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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie » 08-08-2019 23:28:12

Bonsoir,

Ce ne sont pas vraiment les mêmes choses :

-Le théorème des valeurs intermédiaires :
Celui-ci permet d'affirmer, par exemple, que si une fonction f continue croissante change de signe sur son domaine, alors cette fonction passe par 0 sur son domaine, autrement dit, pour passer des nombres négatifs au positifs, tu dois passer par 0

Cela marche si f passe de 3 à 8 sur domaine, alors f passe par 4, 6 ou 7.5 par exemple.

-Bijection :
On dit qu'une fonction f est bijective si elle est injective et surjective, autrement dit, chaque image de f possède 1 unique antécédent (et inversement, chaque antécédent possède 1 unique image). Mais la bijection d'une fonction peut varier selon le domaine de départ et d'arriver que l'on donne à f.

Par exemple, si on prend [tex]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x²[/tex],  alors f n'est pas bijective car l'antécédent de 1 possède 2 solutions, en l'occurrence x=1 et x=-1; mais également que -1 ne possèdent pas d'antécédent. Par contre pour [tex]f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x)=x²[/tex] est bien bijective.

-Dichotomie :
La dichotomie permet de rechercher un nombre en "découpant un intervalle [a,b]" autour de celui-ci, on l'utilise très souvent pour donner une estimation du zéro d'une fonction.
C'est un peu compliqué à expliquer sans dessins mais je vais essayer, si tu ne comprends pas tout, je te conseille de regarder des vidéos sur youtube.

Imaginons que tu cherches un [tex]x_0[/tex] tel que P([tex]x_0[/tex])=0, avec P(x)=x²-x-1. En faisant des calculs vite fait à la main, tu te rends compte que [tex]x_0\in[0,2][/tex].

Et c'est là que commence la dichotomie :
-Tu prends la valeur médiane de l'intervalle que l'on notera m=(a+b)/2.
-Tu calcules P(m).
-Si P(m)<0, alors tu te restreints à l'intervalle ]m,b].
Si P(m)>0, alors tu te restreints à l'intervalle [a,m[.
-Tu recommence avec le nouvel intervalle autant de fois que tu le souhaite.

Avec P(x) on obtient les intervalles suivants : [0,2] -> ]1,2] -> ]1.5,2] -> ]1.5,1.75[ -> ]1.5,1.625[ -> ]1.5625,1.625[ -> ]1.59375,1.625[ -> ]1.609375,1.625[ -> ]1.6171875,1.625[ -> ]1.6171875,1.62109375[ -> ]1.6171875,1.61914063[ -> ]1.6171875,1.61816407[ -> .....
On constate que l'intervalle se rapproche de plus en plus d'une valeur fixe, ici vers [tex]\varphi = \cfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618....[/tex]

#2 Re : Entraide (supérieur) » Fourier » 05-08-2019 22:56:44

Bonsoir, tu as aussi une vidéo de ElJj sur youtube qui explique comment faire un éléphant avec 5 cercles.

#3 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 05-08-2019 09:23:00

Bonjour, j'ai également trouvé [tex]\frac{-5\pi}{24}[/tex]

Et pour l'encadrement de [tex]\arccos(r/2)[/tex], je vais essayer de développer un peu plus :
On a donc : [tex]0<r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2}[/tex]
Maintenant j'applique la fonction [tex]\arccos()[/tex] à l'inégalité précédente : [tex]\arccos(0)>\arccos(\frac{r}{2})\geq\arccos({\frac{1}{2}})[/tex] (j'inverse les inégalités car [tex]\arccos()[/tex] est décroissante sur [tex][0,1][/tex])

Il nous reste donc : [tex]\frac{\pi}{2}>\arccos(\frac{r}{2})\geq\frac{\pi}{3}[/tex]

#4 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 02-08-2019 08:54:43

Bonjour,

J'ai trouvé la même chose pour [tex]r[/tex] et effectivement on ne touche pas à [tex]\theta[/tex]

