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#1 Entraide (supérieur) » Problème d'intégrale » 11-06-2019 18:21:33

alexandra2019
Réponses : 0

Bonjour à tous,
On considère le problème suivant.
Fixons $\omega \in [\frac{3\pi}{2},\pi[$ et posons $\Omega=\left\{(r\cos\theta,r\sin\theta)\in \mathbb{R}^2\mid 0<r<1 \ \text{et} \ 0<\theta<\omega\right\}$.
Introductions une fonction $\chi \in D(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{supp} \chi \in \,]-1,1[$ et vérifiant
\begin{align*}
    \chi(r)=1,\quad \forall r \in ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[.
\end{align*}
Question. Est-ce que on a
\begin{align*}
\frac{1}{4 \pi (\frac{\pi}{\omega}-1)} \int_{\Omega} \left((1-2 \frac{\pi}{\omega}) \chi_1 (r)
+ 2 (\frac{\pi}{\omega}-1) r \chi_{1}'(r) + r (r\chi_{1}'(r))' \right)
\sin^2 \frac{\pi}{\omega}\theta \ dr d\theta = 1,
\end{align*} avec $\chi_1 (r) = 2 \frac{\pi}{\omega} \chi'(r) + (r\chi'(r))'$.
Merci d'avance

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