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#2 Re : Entraide (supérieur) » Probabilités » 28-03-2020 13:14:07

Merci de ta réponse. Effectivement il s’agit bien de [tex]S_k[/tex].

On a donc [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x)[/tex].

Pour faire un changement de variable on suppose h inversible (suffisant car h linéaire il me semble ?).
On a donc [tex]\Phi : A \rightarrow h^{-1}(A)[/tex] difféo avec [tex]\Phi(x)=h^{-1}(x)[/tex].

Ainsi, [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x) = \int_A f(\Phi(x)) | \det J (\Phi (x)) | d\lambda_n (x) = \int_A f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | d\lambda_n(x) [/tex]

On pose [tex] g(x)= f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | [/tex] et c’est bon ?
Pourquoi g est une densité ?

#3 Entraide (supérieur) » Probabilités » 27-03-2020 15:59:22

Slifer
Réponses : 4

Bonjour,

Je reste bloqué devant l’exercice suivant, une indication serait la bienvenue :)
Ce qui me pose problème est le fait qu’on soit dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
Le problème est le suivant :
On suppose que le vecteur aléatoire [tex]X=(X_1,…,X_n)[/tex] possède une densité [tex]f[/tex] par rapport à la mesure de Lebesgue [tex]\lambda_n[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
On pose [tex]S=X_1 + … + X_k[/tex] pour [tex]1 \leq k \leq n[/tex]. Il faut montrer que [tex](S_1,…,S_n)[/tex] possède une densité [tex]g[/tex] par rapport à [tex]\lambda_n[/tex] que l’on doit préciser.

Je suppose qu’on part de la définition mais je ne vois pas trop comment procéder.

[tex]\forall A \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f(x) d\lambda_n (x)[/tex] avec [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex].

En vous remerciant d’avance ;)

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