Pour encadrer [tex]\varphi[/tex], je te proposes ceci :

[tex]r^2-2r\cos(\varphi) \leq 0[/tex]
[tex]\iff r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0[/tex]

Tu sais que [tex]r \in ]0,1][/tex], donc [tex]r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0 \implies r-2\cos(\varphi)\leq0[/tex]
[tex]\iff r\leq2\cos(\varphi) \iff \varphi \geq \arccos(\frac{r}{2}) [/tex]

Tu te retrouves donc avec les relations suivantes : [tex]\begin{cases} 0<\varphi<\pi \\ \arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi \end{cases}[/tex]
Comme [tex]0< r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{2} > \arccos(\frac{r}{2}) \geq \frac{\pi}{3}[/tex], tu obtients l'encadrement suivant :

[tex]\boxed{\arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi<\pi}[/tex]

#5 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné » 01-08-2019 15:16:33

Bonjour,

si tu fais un changement de coordonnées, tu dois modifier ton ensemble D en remplacent :
[tex]\begin{cases} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y=r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z=r\cos(\varphi) \end{cases} [/tex], avec [tex]\begin{cases} r \in ]0,+\infty[ \\ \theta \in ]0,2\pi[ \\ \varphi \in ]0,\pi[ \end{cases}[/tex].

Tu as donc [tex]D:=\big\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} \; | \; x^2+y^2+z^2 \leq 1 \; , \; x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1 \big\} [/tex] qui devient

[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \in  ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\times]0,\pi[ \; | \; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\varphi) \leq 1 \; , \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+(r\cos(\varphi)-1)^2 \leq 1 \big\}[/tex]
[tex]\dots \dots \dots[/tex]
[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \; | \; a \leq r \leq b \; , \; c \leq \theta \leq d \; , \; e \leq \varphi \leq f \big\}[/tex]

(Je te laisse déterminer [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e[/tex] et [tex]f[/tex])

#6 Café mathématique » Questionnement sur les matrices » 13-07-2019 15:22:37

Guitout
Réponses : 2

Bonjour,

Depuis peu je me pose une question que je trouve étrange, peut-on concevoir des matrices en 3D. En cours, on utilise que des matrices avec des lignes et colonnes, en on la dessine en 2D.

La matrice [tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 &5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end {pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,3} [/tex] est ici représenté sur une surface.

Ma question est de savoir si on peut mettre la matrice [tex]\begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 \end {pmatrix} [/tex] "derrière" pour former une sorte de pavé matriciel ?

Pour ainsi obtenir une "matrice" qui appartiendrais à un nouvel ensemble [tex]\mathcal{M}_{3,3,2}[/tex].

J'espere avoir etait assez clair.

#7 Re : Entraide (supérieur) » Multiplication d’un rationnel par un entier » 10-07-2019 10:56:24

Bonjour,

Je propose mon idée mais je ne sais pas si c'est ce que tu cherches :
[tex]c\frac{a}{b}=\frac{c}{1}\times\frac{a}{b}=\frac{c\times a}{1\times b}=\frac{ca}{b}[/tex]

C'est comme ça que j'ai appris cette propriété.

#8 Re : Entraide (supérieur) » matrice inversible » 05-07-2019 23:14:51

Bonsoir, tu peux déjà utiliser la définition d'une matrice inversible

#9 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 05-07-2019 14:54:56

Derien, pour écrire en langage maths, il faut connaitre le langage LaTeX, c'est pas très compliqué, tu as même une petite aide sur le lien "Code Latex"

#10 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 05-07-2019 12:53:28

Ah ok,
Une fois que tu as écrit l'événement [tex]A[/tex] avec des intersections et des unions, tu appliques [tex]\mathbb{P}[/tex].
Tu as
[tex]\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}\big((L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3})\; \dot{\cup} \; (\overline{L_1} \cap L_2 \cap \overline{L_3}) \; \dot{\cup} \dots \big)[/tex]
[tex]=\mathbb{P}(L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3})  +  \mathbb{P}(\overline{L_1} \cap L_2 \cap \overline{L_3}) + \dots[/tex]

Et là tu as 2 cas possibles, les événements sont indépendants ou pas.

