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#1 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 17-02-2018 17:53:08

Bonsoir,
Ma parenthèse expliquait qu'il n'est pas canonique parce qu'on est obligé de fixer une base. Chaque choix de base donne un isomorphisme différent, donc absolument pas canonique.

#2 Re : Entraide (collège-lycée) » exercice » 16-02-2018 17:23:49

A quel niveau du collège apprend-on à utiliser le discriminant ?

#3 Re : Entraide (supérieur) » Erreur maximale » 16-02-2018 14:47:16

Bonjour,
ça dépend si tu cherches une réponse rigoureuse on un calcul "physique".
Un physicien ferait l'approximation suivante :
$d\eta = \dfrac{\partial \eta}{\partial r}dr + \dfrac{\partial \eta}{\partial p}dp$
et donc, au premier ordre
$\delta \eta \approx \dfrac{\partial \eta}{\partial r}\delta r + \dfrac{\partial \eta}{\partial p}\delta p$
et donc, en fonction du signe des dérivées partielles au point considéré, on utilisera la variation + ou - de $\delta r$ et de $\delta p$ pour trouver la variation maximale de $\eta$

#4 Café mathématique » Réforme du Bac » 15-02-2018 11:12:25

Yassine
Réponses : 2

Bonjour à tous,
Que pensent les profs du forum sur cette proposition de réforme ?

Je suis pour ma part partagé. Je vois bien l'intérêt d'une dose de contrôle continue et d'un Oral, et en même temps, je vois le risque d'amoindrir la valeur du diplôme selon la réputation du Bahut : Bac LLG ou H4 vs Bac Trifouilly-les-Oies.

Cela dit, pour les dossiers APB (ou Parcours Sup), cette réputation du lycée d'origine est déjà prise en compte.

A vous lire

#5 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 15-02-2018 08:04:48

C'est pire alors !
Reprenons :
$GL_n(\mathbb{K})=GL(n,\mathbb{K})$ est le groupe des matrices carrées inversibles $n \times n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$.
$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Par contre, comme en général $V$ n'a pas de structure de corps, la notation $GL_n(V)$ ou  $GL(n,V)$ n'a pas de sens.

$\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)}$ est un corps qui peut être vu comme un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension non nécessairement égale à $n$ (La dimension de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est $2$ alors que celle de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ est $3$ par exemple).

La représentation dont parle ton cours est formellement définie comme suit :

$\rho: \mathfrak{S_n} \to GL(\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)})$ où $\rho(\sigma)$ est l'unique automorphisme de $\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$ vérifiant $\rho(\sigma)(\alpha_i)=\alpha_{\sigma(i)}$.

#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un calcul révolutionnaire » 13-02-2018 13:09:06

Bonjour
Je pense que cette solution ne répond pas au problème posé. Elle nécessite en effet de calculer $10^{\frac{6999}{1789}}$ et  $10^{\frac{7000}{1789}}$, chose que personnellement, je ne saurais pas faire de tête.


[EDIT]
Je ne sais pas finalement, si ce que je dis est juste.
A priori, ce calcul peut être fait indépendamment du nombre de 7000 chiffres. On sait alors qu'il n'y a que 10 entiers de 7000 chiffres qui sont puissance 1789-ème d'un autre entier et on a un moyen immédiat de voir la racine de celui qui a été choisi (ils ont le même chiffre d'unité).

#7 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 12-02-2018 20:04:49

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris.
Pour alléger, je note $V=\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$.

D'abord, la base de $V$ en tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel dépend des $\alpha_i$ (cas extrême, s'ils sont rationnels, la dimension est $1$).

Ensuite, je ne vois pas trop pourquoi tu parles de matrices. Les éléments de $GL(V)$ sont des automorphisme de $V$ et la représentation d'un groupe $\rho: G \to GL(V)$ qui n'a pas de raison d'être isomorphe à $GL_n(\mathbb{Q})$ (comme je l'ai dit, la dimension de $V$ n'est pas $n$).

