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#1 Re : Entraide (supérieur) » Compacité/complétude » 13-05-2020 00:59:04

Bonsoir,

D'après mes cours, [tex](E,||\cdot||_E)[/tex] est dit complet si toutes les suites Cauchy de [tex]E[/tex] converge dans [tex]E[/tex]. Autrement dit, tu prends une suite de Cauchy [tex]u_n[/tex] qui vit dans [tex]E[/tex] et avec les particularités de [tex]u_n[/tex] et de la norme [tex]||\cdot||_E[/tex], tu essayes de prouver que la limite de [tex]u_n[/tex] (que l'on notera [tex]\ell[/tex]) est dans [tex]E[/tex]. Et comme [tex]E[/tex] est muni d'une norme, il te faudra montrer que [tex]||u_n-\ell||_E\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0[/tex].

Pour la compacité, tu peux montrer que c'est complet, fermé et bornée.

NB : Je ne suis pas un pro (j'ai découvert la topologie cette année)^^ donc n'hésite surtout pas à remettre en doute si ce que je dit te parais bizarre.

#2 Re : Entraide (supérieur) » Initiation différentiabilité » 07-04-2020 15:57:33

bonjour, merci beaucoup tu m'apprends un truc sur les fonctions affines en dimension > 1.

Pour la réciproque, dans le cours nous as juste introduit la notion de différentielle, différentielle d'un produit de fonctions et différentielle d'une composée.

#3 Re : Entraide (supérieur) » Initiation différentiabilité » 06-04-2020 21:01:56

salut, donc je ne doit pas écrire l'égalité mais identifier les termes si j'ai bien compris ?

Ca donne : [tex]\ell(a+h)=\alpha(a+h)+\beta=\alpha a+\alpha h+\beta[/tex]
On pose : [tex]\ell(a)=\alpha a+\beta[/tex], [tex]d\ell_a(h)=\alpha h[/tex] et [tex]o(||h||)=0[/tex] ?

Si c'est ça, alors [tex]\ell[/tex] est différentiable si :
- [tex]\forall h\in V,\,d\ell_a(h)[/tex] est linéaire et continue
- [tex]o(||h||)\underset{||h||\to 0}{\longrightarrow}0[/tex] (Trivial si [tex]o(||h||)=0[/tex])

#4 Entraide (supérieur) » Initiation différentiabilité » 06-04-2020 16:18:06

Guitout
Réponses : 4

Bonjour, je suis entrain de faire un exercice sur la différentiabilité :

Soient [tex]V,W[/tex] 2 espaces vectoriels normés et une application [tex]\ell : V \longrightarrow W[/tex]. Montrer l'équivalence entre :
a) [tex]\ell[/tex] est affine et continue.
b) [tex]\ell[/tex] est différentiable de différentielle constante.

Voici ce que j'ai fait :

[tex]a\implies b[/tex] : On considère [tex]\ell : v \longmapsto \alpha v+\beta[/tex]
[tex]\ell[/tex] est différentiable si [tex]\forall a,h\in V,\; \ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex] \ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha(a+h)+\beta=\alpha a+\beta+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha a+\alpha h=\alpha a+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha h=d\ell_a+o(||h||)[/tex]

Et là je suis bloqué, je ne sais pas quoi faire, dois-je juste ignorer [tex]o(||h||)[/tex] et dire que [tex]d\ell_a=\alpha h[/tex] ?

[tex]b\implies a[/tex] : On a [tex]\ell[/tex] différentiable de différentielle constante [tex]k[/tex].
On a ainsi :
[tex]\ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\alpha h=k+o(||h||)[/tex]
Et là je suis perdu.

Merci d'avance pour votre aide.
NB : Dans ce chapitre, je ne sais pas encore que la différentielle égale à la somme des dérivées (etc ...)

