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Fred,

A la réflexion, je pense comprendre pourquoi \(\displaystyle I^{\infty}\) est compact. En effet si on considère un recouvrement ouvert de \(\displaystyle I^{\infty}\) , ce recouvrement contient au moins un \(\displaystyle U_1\times U_2\; ...\;U_n\times I\;...\;I\;...\;\; \) . Si \(\displaystyle n=1\) c'est terminé. Sinon il ne reste en plus qu'à recouvrir \(\displaystyle I^n\) par les projections des ouverts du recouvrement sur \(\displaystyle I^n\) (n premières composantes), ce qui peut se faire avec un sous-ensemble fini, vu la finitude de n.

Je complète.

Bon. On n'est pas obligé d'avoir \(\displaystyle I^{\infty}\in l_2\) , mais puisque dans la démonstration citée \(\displaystyle I^{\infty}\) est déclaré compact, c'est avec quelle topologie ?  Sûrement pas avec la distance \(\displaystyle d(x,y)=\sup\limits_{k\in\mathbb N}|x_k-y_k|\) (prendre la suite \(\displaystyle (x_n)\) définie par \(\displaystyle x_n,k=\delta_n^k\) . Une suite extraite ne peut être de Cauchy puisque la distance de 2 termes distincts est toujours 1).

Bonjour,

Sauf erreur, une condition d'existence d'une symétrie centrale de centre 0:
\(\displaystyle \exists k\in\mathbb Z^*\;\;\rho(\theta+k\pi)=(-1)^{k-1}\rho(\theta)\)

(suite)

Le corps de décomposition de \(\displaystyle X^3-3X+1\)

C'est la plus petite (au sens de l'inclusion) extension du corps de base contenant toutes les racines de  P. C'est évidemment une extension de \(\displaystyle \mathbb Q[\alpha]\) . Nous allons pour le déterminer devoir utiliser une propriété des polynômes \(\displaystyle X^3+pX+q\) . Si \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) sont les 3 racines (complexes, non nécessairement distinctes), on a \(\displaystyle [(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)]^2=-4p^3-27 q^2\) (ce nombre est désigné par discriminant du polynôme). Dans le cas de \(\displaystyle X^3-3X+1\) on obtient \(\displaystyle 81=9^2\) . Par suite \(\displaystyle (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=9\) ou \(\displaystyle -9\) (et même 9 puisque \(\displaystyle \alpha<\beta<\gamma\) ). Donc \(\displaystyle \beta-\gamma=\dfrac{9}{(\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)}\) . Or \(\displaystyle (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)=(\beta+\gamma)\alpha-\beta\gamma-\alpha^2\) et compte tenu des relations classiques entre coefficients et racines \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0,\;\alpha\,\beta\,\gamma=-1\) on arrive à \(\displaystyle \beta-\gamma=\dfrac{9}{-2\alpha^2+\frac{1}{\alpha}}\;=\;\dfrac{9\alpha}{1-2\alpha^3}\) . Puis comme \(\displaystyle \beta+\gamma=-\alpha\) , on obtient finalement
\(\displaystyle \beta=\dfrac{\alpha(4+\alpha^3)}{1-2\alpha^3}\) et \(\displaystyle \gamma=\dfrac{\alpha(\alpha^3-5)}{1-2\alpha^3}\) . Par suite \(\displaystyle \beta\) et \(\displaystyle \gamma\) appartiennent à \(\displaystyle \mathbb Q[\alpha]\) et le corps de décomposition de P coïncide avec le corps de rupture  \(\displaystyle \mathbb Q[\alpha]\) .

Cette situation est évidemment assez exceptionnelle parmi les polynômes \(\displaystyle X^3+pX+q\) puisqu'il n'y a en général aucune raison pour que le discriminant soit le carré d'un rationnel.

