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#1 Re : Café mathématique » La conjecture de Syracuse » 22-10-2020 16:19:35

LEG

Tu n'as pas l'impression de raconter n'importe quoi ? je me connecte au post # 10  pour te répondre et je dis Bonjour une fois , si cela ne te convient pas et qu'il te faut des ronds de jambes à chaque réponse, c'est ton problème ...

#2 Re : Café mathématique » La conjecture de Syracuse » 22-10-2020 13:14:27

LEG

Je pense que tu ne m'as pas compris .
j'entendais par là que personne à ce jour n'est en mesure de calculer , c'est à dire que quelque soit une suite i,  on ne peut prédire qu'elle est le rang de l'itération u(n) où U(n+1)repassera sous sa valeur de départ, sinon la conjecture serait démontrée.

De plus je ne pense pas que les vols i de la forme $2^p - 1$ ou simplement $2^n-1$ soit différent...

Dans ton exemple prends $2^{63} - 1$ , l'exposant 63 étant multiple de 3, il en aura pas plus pour autant un nombre d'itérations impaires et paires en ascension constantes jusqu'au rang 63 pour les paires et 62 pour les impaires et dont la valeur u(n) paire, au rang 63 qui vaut : $6*3^{62} -2 = 2 289122 546861 674989 771899 392852$ avant de repasser sous la valeur $2^{63}-1$ il y a du chemin... chemin inconnu à ce jour,  ie : n'étant pas prévisible par une formule quelconque ....

Mais peut importe ... la suite redescendra sur son cycle 4.2.1, il y a suffisamment d'éléments convaincants qui plaident en sa faveur , du moins pour moi ...

Bon amusement.

#4 Re : Café mathématique » La conjecture de Syracuse » 22-10-2020 10:13:31

LEG

Bonjour

Un nombre P premier est obligatoirement fini et proche de l'infini ne veut rien dire.

La durée d'un vol pour un nombre impair de la forme $2^P - 1$; on connait sa trajectoire concernant le nombre d'itérations impaires et constantes, avant de commencer à redescendre par un multiple de 4.

Ce qui veut dire qu'à l'itération 2P - 1, la valeur de cette itération vaut $6*3^{P-1} - 2$

Par exemple pour le vol $2^{61} - 1$ la valeur de l'itération au rang 121 vaut : 254346 949651 297221 085766 599204 soit 30 chiffres.
(121 ascensions constantes: 61 paires et 60 impairs avant de tomber sur un multiple de 4); mais ensuite à partir du rang 124 on peut remonter en altitude et redescendre etc...etc ,  avant d'arriver et de repasser sous sa valeur de départ, pour finir sur le cycle 4,2,1.

On n'en sait pas plus !
Personne à ce jour n'a été capable de calculer exactement le nombre d'itérations paires avant de repasser sous la valeur de départ de la suite i, ni le nombre d'itérations impaires ...

#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » grille 3 par 3 » 22-10-2020 08:28:11

LEG

Bonjour
@Pierrelepetit

J'ai traduit en français  "les cases sont numérotées de 1 à 9, quels nombres entiers peut-on mettre dans les cases ayant un numéro pair?"

Comment tu peux traduire en Français une phrase qui n'est pas du français selon tes dires...! Mais qui permet toutes les possibilités d'après l'auteur du sujet!

1) Où tu as vus dans l'énoncé que les cases été numérotés...?

2) quelle valeur peut prendre le nombre de cases pairs ? question : les cases numérotés avec un nombre pair, ou les cases contenant un nombre pair...? ou aucune , 0 ;  mais zéro est pair alors on fait quoi ...?

3) Aucune indication n'est données , mais comme la question stipule que la somme de chaque colonne ou ligne doit être impaire; alors il peut très bien y avoir que des entiers impairs dans chaque cases ...! Mais lesquels ?

Donc où sont elles tes cases paires ? Celles que tu numérotes comme bon te semble, qu'avec des numéros pairs ? 

Supposons que l'on veuille les numéroter ou les nommer avec des lettres etc... , ça ne prouvera rien ! On peut commencer par la case n° 0 ? n° 1 ? n° 10^100001 ?...etc uniquement avec des nombres impairs..., avec des lettres, avec des patates ou des navets...?

Il faut croire que tu donnes des réponses en fonction de tes envies, de tes idées... ou autres; aurais tu oubliés les bases de l'énoncé du sujet ...?

#6 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 12-10-2020 17:17:04

LEG

Bonjour

ta citation :

Pour tester si un nombre impair R est premier il suffit de prouver qu'il n'est pas divisible par un nombre premier inférieur à racine

c'est bien la question que je t'ai demandé :

puis il teste m , pour vérifier sa primalité...ok ? Il teste sa primalité  comment ? En utilisant les 40000 valeurs = nombres premiers p⩽√(2n)?

Ce qui veut dire , que pour tester si $m$ est premier , ton programme va vérifier si il est divisible par un nombre premier inférieur à racine de 2n , donc je pensais que ces nombres premiers étaient ceux qui correspondaient à tes 40 000 valeurs premières , point barre ..!

C'est à dire que tu utilises bien une méthode ""bourrin vieille depuis des lustres"" pour savoir si ton $m$ est un nombre premiers... Je ne m'étonne pas qu'il te faille des heures  de calculs... C'est tout .!

c'est pour cela que je te proposais une autre  méthode plus simple et plus rapide , qui à priori :  tu n'as pas l'air de la comprendre...