#5 Re : Entraide (supérieur) » Exercice de probabilité » 18-03-2020 12:42:05

Bonjour, la question est : "Calculez la probabilité pour qu'un prospect achète au moins l'un des deux produits."
Comment s'écrit un l'événement "Un prospect achète au moins l'un des deux produits." ?

#6 Re : Entraide (collège-lycée) » analyse combinatoire » 27-02-2020 12:59:30

Bonjour, tu peux deja faire un dessin pour voir à quoi ressemble la disposition des symboles en braille.

Ensuite, essaie de partir d'un cas simple, on va dire 2 points.

Combien de symbole différents peut tu faire avec 2 points ? N'hésite pas à les énumérer (dessine-les)

#7 Re : Entraide (supérieur) » Calcul des limites » 27-02-2020 12:53:00

Bonjour, il manque une information cruciale, vers quoi tend [tex]t[/tex] ?

#8 Re : Entraide (supérieur) » fonction plusieurs variables » 22-11-2019 22:55:50

Salut, pour savoir si [tex]f\in\mathcal{C}^1[/tex], si mes souvenirs sont bons, il faut vérifier que :
-[tex]f[/tex] est bien définie sur son domaine de définition [tex]D_f[/tex]
-[tex]f[/tex] est continue sur son domaine de définition [tex]D_f[/tex]
-[tex]\partial_xf(x,y)[/tex] existe et est continue sur [tex]D_f[/tex]
-[tex]\partial_yf(x,y)[/tex] existe et est continue sur [tex]D_f[/tex]

Pour les 2 derniers points, calcule [tex]\partial_xf(x,y)[/tex] et [tex]\partial_yf(x,y)[/tex], si tu y arrives, c'est quelle existent.
Puis tu vérifies leurs continuités.

#9 Re : Entraide (supérieur) » Exercice distance topologie » 10-11-2019 16:43:14

Je crois que j'ai compris :

Comme [tex]\forall r>0,\forall a \in X, r+\cfrac{1}{a}>0[/tex] et que [tex]\cfrac{1}{x}>0[/tex] (car [tex]x\in X=\mathbb{R}^+[/tex]), il faut vérifier le signe de [tex]\cfrac{1}{a}-r[/tex]. Ca nous donne [tex]\cfrac{1}{a}-r>0 \Longleftrightarrow ar<1[/tex]

Ce qui donne 3 cas à traiter :

SI [tex]\cfrac{1}{a}-r>0 \Longleftrightarrow ar<1[/tex], on a : [tex]r+\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{x}>\cfrac{1}{a}-r \Longleftrightarrow x\in \left]\cfrac{1}{r+\cfrac{1}{a}},\cfrac{1}{\cfrac{1}{a}-r}\right[[/tex].

SI [tex]\cfrac{1}{a}-r=0 \Longleftrightarrow ar=1[/tex],on a : [tex]2r>\cfrac{1}{x}>0 \Longleftrightarrow x\in \left]\cfrac{1}{2r},\infty\right[[/tex].

SI [tex]\cfrac{1}{a}-r<0 \Longleftrightarrow ar>1[/tex], on a : [tex]r+\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{x}>0>\cfrac{1}{a}-r \Longleftrightarrow x\in \left]\cfrac{1}{r+\cfrac{1}{a}},\infty\right[[/tex].

#10 Entraide (supérieur) » Exercice distance topologie » 10-11-2019 12:35:24

Guitout
Réponses : 2

Bonjour, je n'arrive pas à voir mon erreur dans la résolution de cet exo :

Soit [tex]X=]0,\infty][/tex]. Pour [tex]x,y\in X[/tex], on note [tex]\delta(x,y)=\left\lvert \cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right\rvert[/tex].

a) Démontré que [tex]\delta[/tex] est une distance sur [tex]X[/tex].

FAIT

b) Montrer que les boules ouvertes [tex]B(a,r)[/tex] pour cette distance sont des intervalles de [tex]\mathbb{R}[/tex] dont on précisera les bornes en fonction de [tex]a[/tex] et de [tex]r[/tex].

