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#1 Entraide (supérieur) » l'irrationnalité de ln(3)/ln(2) » 07-07-2020 18:31:57

adnanemohib99
Réponses : 16

salut à tous, je veux savoir si mon raisonnement est juste pour montrer que ln(3)/ln(2) est irrationnel
raisonnons par l'absurde et supposons que ln(3)/ln(2) est rationnel
donc il existe deux entiers naturels p et q tels que ln(3)/ln(2)=p/q
donc qxln(3)/ln(2)=p
posons A l'ensemble des entiers naturels n tels que nxln(3)/ln(2) est un entier naturel
A est non vide parce que q est dans A
comme A est une partie non vide de N alors elle admet un plus petit élément que l'on note a
posons m=a-axln(2)/ln(3)
d'une part mxln(3)/ln(2)=axln(3)/ln(2)-axln(2)/ln(3)xln(3)/ln(2)=axln(3)/ln(2)-a
donc m est dans A
et d'autre part m<a
ce qui contredit la minimalité de a
d'où le résultat

#2 Entraide (supérieur) » les suites numréiques » 30-06-2020 21:47:11

adnanemohib99
Réponses : 1

Salut à tous
Je veux savoir si ma méthode de montrer que la suite (un) définie par :
∀n∈N^*, un=(E(√n))/n converge vers 0
∀n∈N^*  |E(√n)|≤|√n|  ⇒  ∀n∈N^* |E(√n)/n|≤|√n/n|=|1/√n|  et comme lim(n→+∞)⁡1/√n=0
D’où le résultat.
Et merci d’avance

#4 Entraide (supérieur) » raisonnement par récurrence forte » 05-06-2020 23:17:47

adnanemohib99
Réponses : 2

bonjour!
je veux montrer que pour tout  n∈N* (2+√3)^n+(2−√3)^n est un entier pair
pour n=0 c'est trivial
soit n∈N* tel que la propriété est vraie pour tout les entiers strictement inférieures à n
montrons qu'elle est vraie aussi pour n
par l'hypothèse de récurrence il existe k∈N* tel que (2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1 = 2k
donc ((2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1) x 4 = 4 x 2k
donc ((2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1) x (2 +√3 + 2 - √3) = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2−√3)(2+√3)^n-1 + (2+√3)(2−√3)^n-1 = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2²−3)(2+√3)^n-2  + (2²−3)(2−√3)^n-2  = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2+√3)^n-2  + (2−√3)^n-2  = 4 x 2k
comme n-2<n alors il existe k'∈N* tel que (2+√3)^n-2  + (2−√3)^n-2 = 2k'
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n = 4 x 2k − 2k' = 2(4k − k') CQFD
----------------------------------------------------------------------------------------------------
ce raisonnement est-il correcte? sinon pourquoi?

#6 Re : Entraide (supérieur) » la fonction indicatrice d'euler » 05-06-2020 17:00:09

#3 merci, je veux comprendre l'effet du fait que les entiers qui sont premiers avec m sont tous distincts modulo n sur le reste de la démonstration

#7 Entraide (supérieur) » la fonction indicatrice d'euler » 05-06-2020 15:21:19

adnanemohib99
Réponses : 9

bonjour à tous smiling smiley, aider moi à comprendre une partie de cette démonstration s'il vous plait et merci d'avance

si m et n premiers entre eux alors phi(mn) = phi(m).phi(n)

démonstration: Il s’agit de comptabiliser les nombres compris entre 1 et mn qui sont
premiers avec mn.
Tout entier naturel a situé entre 1 et mn, peut s’écrire sous la forme a = lm + r avec
0 <= l <= n − 1 et 1 <= r <= n.
Mais d’après le Lemme d’Euclide, on a pgcd(a, m) = pgcd(lm + r, m) = pgcd(r, m).
Or, par définition de la fonction d’Euler, il y a phi(m) entiers entre 1 et m − 1 qui sont
premiers avec m .
Les nombres qui sont entre 1 et mn qui sont premiers avec m sont de la forme
lm + r où r est premier avec m car pgcd(a, m) = pgcd(r, m) et 0 <= l <= n − 1.
Maintenant, il faut remarquer que pour un tel r, l # l′ ⇒ lm + r # l′m + r mod (n)
Car, en effet, si lm + r = l′m + r mod (n) alors (l − l′)m = 0 mod (n) donc l = l′ car pgcd(m, n) = 1
puisque d’après le théorème de Gauss, on aurait n|(l − l′) avec |l − l′| < n.
----------------------------------- la suite je ne la comprend pas---------------------------------------------
On en déduit que, pour chaque r=1, 2, 3, ..., n premier avec n, les nombres de la forme
lm + r avec 0 <= l <= n − 1 sont deux à deux distincts modulo n.
Donc parmi ces n nombres, il y en a phi(n) qui sont premiers avec n.
conclusion
Il y a phi(m) nombres premiers avec m
Pour chacun de ces nombres, il y en a phi(n) qui sont premiers avec n .
Donc il y a phi(m)phi(n) nombres premiers avec mn .

#9 Re : Entraide (supérieur) » Divisibilité par 8 » 02-06-2020 14:00:29

aah ouiii tu as raison, merci beaucoup "valoukanga"

#10 Entraide (supérieur) » Divisibilité par 8 » 02-06-2020 13:33:02

adnanemohib99
Réponses : 4

Soit n un entier naturel strictement positif
si n est impair alors n²-1 est divisible par 8
preuve:
n impaire donc il existe un entier naturel k tel que n=2k+1
n²-1=(2k+1)²-1=(2k+1)²-1²=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)2k
=2(k+1)2k=4k(k+1)
montrons par récurrence que pour tout entier naturel k, k(k+1) est pair
pour k=0 on a k(k+1)=0 donc c'est vérifiée
soit k un entier naturel tel que k(k+1) est pair
on a (k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)k+(k+1)2
donc (k+1)(k+2) est la somme de deux entiers naturels pair, et donc pair
d'où pour tout entier k, k(k+1) est pair
repartant de notre égalité, il existe une entier naturel m tel que k(k+1)=2m
donc n²-1=4k2m=8km CQFD

que pensez-vous de cette démonstration?

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