Mais peu importe si ça t'amuse à passer des heures à tester quelques nombres premiers ... ta citation :

En ce qui concerne la rapidité si on veux trouver les 235 000 000 premiers nombres premiers avec cette  petite boucle il te faut 2 à 3 jours..

Il me fallait 2 heures 1/2 pour extraire 17,448,448,326 de premiers < à 450 000 000 000 , il y a une quinzaine d'années avec un programme en C+...
C'est ton choix...!

Quand au nombre de couples p+q =9 999 999 990 on est surement près des 38 000 000 effectivement, tu l'indiqueras...@+

#7 Re : Café mathématique » Une formule pour trouver que des nombre premiers » 06-10-2020 14:05:45

LEG

Bonjour
C'est complètement incompréhensible....du début à la fin...

je te cite :[ Par exemple pour n=1721715 pour trouver que n=1721718] Et ben je rajoute 3....Tu plaisantes ou quoi...?

Qu'est-ce que sont tes vn...? car il est inutile de continuer à l'infini tes : Un=Vn=Dn=An=Bn=Cn=....= tartempion impair.

commence par montrer à partir de ta liste d'entiers naturels n : de 1 à 30 et montre clairement, comment tu  calcules ou trouve tes 8 nombres premiers > 3.

#8 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 05-10-2020 09:24:10

LEG

Tout à fais ... je n'avais pas fais attention que tu partais du nombre de premiers jumeaux total ...Mais en possibilité, il n'y a que les jumeaux des deux familles 30k+13 et 30k+19 pour cette limite 2n ce qui fait beaucoup moins de cas possible.

#9 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 05-10-2020 07:25:11

LEG

Bonjour
@48Pierrelepetit
Je pense que tu as mal interprété ma réponse

1_) lorsque je dit à Yoshi [ je pense que pierre n'ira pas plus loin] cela me concerne uniquement, dans le sens où tu trouves mon algorithme trop compliqué pour le reprogrammer selon ta réponse ...c'est tout ..!

2_) Ensuite mon algorithme ne cherche pas la complication en matière de programme , bien au contraire puisque l'on restreint le criblage aux entiers en progression arithmétique et par famille; de ce fait on crible modulo $P*30$ au lieu de s'em.... à utiliser 73,333....% des entiers naturels non nuls qui ne servent à rien; à par saturer la mémoire RAM...etc

3_) ta citation :

Ce programme me donne en quelques minutes 501 718 nombres premiers q tels que 2 468 776 136 - q est un nombre premier ayant un jumeaux soit 501 718 p sur les 8 275 283 candidats potentiels.

Comment tu peux avoir 8 275 283 candidats possibles à la décomposition de $2n =  2 468 776 136$....???
Alors que le nombre d'entiers premiers des 8 familles vaut : $q\in[n;2n] =62 097 934 $ environ...nombres $30k+(i)$  au maximum , ce qui fait en gros 7 762 241 possibles par famille ?

Mais ton $2n = 30k + 26$ ce qui implique les 3 familles de candidats possibles $30k +13$; $30k+7$ et $30k +19$ , soit : $23 286 556$ nombres premiers $q$, pouvant décomposer $2n = 2 468 776 136$.

Or seul les familles $30k+13$ et $30k+19$ sont des familles jumelles..
Soit en gros : 15 524 116 premiers $q$ des deux familles jumelles concernées

Comment tu calcules ce nombre de possibilités...?

Le nombre réel N de couples $p+q = 2n$ vaut  : $3 850 926$

Donnez N: 1234388068
Nombres non congru 2n[pi] 1 à 1234388068 famille 7 premiers de 1234388068 à 2468776136: 1 284 127 ----- 12.18

Donnez N: 1234388068
Nombres non congru 2n[pi] 1 à 1234388068 famille 13 premiers de 1234388068 à 2468776136: 1 283 902 ----- 12.04

Donnez N: 1234388068
Nombres non congru 2n[pi] 1 à 1234388068 famille 19 premiers de 1234388068 à 2468776136: 1 282 897 ----- 12.06

#10 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 04-10-2020 16:37:46

LEG

re @Yoshi
je suppose que Pierre n'ira pas plus loin.

Aussi je t'ai complété les explications du post #23 entre le point 1_) et le point 2_) concernant la propriété récurrente du décalage d'un rang et de l'égalité mentionnée au point 2_) qui sont incontestables...

#11 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 04-10-2020 12:26:25

LEG

Re @Yoshi
c'est vrai que je raccourci mes explications , concernant  le dernier point sur le fonctionnement de l'algorithme c'est clair , qu'il est très bref , j'ai donné le principe de base de l'algorithme de Goldbach ..

