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Le pion blanc ne peut prendre le pion noir de face.

Peut-on avoir le diagramme de ce problème?

Bonjour,
1. Ta4 +, bxa4;
2. Rc4, b5+;
3. Rc5, b4;
4. axb4 #.

Bonjour,
décompose en éléments simples. Ensuite, pour la série en [tex]i[/tex] par exemple, tu gardes le terme [tex]\frac A{z-i}[/tex] ([tex]A[/tex] étant une constante que tu auras trouvé lors de la décomposition en éléments simples) et tu fais un développement en série entière de [tex]\frac 1{z+i}[/tex] au voisinage de [tex]i[/tex].

1. Le fait que la loi soit interne découle du fait que la somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
La commutativité découle de celle de l'addition et du produit usuel.
Concernant l'associativité, on a pour [tex]a,b,c\in \mathbb N[/tex] :
[tex]a\star\left(b\star c\right) =a\star\left(b+c+b\times c\right) = a+b+c+b\times c +a\times b +a\times c +a\times b\times c[/tex] et
[tex]\left(a\star b\right)\star c = \left(a+b+a\times b\right)\star c =a+b+c+a\times b + c\times a+c\times b+c\times a\times b[/tex], la commutativité de l'addition et de la multiplication assure l'associativité.

On cherche [tex]e[/tex] tel que pour tout [tex]a\in \mathbb N ,\, a\star e =a[/tex].
Or [tex]a\star e =a[/tex] impose que [tex]e\left(a+1\right) =0[/tex] donc [tex]e=0[/tex]. On vérifie ensuite que pour tout [tex]a\in\mathbb N[/tex] on a [tex]a\star 0 =a[/tex]. 

2. On a [tex]a^{\star 2} = a+a+a^2 =\left(a+1\right)^2-1[/tex] puis [tex]a^{\star 3} = a+\left(a+1\right)^2-1 +a\left(\left(a+1\right)^2-1\right)=\left(a+1\right)\left(a+1\right)^2-1 =\left(a+1\right)^3 -1[/tex]  et
[tex]a^{\star 4} = a+\left(a+1\right)^3 -1+a\left(\left(a+1\right)^3 -1\right) = \left(a+1\right)^4[/tex].

On montre par récurrence que pour tout entier [tex]n[/tex] on a [tex]a^{\star n} =\left(a+1\right)^n-1[/tex];

On a [tex]\left(a+1\right)^1-1 =a =a^{\star 1}[/tex] et si la propriété est vrai à un certain rang [tex]n[/tex] alors on a [tex]a^{\star \left(n+1\right)} =a+\left(a+1\right)^n-1+a\left(\left(a+1\right)^n-1\right) = a+\left(a+1\right)^n-1+a\left(a+1\right)^n-a=\left(a+1\right)^{n+1}-1[/tex].

Bonjour,
on va dire que je chipote mais ne vaut-il mieux pas noter les itérée par [tex]a^{\star n}[/tex]? Un argument pour justifier cela est que [tex]a^{\star n}[/tex] s'écrit à l'aide des puissances usuelles de [tex]a[/tex] (ou d'un truc qui a à voir avec [tex]a[/tex], j'essaie de préserver le suspense autant que possible), donc il y a un risque d'amalgame.

La propriété du cours n'est-elle pas vraie sous l'hypothèse que la mesure (extérieure) de [tex]A[/tex] soit finie?

Normalement oui. Si le livre avec lequel tu travaille contient des éléments de cours cette propriété devrait y figurer, sinon tu peux regarder dans n'importe quel cours.

Salut.
Je pense qu'il faut chercher du côté des accroissements finis.

On doit bien montrer que [tex]\inf_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}\frac{a_i}{b_i} \leq \frac{a_1+\cdots +a_n}{b_1+\cdots b_n} \leq \sup_{i\in \left\{1,\cdots,n\right\}}\frac{a_i}{b_i}[/tex]?
Dans ce cas, on peut supposer sans perte de généralité que [tex]\frac{a_1}{b_i}[/tex] réalise l'inf et [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] réalise le sup (qui sont en fait un min et un max).
Je n'ai pas fait les calculs mais ça devrait marcher.

Autre problème tant que j'y suis. Lors de la preuve du fait qu'un produit d'espaces est séparé est séparé si et seulement si ils sont tous séparés, il y a deux images concernant le choix des antécédents. Mais elle ne s'affichent pas!

Oui, c'est ce qu'il faut faire.