disons b, je suis face au même problème, sur des ensembles différents : A\{a} et B\{b}.

C'est ce qui donne la relation que tu cherches

#7 Re : Café mathématique » Which order to learn math topics in? » 15-11-2017 20:48:33

Hi RyanCaleb,
May be you can follow the Bourbaki road : they tried to rewrite a great deal of math from the ground up.
I guess the published books follow a logical order :
Livre I :      Set theory
Livre II :     Algabra
Livre III :    General Topology
Livre IV :    Single variable functions
Livre V :     Topological vectorial spaces
Livre VI :    Integration
Livre VII :   Commutative algebra
Livre VIII :  differential  and analytical manifolds
Livre IX :    Groups and Lie algebras
Livre X :     Spectral theory

#8 Re : Entraide (supérieur) » (log|x|)' » 14-11-2017 10:37:46

Bonjour,
Deux éléments de réponse :
1) Parce que l'intégrale de Lebesgue d'une fonction est inchangée si on change sa valeur sur un ensemble de point de mesure nulle
2) Et parce qu'en effet, $L^1_{loc}$ est un ensemble quotient : deux fonctions que ne différent que sur un ensemble de mesure nulle appartiennent à la même classe d'équivalence. Si je prends la fonction $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ f(x) = \log(|x|),\ f(0)=0$, et la fonction $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ g(x) = \log(|x|),\ g(0)=1$, alors, $f \neq g$ et pour autant $\bar{f}=\bar{g}$ dans $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et on convient de noter cette classe d'équivalence $\log(|x|)$.

Quotienter un ensemble revient à changer de lunette pour regarder les éléments de cet ensemble. Considérer un élément de $L^1_{loc}$, c'est accepter de ne s'intéresser qu'au comportement sur des voisinage d'un point (plus exactement, sur des ensemble de mesure non nulle contenant ce point) et d'oublier la valeur en ce point.

#9 Re : Entraide (supérieur) » Equation non linéaire » 13-11-2017 10:48:46

Bonjour,
En restant aussi vague que ta question, on peut définir plutôt une équation linéaire qui est toute équation de la forme $AX-B=0$ où $X \in E^n$ est le vecteur des inconnues d'un espace $E$ (réels, fonctions, ...) ayant une structure de $\mathbb{K}-$espace vectoriel (la linéarité est un concept d'espaces vectoriels) et $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ($\mathbb{K}$ étant un corps, en général le corps des réels ou des complexes).

Une équation non linéaire est alors une équation qui n'est pas linéaire !

#10 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 11-11-2017 09:17:53

Bonjour,
Je ne vois pas d'ou viennent les discontinuités dont tu parles.
La démarche est similaire à ce que tu dis, mais en plus simple : toute partie infinie de $\alpha\mathbb{Z}$ est non bornée (pour $\alpha \neq 0$, si elle était bornée, par un certain $M$, elle serait incluse dans $\{-M, -M+\alpha, -M+2\alpha,...,M\}$ qui est une partie finie. Pour $\alpha=0$, $\alpha\mathbb{Z}=\{0\}$).

#11 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 10-11-2017 20:41:30

Non, ce n'est pas bon. Infini ne veut pas dire non borné. l'intervalle $[0,1]$ est infini et est pourtant borné.
Si le $\alpha$ te perturbe, tu peux l'oublier dans un premier temps.

#12 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 10-11-2017 13:01:24

1- Essaie de le faire dans l'autre sens : si $K \cap \alpha\mathbb{Z}$ est infini, alors $K$ n'est pas borné, et donc $K$ n'est pas compact

2- C'est toi qui soulevait l'exemple de discontinuités qui tendraient vers $0$. J'en ai implicitement déduit qu'il s'agissait d'un ensemble infini de discontinuités. Si maintenant ces discontinuités sont de la forme $\dfrac{1}{n}$ pour $n \in I$ avec $I$ fini, alors la formule des sauts s'applique (elle se fiche pas mal de savoir que les points de discontinuités soient de la forme $1/n$ ou $sin(e^n))$, il faut juste que leur nombre soit fini).