Donc, $Gal(f)$ va agir sur $V$ en échangeant les racines, ce qui peut se voir en effet comme une représentation du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ : un automorphisme de $V$ est entièrement déterminé si on connait l'image de chaque $\alpha_i$, donc un élément $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ va agir sur $V$ en envoyant chaque $\alpha_i$ sur $\alpha_{\sigma(i)}$

#8 Re : Entraide (supérieur) » relation o » 12-02-2018 17:00:21

Ok, ça exclue le cas $\emptyset$ dans V

Je pense qu'il doit manquer le terme "sur V0" dans ta définition :

on dit que $f$ est négligeable devant $g$ sur V0 si ...

Globalement, ce que ça dit, c'est que on peut rendre $f$ aussi petite comparé à $g$ qu'on le veut, pour peu qu'on restreigne les fonction à un ouvert plus petit.

Plus formellement, l'écriture $\forall x \in v_0 \quad x \in v \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ peut simplement être remplacée par $\forall x \in v_0 \cap v \quad |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$.
Ce qui peut encore se simplifier en remplaçant le $\exists v \in \textbf{V}$ par $\exists v \subset v_0$ (même si c'est un abus de notation).

Donc, ça devient,

Soit $v_0 \in \textbf{V}$, $f$ et $g$ deux fonction définie sur $v_0$. On dira que $f$ est négligeable devant $g$ sur $v_0$, qu'on notera $f=o(g)$ si
$\forall \epsilon > 0, \exists v \subset v_0, \quad \forall x \in v\ |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$

En fait cette définition compliquée comme ça permet d'unifier 3 définitions en une seule :
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $+\infty$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $-\infty$

Le fait de préciser $v \subset v_0$ permet d'affiner le $v$, soit en le rendant proche de $a$ pour le premier cas, soit en l'approchant de l'infini dans les deux autres cas.

#9 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 12-02-2018 15:56:18

Je ne suis pas un grand expert de la théorie de Galois, mais je peux essayer...

En premier, est-ce que tu vois/sais qu'un élément de $Gal(f)$, différent de l'identité, va échanger les racines de $f$ ?

#10 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme canonique » 12-02-2018 14:34:07

Bonjour,
Une proposition de piste. A creuser ...

D'abord, si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels, $E^* \oplus F$ s'identifie à $Hom(E,F)$
En effet, si $\alpha \in E^*$ et $v \in F$, tu peux leur associer canoniquement l'application linéaire dans $Hom(E,F)$ définie par $E \ni x \to \alpha(x)v$.

Donc, en posant $E=v$ et $F=v'^*$, tu as que $Hom(v,v'^*)$ s'identifie à $v^* \oplus v'^*$

Il faut maintenant montrer que $v^* \oplus v'^*$ s'identifie à $v \oplus v'$

#11 Re : Entraide (supérieur) » relation o » 12-02-2018 13:20:36

Bonjour,
Je pense qu'il y a deux soucis avec ta définition :
1) la dernière équivalence doit être une implication plutôt.
2) Ton V semble être l'ensemble de tous les ouverts. Or, il suffit que je prenne $V = \emptyset$ pour que la condition $\forall x \in V_0,\quad x \in V \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ soit toujours vérifiée.

Il faudrait nous donner plus de contexte (éventuellement un lien vers l'article ou le livre qui comporte cette définition).

#12 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un calcul révolutionnaire » 10-02-2018 11:11:18

Bonjour,

Bonjour,
Pour l'énoncé, c'est du pur copier/coller !

D'abord, pour le paradoxe Lexical, c'est une bête question de poteaux et d'intervalle !
En effet, si on remplace 13 par 2, le paradoxe est plus apparent : Il est en effet faux de dire que "La racine carré d'un nombre $a$ est le nombre $b$ qui, multiplié par lui même deux fois donne $a$". C'est multiplié par lui même une fois !