C'est pour cela que si il comprend le langage python il n'aura aucun mal à le retranscrire par exemple eb C++ ('comme me l'a fait B Parisse pour les deux premiers ")  bien entendu pour le crible EG2 qui est la fusion des deux avec les explications point par point du programme python , il n'aura aucun mal à le retranscrire dans un autre langage , avec surement voir probablement ton concourt, sur les explications de ce que fait ce programme python aux trois éTapes principales

1) la fonction

python a écrit :

def eratostene(n):

on crible les nombres premiers $P$ inférieur à racine de $2n$ que l'on va utiliser dans :

1_a)

python a écrit :

def Criblage_EG(Premiers,Premiers_suite, n, fam):

cette fonction va cribler les nombres premiers $P$ jusqu'à $n$ ; en utilisant un tableau de $1$ qui représente les entiers $A$ non nul en progression arithmétique ; que l'on va ensuite réutiliser pour la fonction de Goldbah

python a écrit :

del Premiers_suite # suppression du tableau devenu inutile
    nbpremiers = len(Premiers)

qui va à nouveau cribler ce tableau de 1 et de 0 inférieur à (n//30) ...où dans ce tableau les 1 sont uniquement les nombres premiers p' < n;
donc le résultat final donnera uniquement les 1 non congrus modulo P, c'est à dire les couples p+q = 2n

Concernant ma démo par l'absurde de Goldbach elle s'appuie sur trois points

1_) la propriété récurrente de l'algorithme de Goldbach à savoir: le décalage des congruences sur leur successeurs $A+30$ pour chaque augmentation de $n +15$ ce qui est élémentaire à prouver... avec l'égalité 2_) ci-dessous

En définitive la raison est simple : si je prends la fam(7) pour $n = 15k$ = 300
pour montrer ce qui se passe on utilise les deux cribles G et E mais ce n'est pas obligatoire si on connait bien le fonctionnement de l'algorithme G...bref  : les entiers $A\not\equiv{2n}[P]$ que sont : 7,37, ,97, ,157, ,217,247, , 307
crible G: [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1]
les entiers $A = p'$ premiers, sont 7,37,67,97,127,157 ,0, ,0, ,0, 277 et 307 tu peux constater que 67, 127 et 277 son congrus mod P  ... ainsi que le 0 =187 ok

si on augmente $n$  de $15$, donc $2n$ de $30$ on est d'accord que ces nombres premiers $q$ que sont 600 - 7; 600 - 37, 600 - 97 , ... 600 - 247 .etc
il ne vont pas disparaître par miracle du fait que la limite $n$ a augmenté de 15 donc 2n de 30..


Or la différence pour (2n + 30) - (A +30) doit obligatoirement te restituer ces nombres premiers $q$ que sont 593, 563 , 503 .....353..etc le contraire serait absurde...!

d'où on en déduit un décalage obligatoire des congruences sur leur successeur $A+30$ lorsque $n augmente de 15 ...! point 1_) grâce  à cette égalité récurrente.

Or le point 2_) ci-dessous est une égalité récurrente de ce décalage !

Donc si un entier $A$ premier ou pas non congru mod P précède un entier $A = p'$,
Ce qui est le cas , comme 7, 37, 97, et 247 qui n'est pas premier mais il précède 277 qui l'est :
d'où pour $2n + 30$ la conjecture serra vérifiée pour la limite suivante $2n + 30$ avec : (600+30) - (7+30) ; (600+30) - (37+30) ; (600+30) - (97+30) et (600+30) - (247+30)...!
Qui par obligation doivent restituer les nombre premiers $q$ qu'il y a entre n et 2n.
Ou alors : le TNP ainsi que le TFA sont faux !!! car la fonction $\pi(2n)$ qui a calculer le nombre de premier jusqu'à 2n serait fausse ce qui est idiot ...

Tu ne peux pas dire le contraire, ni dire que tu ne peux pas prévoir cette égalité pour la limite $n = 15(k+1)$ ou $15(k+1) + i$ .

Ni même au vu de ce petit exemple, que la conjecture ne serra pas vérifié pour la limite $n = 15(k+2)$ qui suite à la propriété récurrente du décalage on aura encore au minimum (600 + 60) qui serra vérifié avec p' = (7+60) , (37+60), (97 + 60) et (247 +60) ...etc
on en déduit avec deux autres égalités, dû à l'impossibilité d'utiliser les restes R précédents de n=15, conséquence de ces deux égalités qu'il est impossible d'infirmer la conjecture...!

2_)l'égalité récurrente de Goldbach à savoir : si un entier $A$ non nul premier ou pas, en progression arithmétique de raison 30 (on travaille avec une de ses 8 Famille(i)) précèdent un entier A premier il est évident que la conjecture est alors vérifiée pour la limite suivante $30(k+1)$ ce que j'ai démontré ...!
le contraire d'ailleurs serait absurde...!
Ce que je lui ai demandé de bien regardé et de réfléchir même si cela ne paraît pas évident mais c'est élémentaire...

3_) il y a une raison très simple: quelque soit la limite $n = 15k + (i)$ fixée tu ne peux plus utiliser les reste $R$ de $(30k + 2i)$ par $P$ de cette limite, pour cribler la limite suivante $n =15(k+1) + (i)$ c'est à dire pour vérifier $30(k+1) + 2i$ ...
Le contraire est absurde les restes $R$ de la division de $2n + 30$ par $P$ ne sont plus les même ...!

Donc tu en déduits que pour être sûr d'infirmer la conjecture il faudrait que tous les $1$ soient égaux modulo $P$ avec $2n+30$ ; ce qui est absurde il n'y aurait plus de nombre premiers $q\in[n , 2n]$ alors qu'il y en $\frac{n}{Ln\:n}$ suivant la limite 2n précédente qui a été vérifié...est criblée ...!

A part un élément, qui est inconnu lors du criblage de $n =15k+1 + i$ les nombres premiers $q$ ne peuvent disparaître par supposition ...!

D'autant que le nombre de $A$ premiers ou pas qui précèdent $A+30 = P'$  augmentent et surtout pour une limite quelconque  ce nombre de $A$  vérifient la conjecture pour plusieurs limites suivantes...
Amuse toi à prendre ne serait-ce que  $n= 30 000$ l'algorithme G , restitue l'image décalée d'un rang pour n+15....

