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#1 Re : Entraide (supérieur) » Combien de solution a X^2 = A » 15-04-2018 16:48:51

Bonsoir,
@Roro, je dirais plutôt entre $0$ et $2^n$ non ?
Prenons le cas où $A$ est diagonale. Pour former $\sqrt{A}$, on a pour chaque entrée $i$ le choix entre $+\sqrt{\lambda_i}$ et $-\sqrt{\lambda_i}$ (en supposant bien sûr que chaque $\lambda_i \ge 0$)

#3 Re : Entraide (supérieur) » Aide exercice composition de fonctions » 14-04-2018 11:11:54

Bonjour,
Je pense que l'erreur vient de ton premier calcul, à savoir que $f(g(x))=2x$. Tu as dû utiliser à un moment le fait que $\arcsin(\sin(2x))=2x$. Or, ça n'est vrai que si $2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, et donc que $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
Tu devra donc distinguer trois cas :
1) $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}]$
2) $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$
3) $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$

#4 Re : Entraide (supérieur) » Aide exercice composition de fonctions » 09-04-2018 19:06:12

Bonsoir,

Tu as donc $f(g(x))=2x$, si tu poses $u=g(x)$, donc $x=g^{-1}(u)$
Tu as alors $f(u)=2x=2g^{-1}(u)=2\arcsin(u)$

#5 Re : Café mathématique » La lune "est" plus grosse à l'horizon » 09-04-2018 18:56:46

Il me semble que mesurée avec des instruments optiques, on n'observe aucun changement de taille.
Il n'y a pas de phénomène optique qui explique ce grossissement.

#6 Café mathématique » La lune "est" plus grosse à l'horizon » 08-04-2018 13:24:21

Yassine
Réponses : 2

Bonsoir,
En regardant une vidéo d'Etienne Ghys sur le monde.fr en l'honneur d'Euler (Lien pour ceux qui sont abonnés), il aborde la question de la taille de la lune à l'horizon (pour illustrer des échanges épistolaire entre Euler et une princesse dont il assurait l'éducation scientifique). Euler essayait de faire réfléchir la princesse sur ce phénomène.
Ensuite, Etienne Ghys invite le lecteur à réfléchir à cette question. Il prévient cependant en disant que cette question était toujours débattue aujourd'hui !
Pour ma part, j'étais resté sur l'explication d'une "mauvaise" correction qu'opérait notre cerveau, du fait de l'environnement entourant la lune à l'horizon (arbres, immeubles, etc.).
Néanmoins, cette explication ne semble pas compatible avec l'expérience que proposait Euler à la princesse : découper un cercle dans un carton de manière à isoler la lune de son environnement : le résultat est, semble-t-il, que la lune paraissait encore grosse !

Connaissez-vous les explications alternatives à celle de la mauvaise correction opérée par le cerveau ?

#7 Re : Entraide (supérieur) » demonstration qu'un espace est complet » 07-04-2018 12:44:28

Bonjour,
Il faut se ramener à $\mathbb{R}$ et sa distance usuelle qui est complet (par construction).
Tu peux constater qui si $(u_n)$ est de Cauchy pour ta distance $d$, alors $(v_n)=(\log u_n)$ est de Cauchy pour la distance usuelle ...

#8 Re : Entraide (supérieur) » Partie génératrice » 24-03-2018 11:23:31

Bonjour,
En plus de l'exemple donné par Fred, tu peux essayer de le voir en remarquant que l'unicité de la décomposition dans une famille est équivalente au fait que la famille est libre :
si $(e_1,\cdots,e_n)$ est ta famille génératrice (j'imagine que tu es en dimension finie) et si $v$ s'écrie de deux manières comme
$v = \alpha_1 e_1 + \cdots \alpha_n e_n$ et  $v = \beta_1 e_1 + \cdots \beta_n e_n$, l'unicité de la décomposition revient à dire que $\alpha_i = \beta_i$ pour tout $i$. Si on prend la différence membre à membre des deux égalités plus haut, en aura alors
$\sum (alpha_i - \beta_i)e_i = 0$. Si la famille est libre, alors justement $\alpha_i - \beta_i = 0$ pour tout $i$, ce qui est exactement l'unicité de la décomposition.

Un autre point de vue est que, si la famille n'est pas libre, alors un des éléments de la famille s'écrit comme une combinaison linéaire des autres (tu vois pourquoi ?). Imaginons que ce soit $e_n = \sum \lambda_i e_i$. Donc, un vecteur $v=\alpha e_n$  (avec $\alpha \neq 0$) a deux décompositions : $(0,\cdots,0,\alpha)$ et $(\alpha \lambda_1, \cdots,\alpha \lambda_{n-1},0)$ qui ne sont pas identiques.