Pour l'extraction de la racine, voici ce que j'ai trouvé. J'ai un doute, je vous demande votre relecture critique !
On note $a$ le nombre recherché.
D'abord, on remarque que $1789$ est premier. Je le note $p$ par la suite.
Avec Fermat, on a $a^p \equiv a \mod p$
Ensuite, je remarque que $a < 10^4$ (ça nécessite le calcul de $3\times 1789$ et de $4\times 1789$, facile à faire de tête)
On peut donc écrire $a=a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0$, on a donc, en utilisant le morphisme de Frobenius :
$a^p \equiv (a_3)^p (10^3)^p + (a_2)^p (10^2)^p + (a_1)^p 10^p + a_0^p  \mod p$
Et donc
$a^p  \equiv a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0 \mod p$
La solution est donc en lecture immédiate en regardant les 4 derniers chiffres de $a^p$

[EDIT]
Ce dernier passage est un peu douteux. Il faut que je retravaille mieux le passage d'une égalité $\mod p$ à une égalité $\mod 10^4$ pour pouvoir "lire" le résultat.

#13 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » un calcul révolutionnaire » 09-02-2018 13:48:51

Yassine
Réponses : 5

Ci-après une énigme posée dans le dernier numéro de la revue Acromath. Je n'y ai pas encore réfléchi personnellement. Donc, je ne pourrai pas (encore) donner d'indication à ceux qui le demanderait

---------------------------------------------------------------------------------------------------

• Calculer la racine carrée d’un nombre de 80 chiffres n’est pas très simple, même si on sait que l’entier $n$ est un carré parfait ($n=m^2$).

• Calculer la racine treizième d’un nombre $n$ de 100 chiffres est encore plus compliqué, même si on sait que $n$ est une puissance treizième exacte d’entier ($n=m^{13}$). C'est même certainement impossible de tête.
• Que penser alors du calcul de la racine 1 789-ème d’un nombre $n$ de 7 000 chiffres, même en sachant que $n$ est une puissance 1 789-ème exacte ($n=m^{1789}$).  Réussir un tel calcul de tête constituerait une révolution!

Cela semble paradoxal, mais le troisième exercice est le plus simple : vous pouvez d’ailleurs le faire vous-même.

Le second calcul est difficile sans papier, mais quelques amateurs de calcul mental en sont capables. Le premier exercice, lui, n’est, semble-t-il, pas humainement possible de tête : même les plus grands calculateurs prodiges de l’histoire n’ont jamais réussi l’extraction de la racine carrée de nombres de 80 chiffres.

Ce qui semble le plus difficile à première vue est en réalité le plus facile : c’est le paradoxe de la fausse difficulté.

Vous devez expliquer pourquoi il en est ainsi, et découvrir la méthode permettant de calculer la racine 1 789-ème d’un nombre de 7 000 chiffres.

Si vous trouvez cela trop compliqué, attaquez-vous d’abord au paradoxe lexical suivant. Pourquoi est-il faux que la racine treizième du nombre $a$ est le nombre $b$ qui, multiplié treize fois par lui-même, donne $a$ ?

#14 Re : Entraide (supérieur) » Homéomorphisme » 09-02-2018 11:09:03

Bonjour,
la fonction $x \to e^x$ de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{R}_+^*,\times)$ est un isomorphisme de groupes de Lie (groupe de Lie = structure de groupe compatible avec la topologie).

#15 Re : Entraide (supérieur) » sous espace vectoriel » 31-01-2018 19:56:45

Bonsoir,
$A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et non de $R[a,b]$ (je ne connais d'ailleurs pas ce qu'est cet objet qui n'a pas été défini).