Pour moi, cette conjecture est un corollaire du TNP et du TFA... Le problème c'est que personne n'a étudié cet algorithme ....

(En fonction des commentaires de pierre, je mettrai le dernier document que je t'ai envoyé..)

#12 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 04-10-2020 08:01:12

LEG

onjour
@48Pierrelepetit

J'ai nommé mon algorithme : algorithme de Goldbach en référence à cette conjecture, Yoshi est le programmeur python de mes 3 algorithmes


1) Je pense que tu as des sites avec des calculateurs qui te donne le nombre de couples p+q =2n; ce qui te permet de vérifier...

2) l'algorithme de Goldbach en python, puisque c'est de lui qu'il s'agit , il est sur le forum en dessous de ce sujet ,(génération de nombres premiers) sur lequel je t'ai demandé si tu pouvais le retranscrire en C++, du fait que tu as mentionné que tu avais programmé dans plusieurs langage...Ce qui n'est pas du tout mon cas ,ni même en python...

3) C'est pour cela que j'ai eut l'amabilité de Yoshi , qui m'a exécuté les trois programmes : Ératosthène , Goldbach et ces deux programmes unifiés Crible_EG2_mod30.py qui donne directement le nombre de couples p+q = 2n en criblant jusqu'à la limite n fixée.

4) je pense qu'il faut éviter de rentrer dans la polémique qu'est ce qui prouve que mes algorithmes sont vrai ou faux , il a été vérifié à l'université de Grenoble, par des spécialiste en programmation et à l'UQUAM de Montréal...etc... Je ne me permet pas de douter de la véracité de ton programme mais du résultat , qui preuve en est, il y a bien des erreurs...!

5) Est ce que tu peux lire et comprendre le fonctionnement du programme en python de l'algorithme EG2...posté sur le sujet[ génération de premiers]

6) Peux tu expliquer comment ton algorithme qui te donne le nombre N de couples p+q = 2n fonctionne ...? son principe de Fonctionnement.

le mien qui est élémentaire mais pas du tout évident ...à comprendre:

il travaille dans une suite appelée famille 30k +(i) ,avec $(i)\in(1,7,11,13,17,19,23,29)$ famille en progression arithmétique de raison 30.

On fixe une limite $n = 15k$ ou $15k +(i)$ la première partie du programme va extraire les nombres premiers $P\leqslant\sqrt(2n)$ que l'on a besoin pour cribler les entiers $A\equiv{2n}[P]$ non nul en progression arithmétique de la famille 30k +(i), que l'on a fixé pour la limite 15k ou 15k + i ;
(note : si la limite n = 15k on peut utiliser n'importe quel (i) parmi les 8)

ensuite : le programme établis le tableau des entiers A représenté par des 1 pour la limite ((n//30)+1) correspondant au nombres de cellules marquées [1] pour la limite $n$ fixée ("on est en progression arithmétique de raison 30 ... ok")

puis le programme appelle les nombres premiers P d'Ératosthène.
il calcule les reste $R$ de $2n$ par $P$ , autrement dit un $R$ par nombre $P$.

il va calculer les $j = R + k*P$ tel que si j%30== fam(i) alors : ensuite il calcule l'index $idx = j//30$ de départ du crible afin que P crible par pas de P de cet $idx$ qui serra marqué 0 par pas de $P$ jusqu'à $((n//30)+1)$ on aura donc des 1 et des 0 (de l'indice 0,1,2,3,4.... à n//30... etc) et on réitère avec le nombre P suivant et son reste R

à la fin on compte les 1 qui sont les $A$ non congrus modulo P avec 2n c'est à dire $2n\not\equiv{A}[P]$ qui restituera un nombre premier $q\in[n ; 2n]$
Car si un nombre $B$ tel que $2n - A = B$ ; et bien d'après Ératosthène si $B$ n'est pas divisible  par $P$ alors $B = q$ un nombre premier sinon $q = C$ un nombre composé divisible par $P$ voila en gros le principe de fonctionnement de base de mon algorithme pour cribler les A.
Donc en réutilisant le tableau des A = p' criblé par Ératosthéne puis criblé par le crible G, on obtient le crible EG2 modulo 30 ; c'est à dire :

On obtient pour une limite $n$ fixée, le nombre de $A = p'$  non congrus à 2n modulo P, donc un couple $p+q = 2n$ pour une limite $n = 15k +(i)$ criblée.
Autrement dit on se fou des nombres premiers appartenant à [n , 2n] , puisque si $A=p'$ n'est pas égal modulo P avec 2n et bien il restitue son complémentaire $q$ premier qui formera bien le couple $p+q = 2n$

si $2n$ et $A$ sont égaux modulo P, $P$ divise la différence $2n - A$, et dans le cas contraire $P$ ne divise pas cette différence qui est donc un nombre premier $q$ voila pourquoi on crible en utilisant les congruences...

