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#1 Re : Entraide (supérieur) » Norme subordonnée particulière » 11-05-2021 15:56:10

Justement, je voulais dire que je me permets de choisir n'importe quelle norme sur les espaces d'arrivés et de déprat.

Cordialement

#2 Entraide (supérieur) » Norme subordonnée particulière » 10-05-2021 21:22:28

JohnSmith
Réponses : 3

Bonjour à tous,

Sauriez-vous s'il existe une norme subordonnée sur les matrice ( [tex]\mid \mid \mid M \mid \mid \mid = \sup_{\mid \mid h \mid \mid =1}\mid \mid Ah\mid \mid [/tex] ) , sans poser de condition sur les normes de l'espace de départ et d'arrivée, vérifiant [tex]\mid \mid \mid M \mid \mid \mid =\mid \mid \mid M^{t} \mid \mid \mid [/tex]

Merci d'avance et bien cordialement.

#3 Re : Entraide (supérieur) » Tribu borélienne stable par addition d'un réel. » 21-05-2020 19:19:31

Bonjour,

Merci de vos réponses, par rapport à la première question, je ne vois pas trop en quoi les égalités avec les unions dénombrables nous aident à assurer que [tex]F+q [/tex] soit borélien...

Pour la seconde question je vais essayer d'utiliser le lemme des classes monotones comme vous le conseillez.

Bien cordialement

#4 Re : Entraide (supérieur) » Tribu borélienne stable par addition d'un réel. » 21-05-2020 14:36:28

Finalement en utilisant la continuité de l'application [tex]x\rightarrow x-q[/tex] et en remarquant que [tex]\phi^{-1}(F)=F+q[/tex] on obtient bien que [tex]F+q [/tex] est mesurable, cependant peut on le montrer sans utiliser de fonctions mesurables ? Et plus important comment montre-t-on que [tex]F+q [/tex]  est de même mesure que [tex]F[/tex] ?

Merci d'avance de vos réponses,

Bien cordialement

#5 Entraide (supérieur) » Tribu borélienne stable par addition d'un réel. » 21-05-2020 00:08:42

JohnSmith
Réponses : 4

Bonjour,

Dans la correction de l'exercice 26 sur les tribus et mesures, il est utilisé sans détails que si un ensemble [tex]F[/tex] est borélien alors [tex]F +q[/tex] avec [tex]q[/tex] rationnel alors [tex]F +q[/tex] est également borélien et de même mesure (de Lesbegue ) que le premier. Cependant, bien que ces résultats semblent intuitifs, comment peut on les montrer rigoureusement?

Bien cordialement et merci d'avance de vos réponses.

#6 Re : Entraide (supérieur) » Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n » 01-03-2020 14:12:03

Bonjour,

J'ignorais que les décimaux étaient denses dans dans les réels, je vais regarder la preuve dans ce cas, merci pour cette indication.

Bien Cordialement.

#7 Entraide (supérieur) » Tout réel est limite d'une suite de rationnels de la forme qn/2^n » 01-03-2020 02:02:21

JohnSmith
Réponses : 3

Bonjour ,

Je suis bloqué à une question ( qui est un lemme à démontrer dans un sujet d'annale du second concours des ENS) qui revient à la suivante:
pour $\alpha$ fixé dans $\mathbb{R}$ montrer qu'il existe une suite de rationnels de la forme $\frac{q_{n}}{2^n}$ tel que $\alpha$ soit limite de cette suite.

Je me doute bien qu'il faille utiliser la densité des rationnels dans les réels et/ou la partie entière mais je n'arrive pas à aller beaucoup plus loin malheureusement.

Merci d'avance de vos réponses.

Bien Cordialement.

#9 Entraide (supérieur) » Problème dans la preuve du thm de continuité des suites de fonctions. » 11-06-2019 00:27:46

JohnSmith
Réponses : 2

Bonjour !

Afin de mieux assimiler et revoir la notion de convergence uniforme que je trouve assez délicate , j'essaye d'assimiler les démonstrations des théorèmes clefs du cours des suites et séries de fonctions. Cependant dans la preuve du théorème sur la continuité de la fonction limite, je ne comprends pas bien à quel moment on utilise le fait que la fonction converge uniformément ...

Voilà donc une (fausse) preuve du théorème et j'aimerais bien savoir où se situe l'erreur...

Merci d'avance à toutes et tous de votre aide et de votre indulgence face aux âneries que j'ai possiblement écrites !


  Soit [tex]  f_{n} [/tex] une suite de fonctions de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] définie sur un intevalle I.
On suppose de plus qu'elle converge simplement sur I vers une fonction [tex]f[/tex].
On suppose également que les fonctions [tex]f_{n}[/tex] sont toutes continues sur I.

  On veut montrer que [tex]f[/tex] est continue , soit [tex] x_{0}[/tex] dans I et soit [tex]\epsilon > 0 [/tex]. On sait que [tex]f_{n}[/tex] converge simplement vers [tex]f[/tex] donc [tex]|f(x) - f_{n}(x)|< \frac{\epsilon}{3}[/tex]  à partir d'un certain rang N' et [tex]|f_{n}(x_{0}) - f(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}[/tex]  à partir d'un autre rang N''.
Posons N=max(N',N'').
On a [tex]|f(x) - f(x_{0})|=|f(x) - f_{N}(x) + f_{N}(x) - f_{N}(x_{0}) + f_{N}(x_{0}) - f(x_{0}) |[/tex]
(avec N qui dépend de [tex]x[/tex] et de [tex]x_{0}[/tex] peut-être est-ce ici que la "preuve" est branlante) donc par inégalité triangulaire on a : [tex]|f(x) - f(x_{0})|< |f(x) - f_{N}(x)| + |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})| +  |f_{N}(x_{0}) - f(x_{0}) |[/tex]
donc par construction de N : [tex]|f(x) - f(x_{0})|< \frac{2\epsilon}{3}+ |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})| [/tex]
Or on a supposé que les fonctions [tex]f_{n}[/tex] sont continues donc pour [tex]|x-x_{0}|<\delta [/tex] on a bien [tex] |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3} [/tex].
On aurait donc bien [tex]|f(x) - f(x_{0})|<\epsilon [/tex]  pour  [tex] |x-x_{0}|<\delta [/tex] ce qui est absurde car la convergence simple ne garantie pas du tout la continuité de la fonction limite même pour une suite de fonctions toutes continues...

Merci d'avoir lu jusque là , j'espère que quelqu'un trouvera une erreur de raisonnement !

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