Soit [tex]a\in X[/tex] et [tex]r>0[/tex], alors [tex]B(a,r)=\{x\in X \mid \delta(a,x)<r\}[/tex]

Cela revient à chercher [tex]x[/tex] tel que :
[tex]\left\lvert \cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{x}\right\rvert <r[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow -r<\cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{x}<r[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow -r-\cfrac{1}{a}<-\cfrac{1}{x}<r-\cfrac{1}{a}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow r+\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{x}>-r+\cfrac{1}{a}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \cfrac{1}{r+\frac{1}{a}}<x<\cfrac{1}{-r+\frac{1}{a}}[/tex]

Je pense que l'erreur apparaît quand j'applique la fonction inverse à l'avant dernière ligne, mais je vois pas en quoi.
Je sens que c'est une erreur tout bête mais je vois pas x)

#11 Entraide (supérieur) » Groupes isomorphes » 16-10-2019 09:57:04

Guitout
Réponses : 2

Bonjour, je bloque sur cette exercice :

Montrer que les groupes ([tex]\mathbb{Q}[/tex], +) et ([tex]\mathbb{Q}_+^*[/tex], ×) ne sont pas isomorphes.
Indication : penser à [tex]\sqrt(2)[/tex]

Je sais que 2 groupes sont isomorphes entre eux si on trouve un isomorphisme (morphisme de groupe bijectif) qui va de l'un dans l'autre.
Mais pour là je ne sais pas, j'ai pensé à une preuve par l'absurde mais je ne sais pas par où commencer.

#12 Re : Entraide (supérieur) » Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice » 06-10-2019 22:00:11

Bonsoir, parfait, j'ai fait tout fait d'un coup, merci d'avoir éclairé ma lanterne x) je me sens bête de ne pas y avoir pensé avant
merci beaucoup

#13 Entraide (supérieur) » Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice » 06-10-2019 17:59:50

Guitout
Réponses : 4

Bonjour, cela fait 3 jours que je bloque sur cette inégalité, je ne sais pas par où commencer :/

Soit [tex]\mathcal{A}[/tex] une matrice inversible et [tex]\|\cdot\|[/tex] une norme matricielle. Supposons [tex](\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})[/tex] inversible, démontrez que :


[tex]\cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} \leq cond(\mathcal{A})\cfrac{\|\delta\mathcal{A}\|}{\|\mathcal{A}\|}=\|\mathcal{A}^{-1}\|\|\delta\mathcal{A}\|[/tex].

Ce que j'ai fait :

[tex]
\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\| \leq \|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|+\|\mathcal{A}^{-1}\|
[/tex]
[tex]
\iff
\cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} \leq \cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|+\|\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} = 1+\cfrac{\|\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|}
[/tex] ...

#14 Re : Entraide (collège-lycée) » Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie » 09-08-2019 00:28:12

Bonsoir,

Ce ne sont pas vraiment les mêmes choses :

-Le théorème des valeurs intermédiaires :
Celui-ci permet d'affirmer, par exemple, que si une fonction f continue croissante change de signe sur son domaine, alors cette fonction passe par 0 sur son domaine, autrement dit, pour passer des nombres négatifs au positifs, tu dois passer par 0

Cela marche si f passe de 3 à 8 sur domaine, alors f passe par 4, 6 ou 7.5 par exemple.

-Bijection :
On dit qu'une fonction f est bijective si elle est injective et surjective, autrement dit, chaque image de f possède 1 unique antécédent (et inversement, chaque antécédent possède 1 unique image). Mais la bijection d'une fonction peut varier selon le domaine de départ et d'arriver que l'on donne à f.

Par exemple, si on prend [tex]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x²[/tex],  alors f n'est pas bijective car l'antécédent de 1 possède 2 solutions, en l'occurrence x=1 et x=-1; mais également que -1 ne possèdent pas d'antécédent. Par contre pour [tex]f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x)=x²[/tex] est bien bijective.