L'énoncé est incomplet puisqu'il dit que $E$ est un espace vectoriel sans préciser le corps des scalaires. Le fait que ce soit $\mathbb{R}$ est néanmoins implicite parce qu'on utilisera la multiplication dans $\mathbb{R}$ pour définir la multiplication par un scalaire dans $E$ :
$\lambda f$ est la fonction définie pas $\forall x \in [a,b], (\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
L'énoncé aurait donc dû dire $E$ est espace vectoriel réel ou $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

Donc, tu as raison, ça ne devrait pas être $K$ mais $\mathbb{R}$

[EDIT]
Grillé par Roro !

#16 Re : Entraide (supérieur) » Complexes et trigonométrie » 31-01-2018 19:43:54

Bonsoir,
Utilise le fait que $\cos(2\pi -x) = \cos(x)$ et que $\sin(2\pi -x) = -\sin(x)$

#17 Re : Entraide (supérieur) » surjection/bijection » 31-01-2018 11:00:16

Bonjour
$f$ surjective si $f([a,b])=\mathbb{R}$ et injective si $\forall x,y \in [a,b], f(x)=f(y) \implies x=y$

Or, ici, $f_0([a,b])=\{0\}$ et $\forall x,y \in [a,b], f_0(x)=f_0(y)$

#18 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 30-01-2018 07:49:49

Bonjour,
Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire) :
$f$ a ses zéros dans un corps de racines $\Omega$ et ces zéros s'expriment via des opérations de corps et d'extraction de racines à partir d'éléments de $K$.
On considère $E_1$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K$ qui interviennent dans ces opérations. Si $E_1$ est vide, on a fini et on pose $m=0$, donc $K_m=K$ et $f$ est scindé sur $K[X]$.
Sinon, $E_1=\{\sqrt[p_i]{\beta_i},\ \beta_i \in K \textrm{ et } \ i=1\cdots m_1\}$.
On pose alors $\alpha_i=\sqrt[p_i]{\beta_i}$ et on construit successivement les extensions $K_{i}=K_{i-1}[\alpha_i]$, jusqu'à aboutir à $K_{m_1}$ (en particulier $E_1 \subset K_{m_1}$ et on a bien $\alpha_i^{p_i} = \beta_i \in K_{i-1}$).
Ensuite, on recommence en considérant $E_2$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K_{m_1}$ qui interviennent dans les opérations de construction des zéros de $f$. Si cet ensemble est vide, on a fini et on pose $m=m_1$, sinon on recommence la même opération avec comme point de départ $K_{m_1}$.
Ce processus finira par s'arrêter au bout de $k$ étapes (les étapes nécessaires à la construction des zéros de $f$ sont finies). On posera alors $m=m_k$ et les zéros de $f$ seront alors des éléments de $K_m$ (il n'y a plus d'extraction de racine impliquée) et $f$ est donc scindé sur $K_m[X]$.

#19 Re : Entraide (supérieur) » démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie. » 30-01-2018 07:32:20

Je n'ai bien pas compris tes développement avec $h(t)=1-t^2$ !
Pourquoi tu te coltines un $g$ alors que tu es entrain d'examiner $\displaystyle (f,f) = \int f^2(t) h(t)dt$ ? Et puis, les propriétés ponctuelles des fonctions (ici, $h(1)=0$) n'ont pas d'impact (directement) sur l'intégrale (ici, c'est la continuité qui est importante : une fonction non nulle en un point ne vas pas changer brutalement de signe).

Je ne sais pas si la condition que tu cites est nécessaire mais elle est certainement suffisante. Une fonction telle que $h(t)=t^2\sin^2(\dfrac{\Pi}{t})$ et $h(0)=0$ devrait marcher alors qu'elle a un nombre infini (mais dénombrable) de zéros.