#11 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 04-07-2019 19:41:14

3 inclusions ? tu peux me donner un exemple car je vois pas du tout ^^

#12 Re : Entraide (collège-lycée) » Probabilité et ensemble » 04-07-2019 11:47:19

Salut,

Tu peux déjà commencer par créer des événements :
[tex]L_1[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 1", avec [tex]\mathbb{P}(L_1)=0,6[/tex]
[tex]L_2[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 2" avec [tex]\mathbb{P}(L_2)=0,7[/tex]
[tex]L_3[/tex]: "la formule se trouve dans le livre 3", avec [tex]\mathbb{P}(L_3)=0,8[/tex]

Q1)

L'événement [tex]A[/tex]: "la formule ne se trouve que dans un livre" peut s'écrire :
[tex]A= (L_1 \cap \overline{L_2} \cap \overline{L_3}) \dot{\cup} \dots [/tex]

Je te laisse chercher ^^

#13 Re : Entraide (supérieur) » La periode de f » 26-06-2019 19:01:29

Bonjour,

Tu peux tracer le graphe sur géogébra pour te faire une idée quand c'est possible, sinon tu appliques la définition de la périodicité.

Tu cherches [tex]T \in \mathbb{R}\text{ tel que }f(T+x)=f(x) \iff \cos(2\pi(x+T))=\cos(2\pi x)[/tex].

Je te laisses finir ;)

#14 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Est-ce que quelqu'un est intéressé par ça ? » 14-06-2019 06:51:40

J'ai trouvé :

X~1.826
Y~1.850
Est ce que c'est ça ?
Si oui, je mettrais ma résolution à part x)

Car j'ai l'impression qu'il s'agit d'un exercice

#15 Re : Café mathématique » Moyens Mnémotechnique » 12-06-2019 21:41:44

Dérivée de cos et sin

Vous vous placez dans un cercle trigonométrique.
Maintenant, quand vous Dérivez [tex]\sin[/tex], vous allez vers la Droite et vous Descendez, autrement dit, vous allez dans le sens indirect (SIN -> Sens INdirect). Ce qui donne :
[tex](\sin(x))'=\cos(x)[/tex]
[tex](\cos(x))'=-\sin(x)[/tex] (on part de [tex]\cos[/tex] et on suit le sens indirect)
[tex](-\sin(x))'=-\cos(x)[/tex]
[tex](-\cos(x))=\sin(x)[/tex]

#16 Re : Entraide (supérieur) » Matrice » 09-06-2019 22:12:45

Salut, il existe plusieurs technique pour calculer une matrice inverse, si tu utilise le pivot de Gauss, il préférable de bien spécifier les étapes pour permettre au lecteur de suivre ton raisonnement et desceller de potentielle erreur de calculs.

En ce qui me concerne, je n'utilise pas le pivot de Gauss sur les lignes, je préfère les colonnes. Je te présente vite fait l'idée :

Je veux calculer [tex]A^{-1}[/tex], avec [tex]A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/tex]
On sait que :
[tex]A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/tex]
Et là je veux transformer la matrice à droite afin d'obtenir l'identité en additionnant (ou soustrayant) les colonnes entre elles.

[tex]A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/tex][tex]c_3 \leftarrow c_3-c_1[/tex]
[tex]A\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}[/tex][tex]c_3 \leftarrow c_3-c_2[/tex]
[tex]A\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}[/tex][tex]c_3 \leftarrow -c_3[/tex]
[tex]A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/tex][tex]c_1 \leftarrow c_1-c_3[/tex] et [tex]c_2 \leftarrow c_2-c_3[/tex]
[tex]A\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1&0&1 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}[/tex]

Donc  [tex]A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1&0&1 \\ 1&1&-1 \end{pmatrix}[/tex]

NB : j'utilise une façon de faire très similaire pour calculer le Ker et Im d'une matrice.