Car en criblant de cette manière l'algorithme G fait ressortir des propriétés et des égalités élémentaires que l'on peut utiliser pour résoudre la conjecture.....etc

voila trois illustrations : pour la limite n = 15k = 300 avec la fam(7) : 7,37,67,97,127.......((n//30)+1) = 307

Crible G :
===== RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_G.T.Y_modulo30.py ====
Donnez N: 300
crible: [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1]
Nombres non congru 2n[P] 1 à 300 famille 7, premiers de 300 à 600: 7 ----- 0.0
--- Temps total: 0.01 sec ---

Crible E
===== RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_ Era_gty_mod30.py ====
Donnez N: 300
crible:[1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]
Nombre premiers criblés famille 7 : 8 ----- 0.01
--- Temps total: 0.01 sec ---

fusion des deux EG2 mod30
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 300
crible:[1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
Nombres P' non congruent à [P] de 1 à 300 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 5 ----- 0.02¨

tu peut remarquer que les couple $p+q = 2n$, sont pour $p$ de la famille $30k+7$ et pour $q$ de la famille $30k+23$ .....$7+23 = 30$....

Tu superposes l'image des deux premiers cribles et tu obtient le résultat pour 2n , et si tu regardes bien , en réfléchissant , tu as aussi le résultat pour 2n + 30 sans recribler... Egalité et propriété démontrée....! on en déduit beaucoup de choses ....

Ne te gène pas, si tu veux le reprogrammer dans un de tes langages....et le mettre à la suite ...sur le forum

#13 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 03-10-2020 17:28:29

LEG

re

Mais quelle est la preuve que le nombre N de couples différents p < q avec p + p=10 000 000 000 est bien de 18 200 488 ?

Tu ne vois pas le résultat de l'algorithme ...?
Ou tu penses que l'algorithme de Goldbach est Faux ...?
Je te signal que mon algorithme est prouvé depuis une dizaine d'année ...
Mais tu peux en demander confirmation à @Yoshi qui en a fait le programme et qui avant de me le faire, il m'avait demander de lui indiquer que l'on extrait bien tous les nombres premiers  $p < n$  non congrus à 2n modulo P avec $P\leqslant\sqrt{2n}$

Le résultat est bien pour la valeur N du nombres de couples p+q = 2n = 10 000 000 000 est de 18 200 488 couples.

("Est ce que tu sais pourquoi il n'y a que 4 familles sur les  8 qui sont candidates à la décomposition en somme de deux premiers de  10 000 000 000 ?")

Si tu connais un site qui te donne ce nombres pour  cet entier pair , ne te gène pas pour vérifier... De plus je n'utilise pas p = 3 ou 5 ce qui pour ce cas ne servirait à rien...!

Enfin as tu vérifié que le nombre N de couples p q est bien de 2 274 206 comme je l'ai calculé à partir de tout les nombres premiers < 1 000 000 000, ou aurai-je aussi fait des erreurs?

Tu ne m'as pas demandé de vérifier si le nombre N de couples p+q = 1000 000 000  vaut  2 274 206 .

Mais je te met le résultat ci dessous :
On crible jusqu'à la limite $n = 500 000 000$ Avec les 4 familles 30k +11 , +29 , +17  et + 23
En utilisant les nombres premiers $P\leqslant\sqrt{2n}$ et les restes R de 2n par P

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 500000000 famille 23, nombr de couples p+q=2n: 568 493 ----- 4.7
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 500000000 famille 17, nombr de couples p+q=2n: 568 673 ----- 4.76
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 500000000 famille 29, nombr de couples p+q=2n: 568 738 ----- 4.77
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 500000000 famille 11, nombr de couples p+q=2n: 568 301 ----- 4.75

Soit un total N = 2 274 204
Sans compter p = 3 ou 5 mais qui ne peuvent décomposer 1 000 000 000 car leur complémentaire $q$ est multiple de 5 ou un produit = 71 × 2251 × 6257
Tu as donc une erreur de 2 couples.

Mais rassure toi l'erreur est humaine....

#14 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 03-10-2020 15:14:00

LEG

Je pense  qu'il y a une erreur dans tes résultats.

car sur le site prime (https://primes.utm.edu/nthprime/index.php#nth) voici le résultat :The 211,965,578th prime is 4,487,817,167 et non 4 999 999 967 , car  : 4999999967 = 19 × 43 × 103 × 59417 qui est loin d'être premier....!

on a bien pour le The 234,954,223ème prime is 4,999,999,937.

De plus j'ai recalculé les 8 famille de premiers < 5000 000 000 et on a bien 234 954 223 nombres premiers et non 211 965 578 , d'autant que tu contredirais que la fonction du TNP est supérieur à la fonction pi(n)... Ce qui fait un peu gros à avaler ....non ?

Tu ne penses pas qu'il te faudrait regarder de plus près tes résultats ....  sauf si tu penses que ce site , ainsi que les différents algorithmes d'Ératosthène sont faux..

et que ton nombre composé est premier...

#15 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 03-10-2020 12:45:16

LEG

Salut @48PierrelePetit

je ne sais pas comment tu calcules le nombre de nombres premiers < ou = à n = 5 000 000 000 et non N = 10 000 000 000 ?

Mais il y en a exactement :[ There are 234,954,223 primes less than or equal to 5,000,000,000.]  donc un nombre réel supérieur à la fonction du TNP , ce qui est normal.... Et non 211 965 578 selon ton calcul...

Où est ce que tu as vu que $\pi(n)$ était inférieur à $\frac{n}{\;ln \: n}$ ??

Ta citation :

Je persiste à dire que N est proche de 10 000 000 (à +- 10% près) pour n=10

Comment tu peux dire cela , alors que je t'ai donné le résultat exact pour les 4 familles, soit :

Nombre réel de couples p+q = 10 000 000 000 : (avec p > 5) .
(4 551 316 +  4 550 160 + 4 548 495 + 4 550 517) = 18 2004 88 Comme tu le vois supérieur à mon estimation et presque le double de la tienne ....



