Forum de mathématiques - Bibm@th.net

[tex]\dfrac 1 4-\dfrac{3}{400}[/tex]

Bonsoir,

Dans ce cas, tu as besoin que j'allume quelques spots supplémentaires...
Parce que ce que t'ai montré, c'est ce que l'élève doit faire.
Mais ce n'est pas une "recette de cuisine" !
Je vais te montrer que ça tombe pas du ciel, comme ça.
Et attache ta ceinture...

On considère le polynôme du 2nd degré tel que a, b et c ne soient pas nuls. :
$ax^2+bx+c$
Essayons de le factoriser (la technique ci-dessous se nomme "mise sous forme canonique"). D'abord ce a m'ennuie, alors j'écris :
$ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac b a x+\frac c a\right)$ j'ai mis a en facteur commun.

Ensuite je m'intéresse à $x^2+\frac b a x$... ce truc-là me rappelle le produit remarquable $A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$
Mais il n'y a pas de 2 ni de 2e carré...
C pô grave, on va arranger ça :
1.Développons $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ pour voir :
   $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}$  Ah ! Je le vois le 2 !
   Je divise par 2 et comme c'est 2 fois trop petit pour rétablir l'équilibre on remultiplie par 2...
   Mais, votre carré, là : $\frac{b^2}{4a^2}$ vous en faites quoi ???
2. Bin, je vais le soustraire des 2 côtés comme ça :
    $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}$
   Je simplifie :
   $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \dfrac{b}{2a} x$

Je vais donc remplacer $x^2+\dfrac{b}{a} x$  par  $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$
Petit résumé :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]$

Et ce morceau : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a$, je l'écris en une seule fraction : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a -\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
Je remplace :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$
Et c'est le numérateur qu'on appelle discriminant et qu'on désigne par  :
$\Delta=b^2-4ac$

Et maintenant je dois me demander à quelle condition on peut factoriser l'expression : $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$

Et là je vois que
1. si $\Delta<0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ et je peux pas factoriser $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\text{nombre positif}\right]$. Pas de solution

2. si $\Delta=0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$ et l'expression se résume à $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
    1 solution double $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$

3. si $\Delta>0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$  Et donc  $\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$
    Mon expression peut donc s'écrire
    $ ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]$
    $a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) $
    Chercher les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ quand $\Delta>0$ c'est résoudre l'équation-produit :
     $a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 $
     qui a 2 solutions
    $ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$  et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    que l'on résume ainsi
    $ x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Difficile à digérer ? Oui, in peu vau début, mais on s'y fait...

Questions ?

@+

je ne suis pas du tout d'accord avec ta signature :-)

Le quotient cheval/oiseau est égal à $\pi$ car tout d'abord, on se souvient qu'un oiseau est une bête à ($\beta$) L, donc les L se simplifient. Au numérateur, il nous reste donc un CHEVA qui se retourne en VACHE. Là, on remarque qu'une vache est une bête à PI, donc les $\beta$ se simplifient et il reste PI ;-)

C'est un truc de "taupin" !

[tex]4,15 = \frac{-0.25}{0.1} \times E+E-\frac{-4.42}{0.1}[/tex] (J'ai utilisé la distributivité de la  multiplication avec l'addition, autrement dit [tex]a \times (b+c) = a \times b+a \times c[/tex]).