-Dichotomie :
La dichotomie permet de rechercher un nombre en "découpant un intervalle [a,b]" autour de celui-ci, on l'utilise très souvent pour donner une estimation du zéro d'une fonction.
C'est un peu compliqué à expliquer sans dessins mais je vais essayer, si tu ne comprends pas tout, je te conseille de regarder des vidéos sur youtube.

Imaginons que tu cherches un [tex]x_0[/tex] tel que P([tex]x_0[/tex])=0, avec P(x)=x²-x-1. En faisant des calculs vite fait à la main, tu te rends compte que [tex]x_0\in[0,2][/tex].

Et c'est là que commence la dichotomie :
-Tu prends la valeur médiane de l'intervalle que l'on notera m=(a+b)/2.
-Tu calcules P(m).
-Si P(m)<0, alors tu te restreints à l'intervalle ]m,b].
Si P(m)>0, alors tu te restreints à l'intervalle [a,m[.
-Tu recommence avec le nouvel intervalle autant de fois que tu le souhaite.

Avec P(x) on obtient les intervalles suivants : [0,2] -> ]1,2] -> ]1.5,2] -> ]1.5,1.75[ -> ]1.5,1.625[ -> ]1.5625,1.625[ -> ]1.59375,1.625[ -> ]1.609375,1.625[ -> ]1.6171875,1.625[ -> ]1.6171875,1.62109375[ -> ]1.6171875,1.61914063[ -> ]1.6171875,1.61816407[ -> .....
On constate que l'intervalle se rapproche de plus en plus d'une valeur fixe, ici vers [tex]\varphi = \cfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618....[/tex]

#15 Re : Entraide (supérieur) » Fourier » 05-08-2019 23:56:44

Bonsoir, tu as aussi une vidéo de ElJj sur youtube qui explique comment faire un éléphant avec 5 cercles.

#16 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 05-08-2019 10:23:00

Bonjour, j'ai également trouvé [tex]\frac{-5\pi}{24}[/tex]

Et pour l'encadrement de [tex]\arccos(r/2)[/tex], je vais essayer de développer un peu plus :
On a donc : [tex]0<r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2}[/tex]
Maintenant j'applique la fonction [tex]\arccos()[/tex] à l'inégalité précédente : [tex]\arccos(0)>\arccos(\frac{r}{2})\geq\arccos({\frac{1}{2}})[/tex] (j'inverse les inégalités car [tex]\arccos()[/tex] est décroissante sur [tex][0,1][/tex])

Il nous reste donc : [tex]\frac{\pi}{2}>\arccos(\frac{r}{2})\geq\frac{\pi}{3}[/tex]

#17 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 02-08-2019 09:54:43

Bonjour,

J'ai trouvé la même chose pour [tex]r[/tex] et effectivement on ne touche pas à [tex]\theta[/tex]

Pour encadrer [tex]\varphi[/tex], je te proposes ceci :

[tex]r^2-2r\cos(\varphi) \leq 0[/tex]
[tex]\iff r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0[/tex]

Tu sais que [tex]r \in ]0,1][/tex], donc [tex]r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0 \implies r-2\cos(\varphi)\leq0[/tex]
[tex]\iff r\leq2\cos(\varphi) \iff \varphi \geq \arccos(\frac{r}{2}) [/tex]

Tu te retrouves donc avec les relations suivantes : [tex]\begin{cases} 0<\varphi<\pi \\ \arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi \end{cases}[/tex]
Comme [tex]0< r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{2} > \arccos(\frac{r}{2}) \geq \frac{\pi}{3}[/tex], tu obtients l'encadrement suivant :

[tex]\boxed{\arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi<\pi}[/tex]

#18 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 01-08-2019 16:16:33

Bonjour,

si tu fais un changement de coordonnées, tu dois modifier ton ensemble D en remplacent :
[tex]\begin{cases} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y=r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z=r\cos(\varphi) \end{cases} [/tex], avec [tex]\begin{cases} r \in ]0,+\infty[ \\ \theta \in ]0,2\pi[ \\ \varphi \in ]0,\pi[ \end{cases}[/tex].