En plus tu as l'algorithme ou crible dans l'autre sujet , au dessus de celui ci...C'est simple à vérifier .

#16 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 02-10-2020 16:03:42

LEG

On a 4 familles candidates à la R(n) en somme de deux premiers pour 2n = 10 000 000 000

on a environ plus de 223 886 908   nombres premiers < n en utilisant la fonction d'estimation du TNP .

on aura en gros au minimum en réutilisant cette fonction $0,5*C_2*\frac{223 886 908}{Ln\:223 886 908} =7686160 $ où $C_2$ est la constante des premiers jumeaux .
Comme indiqué plus haut , en multipliant par 2 le résultat de cette fonction; je pense que le nombre réel se situe aux alentour de 15 000 000.

je vais le calculer exactement

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 5000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 5000000000 famille 11, nombr de couples p+q=2n: 4 551 316 ----- 51.34
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 5000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 5000000000 famille 29, nombr de couples p+q=2n: 4 550 160 ----- 52.89
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 5000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 5000000000 famille 17, nombr de couples p+q=2n: 4 548 495 ----- 51.47
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 5000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 5000000000 famille 23, nombr de couples p+q=2n: 4 550 517 ----- 52.57
>>>

#17 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 01-10-2020 12:33:48

LEG

Vue la quantité de couples  qu'il y a: p+q = 2n ...+2 +2+ ...2n = 200058 ou plus, on doit pouvoir trouver en moyenne ce que l'on veut en terme d'écart compris entre 2 et 24... ou ..30 ;  avec 2800 couples en gros ... Alors imagine avec 2n = 6000000000

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 1, nombr de couples p+q=2n: 2862328 ----- 30.44
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 2860259 ----- 30.78
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 11, nombr de couples p+q=2n: 2863528 ----- 30.99
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 13, nombr de couples p+q=2n: 2863638 ----- 30.8
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 17, nombr de couples p+q=2n: 2861931 ----- 30.75
>>> 
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 19, nombr de couples p+q=2n: 2864259 ----- 30.75
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 23, nombr de couples p+q=2n: 2861586 ----- 30.88
>>>
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 29, nombr de couples p+q=2n: 2862252 ----- 30.97
>>>

On peut d'ailleurs se poser la question en matière de répartition des nombres premiers , il est pratiquement certain que la conjecture de Goldbach donne une meilleur idée sur la répartition des nombres premiers, surtout entre n et 2n , par rapport à l'Hypothèse de Riemann résolu ou pas...

#18 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 01-10-2020 07:55:13

LEG

On peut aussi tout simplement prouver , en fonction des propriétés et égalités de l'algorithme de Goldbach prouvées:
si un entier $A$ non nul, en progression arithmétique de raison 30, de $1\: à\: n = 15k + i$ premier ou pas et tel que : $A\not\equiv{2n}[P]$  ; avec $P\leqslant\sqrt(2n)$; si $A$ précèdent un nombre premiers $p' = A+30$ pour toute limite $n = 15k + i$ avec $i\in(1,7,11,13,17,19,23,29)$:
alors la conjecture est vraie pour la limite suivante $n = 15(k+1) +1$ c'est à dire, qu'elle sera vérifiée pour la limite $2n = 30(k+1) + 2i$

#19 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 29-09-2020 13:35:02

LEG

J'ai du mal à suivre ton raisonnent , pour tout 2n > ou = à 6, on a P de 1 à (2n / 2); est le complémentaire q est obligatoirement > à n donc à P.
 
Pour 2n = 38,
38 - 7 = 31 pourquoi veux tu que P = 31, c'est absurde... Tu as 7 qui est jumeau ainsi que 31 dans cette représentation R(38) en somme de deux premiers

Tu prends toujours le plus petit premier P et tu testes si il est non congru modulo p, avec $p\leqslant\sqrt{2n}$ ; donc dans ce cas on a 7 non congru à 38 modulo p, par conséquent 38 - 7 = q premier ...! Puisque 38 et 7 ne partage pas le même reste R dans la division par p = 3 ou 5

Maintenant que p < q soit un premier jumeau tel que p+2 ou p - 2 qu'est ce que cela change ?  Il y a beaucoup de cas où P qui est la plus petite représentation de 2n en somme de deux premiers P+q , où P n'est pas un premier jumeau .

Pour ta deuxième question, regarde sur internet Goldbach et premiers jumeaux ...Ce qui ne t'avancera pas à grand chose tant que Goldbach n'est pas résolu...

#20 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 29-09-2020 12:07:32

LEG

Ta supposition:

et p souvent le plus petit du couple ( p, q )

Comme tu supposai que souvent p , jumeau était le plus petit du couple, avec les deux valeurs que j'ai montrées, ce n'est pas le cas .
Mais souvent ("qui est vague") ne veut effectivement pas dire tout le temps...

Concernant la véracité de Goldbach, il me semble qu'elle implique l'infinité des premiers jumeaux...

#21 Re : Café mathématique » Conjecture de Goldbach et premiers jumeaux » 29-09-2020 10:59:54

LEG

Bonjour , Tu veux dire que si la conjecture de Goldbach est vraie alors elle implique l'infinité de premiers jumeaux ...Ce qui a été confirmé non ?