#20 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 29-01-2018 21:10:33

Dans le sens "si" (condition suffisante)
$f$ scindé dans $K_m[X]$ : les racines de $f$ sont directement des éléments de $K_m$
On sait que $K_m=K_{m-1}[\alpha_{m}]$ avec $\alpha_m \in K_m$ et $\alpha_m^{p_{m}} \in K_{m-1}$
Donc les éléments de $K_m$ (et en particulier les racines de $f$) s'expriment comme des combinaisons (finies) d'éléments de $K_{m-1}$ et des puissances de $\alpha_m$, qui est lui même une racine $p_{m}$-ième d'une éléments de $K_{m-1}$. Donc les éléments de $K_{m}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-1}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
De manière similaire, les éléments de de $K_{m-1}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-2}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
Et ainsi de suite jusqu'à arriver à $K_0=K$. Donc, les éléments de $K_m$ s'obtiennent à partir de ceux de $K$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.

Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire), je dois réfléchir un peu plus, j'ai un doute.

#21 Re : Entraide (supérieur) » Résolubilité d'une équation polynomiale » 29-01-2018 15:53:25

Bonjour,
Est-ce qu'il y a un sens du "si et seulement si" qui te pose problème ou les deux ?

#22 Re : Entraide (supérieur) » démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie. » 29-01-2018 14:21:35

Bonjour,
Quelques remarques sur ce que tu as écris :
1-

Ablaise a écrit :

je cherche une condition sur h ...

: c'est trop vague. $h=1$ est une condition qui marche bien, mais je ne pense pas que c'est ce que tu cherches ! Il faut préciser un peu
2-

Ablaise a écrit :

$\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne 0$

: Attention, ton produit scalaire doit être défini positif ! Si tu prends $h = -1$, alors $(f,f)=-\int f^2 \le 0$ !
3-

Ablaise a écrit :

Supposons qu'il existe $\alpha \in ]0,1[ / h(\alpha)=0$, dans ce cas il est possible d'avoir $f(\alpha)\ne0$

: je ne vois pas de lien entre ce que tu supposes et la conclusion. Il n'y a pas d'erreur formelle dans ce que tu as écris, mais une erreur de bon sens. La phrase "Si le conjecture de Riemann est vraie alors \sin(0)=0$ est logiquement vraie, mais heurte notre bon sens.
Après, le "donc l'application n'est pas définie." semble tomber du ciel !

Dans la mesure où ton produit scalaire est défini via une intégrale, et que celle-ci est insensible à la valeur de la fonction en un point, ta condition ne s'exprimera pas "ponctuellement". Par rapport à ton intuition : je pense que la fonction $h(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2$ marche très bien, bien qu'elle s'annule en un point.

Je commencerais pas montrer que la fonction $h$ est positive : indication, si elle est strictement négative en un point, alors, elle sera négative sur un voisinage de ce point (continuité) et on pourra donc trouver une fonction $f$ nulle en dehors de ce voisinage et valant $1$ sur ce voisinage, donc ...

Tu peux ensuite montrer que la fonction $h$ ne peut pas s'annuler sur un intervalle ouvert (même technique que ci-dessus).

#23 Re : Entraide (supérieur) » equation de la physique mathematique » 26-01-2018 15:22:51

Bonjour,
Il me semble que le génial Feynman a donné THE equation qui unifie toutes les théorie physiques.

Chaque théorie est représentée par une équation type : $\vec{F}=m\vec{a}$, $E=mc^2$, $i\hbar\dfrac{\partial \Psi(t,\vec{r})}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+\vec{V}(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r})$, ...
Il suffit alors de prendre le module (des différences) de chacune de ces équations, de faire la somme, et de l'égaliser avec $0$ :
$|\vec{F}-m\vec{a}| + |E-mc^2| +|i\hbar\dfrac{\partial \Psi(t,\vec{r})}{\partial t}+\dfrac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})-\vec{V}(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r})| + \cdots = 0$
et on obtient une seule équation qui unifie toutes les théories !!!

#24 Re : Entraide (collège-lycée) » Calcul Aire integrale » 18-01-2018 14:22:22

En gros oui, mais attention à la formulation : Plutôt que de dire "qu'une valeur bien qu'elle soit négative sera toujours positive au final", on dira plutôt "que la valeur absolue d'une valeur, bien que la valeur soit négative, sera toujours positive au final".

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