#13 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Trouver la bonne série de nombres pour un résultat donné. » 10-11-2017 10:09:34

Bonjour,
Ce problème est similaire au problème général de la partition d'un entier. Le génial Ramanujan a contribué avec Hardy à ce sujet (une scène du biopic "L'Homme qui défiait l'infini" montre un échange sur ce sujet).
Voir sur Wikipedia la page consacrée au sujet.

#14 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 10-11-2017 10:00:06

1- Est-ce que tu peux montrer cette petite propriété : $\forall K$ compact de $\mathbb{R}$, $Card(K \cap \alpha\mathbb{Z}) < \infty$ (où $\alpha$ est un réel quelconque) ?

2- la formule des sauts requiert que le nombre de discontinuité soit fini.

#15 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 10-11-2017 08:45:42

Bonjour,
J'ai du mal à suivre comprendre ce qui te pose problème.

On considère une fonction $f \in L^1_{loc}$ périodique avec des discontinuités aux points $2k\pi$ et on montre que la dérivée au sens des distributions peut s'exprimer presque comme la formule des sauts. La différence étant que dans la formule des sauts, la somme $\sum_{i=0}^N s_i\delta_{x_i}$ est finie alors que pour cet exercice, cette somme semble être infinie. Le "semble" est à dessein : La notation $\sum_{i\in\mathbb{Z}} s_i\delta_{x_i}$ ne représente pas une série de distributions qui convergerait vers une distribution, mais simplement un raccourci pour indiquer une somme qui sera toujours finie mais dont les bornes de l'indice $i$ vont dépendre de la fonction test à laquelle  elle est appliquée. Si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[-1,1]$, alors la somme ne contiendra qu'un seul terme $i=0$, et si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[2\pi, 10\pi]$, alors la somme aura 9 termes $i=2...10$. C'est ce point qui exige que le support ne contienne qu'un nombre fini de discontinuités, de manière à toujours avoir une somme finie.

Si maintenant on considère une fonction $g \in L^1_{loc}$ qui est discontinue aux points $\frac{1}{n}$, alors la méthode déroulée ici n'est plus applicable. La dérivée de $g$ est alors simplement donnée par sa définition $\langle T'_g, \varphi\rangle := -\langle T_g, \varphi'\rangle$.

#16 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 09-11-2017 17:27:21

Comme l'a dit Fred, la somme $\displaystyle \sum_{k\in\mathbb{Z}} \delta_{a_k}$ a un sens car, quand on l'applique à une fonction à support compact $\varphi$, l'ensemble des points où $\varphi(a_k) \neq 0$ sera fini et on aura en réalité une somme du type $\displaystyle \sum_{k\in I} \varphi(a_k)$ où $I$ est une partie finie de $\mathbb{Z}$, ce qui a un sens.
Le point important est qu'il n'y ait pas de compact $K$ contenant un nombre infini de points de discontinuité, parce que sinon, je peux toujours trouver une fonction test pour laquelle il n'y a pas de convergence (fonction valant $1$ sur le compact).
Il se trouve que cette condition est remplie dans le cas de points de discontinuité périodiques.

Comme je l'ai dit, si tu as une fonctions $f \in L^1_{loc}$ discontinue aux points $1/n$, tu ne pourra pas exprimer sa dérivée au sens des distributions à l'aide d'une combinaison de $\delta_{x_k}$.

#17 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 09-11-2017 14:33:28

Bonjour,
Ici, l'exercice concerne la dérivé au sens des distribution d'une fonction dont les discontinuités sont périodiques et donc une expression du type $\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{2k\pi}$ a bien un sens.
Pour une fonction plus "sauvage" dont les discontinuités seraient aux points $\dfrac{1}{n}$, il ne sera en général pas possible d'exprimer sa dérivé au sens des distribution aussi simplement.