Mais il me semble que l'inverse n'est pas forcément vrai... C'est à dire que quelque soit un couple de Pj , alors il est dans une représentation de 2n en somme de deux premiers : p + (p+2)

Donc dans ta supposition, ta conjecture, impliquerait que dans la représentation R(2n) en somme de deux nombres premiers p+q , le plus petit nombre premier p du couple p+q = R(2n), p+2 ou p-2 = pj un premier jumeau ...

Je pense que pour une catégorie d'entier 2n de la forme 30k + 2i , avec i appartenant à (1;7;11;13;17;19:23;29) il doit y avoir des contres exemples car il n'y a que trois familles de nombre premiers qui décomposent ces entiers 30k + 2i ; ce qui réduit énormément les possibilités...

Par exemple j'ai un peu regardé avec 2n = 6002

Le plus petit couple p+q = 6002, avec P = 79 , P n'est pas jumeau....

Pour s'amuser un peu, en utilisant les trois cribles pour n = 3001 avec la fam(i) = 1, puis avec Fam(i) = 13 et fam[i) =19

Donnez n: 3001 on a deux premiers 151 - 2 et 181 -2 qui sont jumeaux mais supérieur à 79 , fam(19)

crible: [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3001 famille 1, nombr de couples p+q=2n: 17 ----- 0.01

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3001 on a 313 qui est premier jumeau

crible: [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3001 famille 13, nombr de couples p+q=2n: 23 ----- 0.0

avec la dernière fam:

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3001 on a 349 qui est jumeau

crible: [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3001 famille 19, nombr de couples p+q=2n: 21 ----- 0.01

Avec n = 3017, 2n = 6034 , on a R(2n)  avec p = 23  et 53 qui ne sont pas des premiers jumeaux.

#22 Re : Café mathématique » Génération des nombres premiers : algorithme » 28-09-2020 15:50:50

LEG

@48pierrelePetit

Cela semble donner une proportion moyenne de premiers 1 modulo 30 de 1/8, et aussi 1/8 pour les -1 modulo 30,     
Merci à tous et bonne journée

C'est normale il y a 8 familles de nombre premier >5 ,  de la forme 30k + i
Et comme l'algorithme qui crible ses 8 familles avec le même nombre de nombre premiers P inférieur à racine de n, est le même; tu as par conséquent une densité moyenne de 1/8 par famille .

#23 Re : Café mathématique » Génération des nombres premiers : algorithme » 28-09-2020 14:30:25

LEG

Bonjour

===== RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_ Era_gty_mod30.py ====
Donnez N: 16000000
Nombre premiers criblés famille 13 : 128937 ----- 0.07
--- Temps total: 0.09 sec ---
>>>

Ce programme @Yoshi, à la base il était était archaïque ...toi tu l'as refait entièrement à partir de l'algorithme ....

Tout comme celui que j'ai mis ci-dessus qui donne le nombre de couples P+q = 2n ...c'est quand même toi qui me l'a fait intégralement en python ...

En définitive ce qui est long c'est d'écrire tous les nombres premiers criblé < n fixé et non de calculer leur nombre .

Ensuite il est clair que certain algorithme et programme sont très rapide en fonction du langage, de la complexité de l'algorithme, du calculateur ou Pc utilisé..

ex : le 400 milliardième premier est : The 400,000,000,000th prime is 11,618,595,583,891; en moins de 1,5 secondes et je suppose qu'il y a plus rapide...

Bref disait moi et non Pépin ... @Wiwaxia ou 48PierrelePetit y'en a t'il un, pour retranscrire en C++ le crible en python que j'ai mis  ci-dessous... si possible bien entendu...

Actuellement pour n = 16 000 000 000 il me donne :

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 16000000060
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000060 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 15 133 152 ----- 227.22 secondes
>>>
Donnez n: 16000000075
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000075 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 14 349 243 ----- 211.01

Donnez n: 16000000090
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000090 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 13 131 524 ----- 213.3
>>>


Avec les nombres premiers Pn et qn : Pn = 30k+7 et qn = 30k +13

En utilisant la fonction modifiée $\pi(n)$ pour le nombre de premiers 30k +7 et la constante des nombres premiers jumeaux $C_2$ :
Nombre de premiers $30k + 7  < 16000000030 = 89 101 240$
l'estimation me donne 6 426 691 couples qui représentent $2n = 32 000 000 060$ en somme de deux nombres premiers p+q .

Pratiquement la moitié du nombre réel de couples p+q ... Ce qui est quand même très curieux,  car il suffit de multiplier par 2 le résultat de la fonction d'estimation pour obtenir une moyenne générale ...

La fonction est : pour un nombre de nombre premiers de la forme de $30k + i$ ; $i\in(1,7,11,13,17,19,23,29)$ et une limite fixée : $n = 15k + i$

$\frac{\pi(n)}{ln\:(\pi(n))}$ sachant aussi que cette fonction indiquera le nombre de couples qui représenteront la limite suivante 2n + 30 sans avoir le besoins de cribler car la fonction est réccurente...

Elle représente aussi le nombre d'entiers A pas obligatoirement premiers de la forme 30k +7 en progression arithmétique de raison 30, non congrus modulo P : $(2n+30)\not\equiv{A}[P]$ avec $P\leqslant\sqrt{2n+30}$

Si on prend les trois limites $n$ suivante on aura une moyenne de 14 204 639 couples = 2n ; pour une estimation de 12 853 383 .