#9 Re : Entraide (supérieur) » norme $L^\infty$ » 18-03-2018 19:01:15

Non, ce n'est pas ça (ta deuxième égalité égalise un nombre et un ensemble ! De plus, le nombre $M$ n'est pas défini)

D'abord, est va d'abord définir un majorant de $f: E \to \mathbb{R}$

$M$ est un majorant de $f$ si $\forall x \in E,\ f(x) \le M$

On peut encore écrire ça en disant que : $M$ est un majorant de $f$ si l'ensemble $\{ x \in E,\ f(x) > M\}$ est vide (on dit que l'ensemble où la condition n'est pas satisfaite est nul).
Cet ensemble s'écrit aussi $f^{-1}(]M,+\infty[)$ (attention, c'est juste une notation, on ne suppose pas $f$ est bijective).
Donc, $M$ est un majorant de $f$ si $f^{-1}(]M,+\infty[) = \emptyset$

On peut maintenant définir l'ensemble des majorants de $f$, qu'on notera $U_f$ (pour Upper bound), par
$U_f = \{M \in \mathbb{R},\ M \textrm{ majorant de } f\} = \{M \in \mathbb{R},\ f^{-1}(]M,+\infty[) = \emptyset\}$

Donc, le $\sup f$ est donc simplement la borne inférieure de cet ensemble lorsqu'elle existe, sinon $+\infty$.

Pour ajouter l'aspect "essentiel", on suppose maintenant qu'on dispose d'une mesure $\mu$ et on remplacera le fait que l'ensemble  $f^{-1}(]M,+\infty[)$ soit vide par le fait que sa mesure soit nulle : $\mu\left(f^{-1}(]M,+\infty[)\right)=0$
Ce qui permet de définir l'ensemble $U_f^{ess}$ par
$U_f^{ess} = \{M \in \mathbb{R},\ \mu\left(f^{-1}(]M,+\infty[)\right)=0\}$
et par suite de définir $\operatorname*{sup~ess} f = \inf U_f^{ess}$

La norme est alors définie par $\|f\|_{\infty}= \operatorname*{sup~ess} |f|$

#10 Re : Entraide (supérieur) » norme $L^\infty$ » 18-03-2018 17:45:10

Bonsoir,
Le sup est défini comme le plus petit majorant d'une fonction.
Quand on a une mesure, un majorant essentiel (je ne sais pas si la terminologie est correcte, en anglais, on parle de 'essential upper bound') si les points où il ne majore pas la fonction est de mesure nulle. Dans ce cas, le sup ess est le plus petit majorant essentiel d'une fonction.

Voir Wikipedia pour une définition formelle.

#11 Re : Entraide (supérieur) » Coefficient binomial » 18-03-2018 16:30:20

Bonsoir,
Quand on compte le nombre d'arrangements, l'ordre dans lequel les $p$ éléments sont choisis est important.
Si j'ai trois objets $\{A,B,C\}$ et que je veux compter le nombre d'arrangements de deux objets parmi ces trois, alors le choix de $A$ puis $B$ est différents de $B$ puis $A$. Ces deux choix ajoutent donc 2 unités au total. Dans le cas d'une combinaison, ces deux configurations sont identiques et ajoutent donc juste 1 unité au total.

Donc, on part du nombre d'arrangement de $p$ éléments, et on identifie les cas où ce sont les mêmes objets qui ont été choisis, mais dans un ordre différent. ce nombre de choix d'ordre différent et le même que le nombre de permutations (ou bijections) d'un ensemble à $p$ éléments dans lui même. Le nombre de ces permutations est justement $p!$. Ce qui explique la division dont tu parles.

#12 Re : Entraide (supérieur) » Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité » 14-03-2018 16:54:22

La question demande de prouver l'existence de $a \in [0,1]$ tel que $f'(a)=u$
Si tu montres qu'il existe $a \in ]0,1[$ tel que $f'(a)=u$, tu as répondu car, comme $a \in ]0,1[ \subset [0,1]$, alors $a \in [0,1]$.
Personne ne t'a demandé de montrer que $a=1$ pour certaines valeurs de $u$.

#13 Re : Entraide (supérieur) » Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité » 14-03-2018 15:02:52

Bonjour,
Je n'ai pas bien compris ta question concernant $[0,1]$ versus $]0,1[$.
Le théorème des accroissement finis appliqué à $[0,1]$ dit :
Si $f$ est continue sur $[0,1]$ et dérivable sur $]0,1[$, alors, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f'(c)=f(1)-f(0)$.

On a $f'(0) \le u \le p$.
Pour le cas $u=f'(0)$, il n'y a rien à montrer.
Pour le cas $u=p=f(1)-f(0)$, cf plus haut.

#14 Re : Entraide (supérieur) » Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité » 13-03-2018 21:16:56

Bonsoir,

La clé de cet exercice est d'utiliser le théorème des accroissements finis.
Il faut donc trouver deux points $a$ et $b$ tels que $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=u$, ce qui permettra de conclure qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f'(c)=u$.
Avec la fonction $g$ donnée, ça suggère de prendre $a=0$, il faut donc trouver $b$ tel que $g(b)=u$, je te laisse continuer

Pour information, ce résultat porte le nom de "Théorème de Darboux"

#15 Re : Entraide (supérieur) » Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes » 06-03-2018 08:21:15

Bonjour Fred,
Merci pour le rappel.
Il me semble en effet avoir lu quasi-compact pour désigner le espaces vérifiant Borel-Lebesgue.