Le groupe de Galois du polynôme \(\displaystyle X^3-3X+1\)

Comme on sait il s'agit du groupe des automorphismes du corps de décomposition laissant invariant chaque élément du corps de base. Son ordre est égal au degré du corps de décomposition relativement au corps de base, c'est à dire \(\displaystyle 3\) dans le cas présent (le corps de décomposition égal ici à \(\displaystyle \mathbb Q[\alpha]\) , le degré de cette extension qui est la dimension de \(\displaystyle \mathbb Q[\alpha] \) en tant qu'espace vectoriel sur \(\displaystyle \mathbb Q\) est \(\displaystyle \;3 \;\) puisque cet espace vectoriel admet comme base \(\displaystyle (1,\alpha,\alpha^2)\) ).

Si \(\displaystyle \sigma\) est un élément du groupe de Galois, on a \(\displaystyle P(\,\sigma(\alpha)\,)=\sigma(P(\alpha))=\sigma(0)=0\) . Donc \(\displaystyle \sigma(\alpha)\,\in\,\{\alpha,\beta,\gamma\}\) .
Si \(\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha\) il en résulte que \(\displaystyle \forall (a,b,c)\in \mathbb Q ^3\;\sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\alpha^2+b\,\alpha+c\) et \(\displaystyle \sigma\) est donc l'application identité, l'unité e du groupe. Outre e, il reste 2 possibilités : \(\displaystyle \sigma(\alpha)=\beta\) (donc \(\displaystyle \sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\beta^2+b\,\beta+c\) ) et \(\displaystyle \sigma(\alpha)=\gamma\) (donc \(\displaystyle \sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\gamma^2+b\,\gamma+c\) ). On retrouve bien l'ordre 3 pour le groupe.

Ce groupe à 3 éléments est isomorphe au groupe alterné \(\displaystyle A_3\)   cyclique, engendré par chacun des 2 éléments différents du neutre.

Bon j'arrête ici. Naturellement il n'a pas été donné de formule donnant les solutions par radicaux, tout au plus on voit comment calculer les racines dès qu'on connaît l'une d'elles (ici \(\displaystyle \alpha\) , mais on pourrait de manière semblable partir de \(\displaystyle \beta\) ou \(\displaystyle \gamma\) ). Mais ce n'était nullement le but. En fait les équations du 3e degré à discriminant positif, ce qui est le cas ici, conduisent toujours à des calculs de racines cubiques de nombres non réels qu'on ne peut ramener à des racines de réels (c'est le cas dit « irréductible » de l'équation du 3e degré).

Je ne sais pas si tout cela peut apporter quelque réponse à la question qui a été posée (par imed), mais …

A titre de sucrerie, je signale, bien que ceci n'ait pas grand chose à voir avec ce qui précède, la méthode (de Viète) consistant ici à poser \(\displaystyle X=2 \cos u\) . Par application de la formule \(\displaystyle \cos(3\theta)=4\cos^3\,\theta-3 \cos \theta\) on obtient l'équation \(\displaystyle \cos(3u)=-\dfrac{1}{2}\) . Comme il nous suffit d'avoir une racine on peut prendre \(\displaystyle u=\dfrac{1}{3} \mathrm{arcos}\left(-\frac{1}{2}\right)\,=\,\dfrac{2\pi}{9}\;\) et on obtient la solution de l'équation \(\displaystyle 2 \cos\,\dfrac{2\pi}{9}\;\) . (il s'agit de la racine \(\displaystyle 1,532...\) que nous avons appelée \(\displaystyle \gamma\) ).
Comme signalé plus haut, on ne peut exprimer ces racines avec des radicaux portant sur des réels. Tout au plus peut-on remarquer que \(\displaystyle 2\cos\,\dfrac{2\pi}{9}\;=\,e^{\frac{2i\pi}{9}}+e^{-\frac{2i\pi}{9}} \) , les 2 termes étant racines cubiques respectives de \(\displaystyle j\) et \(\displaystyle j^2\) .

Pierre (pedestre)