======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 16000000105
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000105 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 13 467 806 ----- 210.81
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 16000000120
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000120 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 14 334 132 ----- 243.58
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 16000000135
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 16000000135 famille 7, nombr de couples p+q=2n: 16 239 823 ----- 186.15
>>>
Comme quoi ce crible / algorithme de Goldbach par famille $30k + i$, cache bien des choses...

#24 Re : Café mathématique » Génération des nombres premiers : algorithme » 28-09-2020 08:38:02

LEG

Bonjour
@48PierrelePetit
Ce que dit @Yoshi concernant mon algorithme qu'il a programmé en python , il a aussi été programmé en C++..
Et effectivement les limites et temps de calcul ne sont pas comparable, pour une limite $n = (4 222 234 441 + 29)$ ou pour $2n$ concernant le deuxième algorithme qui donne le nombre de nombres premiers entre $n\: et\: 2n$,

pour info pour $n$ la limite de ton nombre premier 4 222 234 441 + 29 , il y a 24 999 915 nombres premiers de la forme 30k + 1 en 0,4 secondes... tu vois que le programme de mon algorithme, python de Yoshi, retranscrit en C++, n'est pas comparable.

et pour cette même limite $n$ il nous indique aussi qu'il y a 23 407 452 nombres premiers de la forme 30k + 1 entre 4 222 234 460 et 8 444 468 920 en 0,4 secondes ...

Tu peux vérifier que le programme en question se trouve sur le forum programmation  à la page 15 : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 10154&p=15

Mais ta réponse est intéressante, pourrais tu me retranscrire en C++ et en utilisant les slices comme ce la a été fait dans le programme en question . le programme python que @Yoshi m'a fait :

Si besoins je peux mettre les deux programmes en C++ pour les fusionner en C++ , comme il me l'a fait en Python ci dessous, ce qui ferait gagner du temps pour la fusion en C++ .


from time import time
from os import system

def candidate_range(n):
    cur = 5
    incr = 2
    while cur < n+1:
        yield cur
        cur += incr
        incr ^= 6  # or incr = 6-incr, or however

def eratostene(n):
    n1,n = int(n**0.5), int((2*n)**0.5)  #(si on fusionne les deux cribles il faudra rentrer, int((2n)**0.5) pour Goldbach.
    prime_E,prime_EG=[2,3],[]
    sieve_list = [True for _ in range(n+1)] # c'est plus propre comme ça)
    for each_number in candidate_range(n):
        if sieve_list[each_number]:
            if each_number>n1:
                prime_EG.append(each_number)
            else:
                prime_E.append(each_number)
            for multiple in range(each_number*each_number, n, each_number):
                sieve_list[multiple] = False
    #print(prime_E,prime_EG)            
    return prime_E[3:],prime_EG


def Criblage_EG(Premiers,Premiers_suite, n, fam):
    start_crible = time()
    # On génère un tableau de n//30 cases rempli de 1
    lencrible = ((n//30)+1)
    crible=[1 for _ in range(lencrible)] # c'est plus propre comme ça
    GM = [7,11,13,17,19,23,29,31]
    # On calcule les produits :
    for a in Premiers:
        for b in GM:
            j = a * b
            if j%30 == fam:
                index = j // 30  # Je calcule l'index et On crible directement à partir de l'index
                for idx in range(index, lencrible, a):  # index qui est réutilisé ici...
                    crible[idx] = 0
    Premiers+=Premiers_suite
    del Premiers_suite # suppression du tableau devenu inutile
    nbpremiers = len(Premiers)
    n2 = 2*n
    for premier in Premiers:
        reste = n2 % premier
        if reste % 2 == 0:
            reste += premier
        pi2 = 2*premier
       # tant que reste % 30 != fam on fait reste += pi2
        while reste % 30 != fam:
            reste += pi2
        # Ensuite on divise reste par 30 pour obtenir l'index
        reste //= 30
        # On crible directement avec l'index
        for index in range(reste, lencrible, premier):
            crible[index] = 0
    total = sum(crible)
    #print(nbpremiers)
    #print("crible:", crible)
    print(f"Nombres non congru 2n[pi] {1} à {n} famille {fam} premiers de {n} à {n2}: {total} ----- {int((time()-start_crible)*100)/100}")

def demander_n():
    n = input("Donnez N: ")
    n = int(n.strip().replace(" ", ""))
    #n = int(30 * round(float(n)/30))
    return n

def main():
    # On demande N a l'utilisateur
    n = demander_n()
    # On récupère les premiers de 7 à √n et de √n à √2nN
    Premiers_E,Suite_E = eratostene(n)
    # On crible
    fam = 7 # ou 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 au choix
    Criblage_EG(Premiers_E,Suite_E, n, fam)
   
main()
system("pause")
 

#25 Re : Café mathématique » Génération des nombres premiers : algorithme » 26-09-2020 09:12:23

LEG

ok , il t"en rajoute 33 .

Bonjour @Yoshi, je te laisse la main ....

J'attends ton idée de reprogrammation de notre algorithme ....déjà pour Ératosthène ou Goldbach et/ou: pour la fusion des deux ... le crible_EG2_mod30 c'est celui ci qu'il faudrait optimiser, afin de vérifier assez loin le nombre de représentation R(n) de 2n en somme de deux nombres premiers p+q pour une limite n fixée.
avec n= 15k + i , soit :  2n =30k + 2i.
@+

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