#16 Re : Entraide (supérieur) » centrer reduit en ACP » 05-03-2018 20:54:53

Bonsoir,
Ce n'est pas spécifiquement lié à l'ACP.
Prends par exemple la pluviométrie sur deux zones géographiques différentes. Supposons que pour l'année 2017, on te donne juste deux nombres assez proches, disons $24$ et $25$. Si tu ne connais pas le niveau moyen sur ces deux zones, tu ne peux pas avoir une analyse pertinente de ces deux nombres. Sont-ils inhabituels, ... Si par contre, on te dis que la moyenne est de $20$ pour la première zone et $1$ pour la deuxième, tu sais alors que cette année, il est tombé une quantité particulièrement élevée d'eau sur la deuxième zone.
Il est donc plus commode de parler d'écart à la moyenne (c'est la partie "centrée" du "centrée réduite").

Maintenant, toujours en gardant mon exemple de pluviométrie, si les mesures sur la seconde zone sont souvent très écartées de leurs moyenne alors que la première zone est très stable autour de sa moyenne, on a envie de dire qu'observer un écart de $4$ pour la première zone est plus "inhabituel" que d'observer un écart de $24$ pour la seconde. On va donc exprimer cet écart, non pas dans l'unité de la pluviométrie, mais en nombre d'écart-type de la variable en question : l'écart-type ayant aussi la même unité que la variable, on obtient un nombre sans dimension. Les deux nombre sont alors comparables. C'est la partie "réduite" du "centrée réduite".

De plus, quand on connait la distribution des variables, on sait rapidement (à l'aide de la fonction de répartition) la probabilité d'être à un, deux ou plusieurs écart-types de la moyenne.

#17 Re : Entraide (supérieur) » Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes » 05-03-2018 20:08:43

Bonsoir,
@Fred : pour ma culture, où intervient la séparabilité de $K$ dans ta démonstration ?

#18 Re : Entraide (supérieur) » determiner la loi du inf et du sup » 05-03-2018 20:03:14

Il y a une différence entre le max et le sup dans le cas d'ensembles infinis. Par exemple, le sup de l'ensemble $\{-\frac{1}{n}, \ n \in \mathbb{N}^*\}$ est $0$ et il n'y a pas de max (le max doit être un élément de l'ensemble).
Ici, il y a $n$ variables aléatoires, le deux notions sont confondues.

#19 Re : Entraide (supérieur) » determiner la loi du inf et du sup » 05-03-2018 16:05:02

Bonjour,
Je ne suis pas sûr de voir la différence que tu fais entre max et sup dans le cas d'un ensemble fini de réels ?

#20 Re : Entraide (supérieur) » determiner la loi du inf et du sup » 04-03-2018 17:34:34

Bonjour,
J'imagine qu'il s'agit de V.A indépendantes ?
Si oui, avec l'inf et le sup, il est plus facile de travailler avec la fonction de répartition
Pour le sup : $\Pr(\sup(X_1,...,X_n) \le x) = \Pr(X_1 \le x,...,X_n \le x)$
Pour l'inf, il faut travailler un peu plus : $\Pr(\inf(X_1,...,X_n) \le x) = 1 - Pr(\inf(X_1,...,X_n) > x)=1-\Pr(X_1 > x,...,X_n > x)$

#21 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 27-02-2018 17:23:51

Je voulais avoir une idée du sujet dans sa globalité.

#22 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 27-02-2018 15:46:35

Il y a un post qui explique comment ajouter des images sur le forum

#23 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 27-02-2018 13:36:48

Est-ce que tu as un lien vers un document donnant l'ensemble du sujet ?

#24 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 27-02-2018 13:25:20

Deux choses :
1- il faut d'abord terminer un sujet avant de passer à l'autre
2- Il faudrait que tu postes l'ensemble du sujet, et non des bouts, pour pouvoir voir la logique du sujet. Tu notes $M_p^{p_{n}}$ alors que j'imagine qu'il s'agit de $M_p^{n_{p}}$. Tu dis : "if $g: M_p \to A$ is a non nul $f(A)$ ..." je ne vois pas trop ce que ça veut dire. Tu le traduis par "$g: M_p \to A$ est un élément non nul de $f(A)$". Or, $g$ est un morphisme et $f(A)$ un sous groupe de $A$, est-ce que ça veut dire que $g$ a été identifié à sa classe dans $\operatorname{Hom}(M_q,A)/q\operatorname{Hom}(M_q,A)$, qui a ensuite été identifiée, via l'isomorphisme de la première question, à un élément de $f(A)$ ?

#25 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 27-02-2018 10:44:47

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