L'objet de l'exercice est je pense de montrer que la formule des sauts, valable pour un nombre fini de discontinuités, peut être généralisée lorsque les discontinuités sont infinies et périodiques. Elle ne peut pas être généralisée à n'importe quel ensemble de points de discontinuité.

#18 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 06-11-2017 20:42:48

Nope, je ne reboucle pas. Relis le fil en question.

#19 Re : Entraide (supérieur) » Simplification d'une formule » 06-11-2017 20:01:34

ça n'explique toujours pas le contexte dans lequel s'inscrivent ces exercices !
Ces formules semblent tellement compliquées !

#20 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 06-11-2017 19:59:09

Je ne sais pas si c'est plus facile à "voire". Mais c'est facile à dessiner et tu devrais faire l'effort de le faire.

#21 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 06-11-2017 19:17:58

Bonsoir,
La notion de distribution fait partie des sujets avancés qui supposent un bagage mathématique solide.
Il est donc inhabituel de voir quelqu'un aborder ce sujet et galérer sur des notions de base.

Si tu prends $x \in \mathbb{R}$, alors, il existe un unique $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2k\pi \le x < 2(k+1)\pi$ (c'est la partie entière de $\dfrac{x}{2\pi}$). En retranchant $2k\pi$ à cette inégalité, on a alors $0 \le x - 2k\pi < 2\pi$ et je pose $y=x - 2k\pi$. Donc $y \in [0,2\pi[$, je sais donc calculer $g(y)$ : $g(y)=y$.
Maintenant, $g$ est périodique, donc $g(y+2k\pi)=g(y)=y$. En remettant $x$ dans cette égalité, on trouve $g(x)=x - 2k\pi$

#22 Re : Entraide (supérieur) » Simplification d'une formule » 06-11-2017 19:04:15

Bonsoir,
Simple curiosité : dans quel contexte as-tu besoin de faire ce genre de calculs ?
Ces formules sont-elle rattachées à un problème concret ?

#23 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée dans D' » 06-11-2017 09:31:53

Bonjour,
Il n'y a pas que $g$ qui soit périodique, les questions de bib (alias tina) le sont également : voir ici, discussion quasi-identique !

#24 Re : Entraide (supérieur) » preuve de la formule de Poincaré en théorie des mesures » 27-10-2017 09:59:22

Bonjour,
Attention, il y a des coquilles dans ce que tu as écris pour le cas $n=2$,
tu as écris

lekoue a écrit :

$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap_{i=1}^2A_i$

Alors que c'est plutôt
$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\cup(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)) \cup \bigcap_{i=1}^2A_i$

Pour l’hérédité, il faut écrire
$\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i = \bigcup_{i=1}^{n}A_i \cup A_{n+1}$

Tu appliques le cas $n=2$ à cette égalité pour avoir
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) + \mu\left(A_{n+1}\right) -  \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\cap A_{n+1}\right)$

Utilise la distributivité de l'union pour transformer le troisième terme du deuxième membre en une intersection. Tu pourras alors appliquer l'hypothèse de récurrences au premier et troisième terme (transformé) et regrouper tous les termes.

Tu peux aussi chercher sur le net avec les mots clés "formule du crible", souvent rencontrée en probabilités.

#25 Re : Entraide (supérieur) » systeme differentielle » 24-10-2017 16:10:22

Bonsoir,
Je ne suis pas un spécialiste, mais par analogie avec le cas dim=1, tu peux écrire $X'_t = AX_t + \beta$ où $X_t$ désigne le vecteur $\left(x(t), y(t), z(t)\right)^T$, $A$ une matrice $3\times 3$ et $\beta$ un vecteur non dépendant de $X_t$ ($\left(1, -e^t, 2e^t\right)$ dans ton cas).
La solution de l'équation homogène $X'_t = AX_t$ est de la forme $X_t = exp(At)$.

Voir ici pour une discussion sur l'exponentielle d'une matrice.

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