Tu as donc [tex]D:=\big\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} \; | \; x^2+y^2+z^2 \leq 1 \; , \; x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1 \big\} [/tex] qui devient

[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \in  ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\times]0,\pi[ \; | \; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\varphi) \leq 1 \; , \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+(r\cos(\varphi)-1)^2 \leq 1 \big\}[/tex]
[tex]\dots \dots \dots[/tex]
[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \; | \; a \leq r \leq b \; , \; c \leq \theta \leq d \; , \; e \leq \varphi \leq f \big\}[/tex]

(Je te laisse déterminer [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e[/tex] et [tex]f[/tex])

#19 Café mathématique » Questionnement sur les matrices » 13-07-2019 16:22:37

Guitout
Réponses : 2

Bonjour,

Depuis peu je me pose une question que je trouve étrange, peut-on concevoir des matrices en 3D. En cours, on utilise que des matrices avec des lignes et colonnes, en on la dessine en 2D.

La matrice [tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 &5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end {pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,3} [/tex] est ici représenté sur une surface.

Ma question est de savoir si on peut mettre la matrice [tex]\begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 \end {pmatrix} [/tex] "derrière" pour former une sorte de pavé matriciel ?

Pour ainsi obtenir une "matrice" qui appartiendrais à un nouvel ensemble [tex]\mathcal{M}_{3,3,2}[/tex].

J'espere avoir etait assez clair.

#20 Re : Entraide (supérieur) » Multiplication d’un rationnel par un entier » 10-07-2019 11:56:24

Bonjour,

Je propose mon idée mais je ne sais pas si c'est ce que tu cherches :
[tex]c\frac{a}{b}=\frac{c}{1}\times\frac{a}{b}=\frac{c\times a}{1\times b}=\frac{ca}{b}[/tex]

C'est comme ça que j'ai appris cette propriété.

#21 Re : Entraide (supérieur) » matrice inversible » 06-07-2019 00:14:51

Bonsoir, tu peux déjà utiliser la définition d'une matrice inversible

#22 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 05-07-2019 15:54:56

Derien, pour écrire en langage maths, il faut connaitre le langage LaTeX, c'est pas très compliqué, tu as même une petite aide sur le lien "Code Latex"

#23 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 05-07-2019 13:53:28

Ah ok,
Une fois que tu as écrit l'événement [tex]A[/tex] avec des intersections et des unions, tu appliques [tex]\mathbb{P}[/tex].
Tu as
[tex]\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}\big((L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3})\; \dot{\cup} \; (\overline{L_1} \cap L_2 \cap \overline{L_3}) \; \dot{\cup} \dots \big)[/tex]
[tex]=\mathbb{P}(L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3})  +  \mathbb{P}(\overline{L_1} \cap L_2 \cap \overline{L_3}) + \dots[/tex]

Et là tu as 2 cas possibles, les événements sont indépendants ou pas.

#24 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 04-07-2019 20:41:14

3 inclusions ? tu peux me donner un exemple car je vois pas du tout ^^

#25 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 04-07-2019 12:47:19

Salut,

Tu peux déjà commencer par créer des événements :
[tex]L_1[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 1", avec [tex]\mathbb{P}(L_1)=0,6[/tex]
[tex]L_2[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 2" avec [tex]\mathbb{P}(L_2)=0,7[/tex]
[tex]L_3[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 3", avec [tex]\mathbb{P}(L_3)=0,8[/tex]

Q1)

L'événement [tex]A[/tex]: "la formule ne se trouve que dans un livre" peut s'écrire :
[tex]A= (L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3}) \dot{\cup} \dots [/tex]

Je te laisse chercher ^^

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