#17 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale qui me semble impossible à calculer » 09-06-2019 13:57:12

Bonjour, alors j'ai essayer un truc, je sais pas si c'est acceptable, je ne sais pas si ça marche mais j'essaie quand même.

[tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\cfrac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx[/tex].

On sais que [tex]\cos(\theta)=\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})[/tex]

Donc [tex]\cos(\cfrac{\pi}{2x})=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\frac{\pi}{2x}}+e^{-i\frac{\pi}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(\cfrac{(e^{i\pi})^{\frac{1}{2x}}+(e^{-i\pi})^{\frac{1}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(i^\frac{1}{x})[/tex].

Ce qui donne [tex]\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx= \pi\mathfrak{Re}\Big(\int_y^1 \cfrac{e^{\frac{1}{x}\ln(i)}}{\sqrt{x}^3} \; dx\Big)[/tex]

Voila Voila ...
Après je sèche, je pense ne pas avoir les connaissances suffisantes pour continuer.

#18 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale qui me semble impossible à calculer » 08-06-2019 20:36:56

Si [tex]u'=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex], alors [tex]u=2\sqrt{x}[/tex].

Donc [tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\frac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\frac{\pi}{2x}) \; dx[/tex]

#19 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Résolution de cette suite de logique sous cette forme a1 a2 a3...X..an » 08-06-2019 10:02:53

Soit la suite Vn définit par tous ses termes de 0 a n et fn(x)=x une fonction

Donc tu nous as définies pour [tex]n \in \mathbb{N}, V_n=a_n[/tex] et [tex]f_n(x)=x (\iff f(x)=x)[/tex], avec [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] je suppose. On est bien daccord ?
(Au passage [tex]f_n[/tex] n'est pas une fonction mais une suite de fonction)

V0=a0 =f0(a0) donc f0(y)=y

Donc tu prends [tex]n=0[/tex]. Testons : [tex]V_0=a_0=f_0(a_0)[/tex] OK

V1=a1=f1(a0) donc f1(f0(y))=y

Donc tu prends [tex]n=1[/tex]. Testons : [tex]V_1=a_1=f_1(a_1)[/tex] PAS OK, cependant [tex]f_1(f_0(y))=f_1(y)=y[/tex]

Vn=fn(a0)

Non, [tex]V_n=f_n(a_n)=a_n[/tex]

fn(f0(y))=y

Oui, [tex]f_n(f_0(y))=f_n(y)=y[/tex], mais [tex]f_{63}(f_0(y))=f_{63}(y)=y=f_0(f_{18387}(y))=f_{n+8920}(f_{n-82}(y))=\dots[/tex]

X=fj(f0(y))

Non, [tex]X=f_j(f_0(X))[/tex]

fj(X)=(V0-X)*(V1-X)*…(Vj-X)=0=fj(f0(y))

Là par contre j'ai pas compris, pourrais-tu détailler ?

#20 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale qui me semble impossible à calculer » 08-06-2019 08:48:10

Tu as le choix entre un changement de variable ou une intégration par partie (IPP).
Vu ton intégrale, j'opterais pour une IPP.

#21 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale qui me semble impossible à calculer » 07-06-2019 21:23:57

Bonjour,

Normalement tu ne doit plus avoir de [tex]y[/tex] après avoir appliqué Fubini.

#22 Re : Café mathématique » Moyens Mnémotechnique » 05-06-2019 19:14:11

Pour le 1. on peut aussi dire CAHSOHTOA (casse toi)
Et concernant ce que j'ai proposé, je les ai trouvé par moi même

#23 Re : Café mathématique » Moyens Mnémotechnique » 05-06-2019 18:58:24

Parité de sin et cos

[tex]\cos[/tex] est paire, car si on colle les mots "cos" et "paire", on obtient cospaire(=casper), donc [tex]\cos(-x)=\cos(x)[/tex], le (-) disparaît tel un fantôme
[tex]\sin[/tex] est impaire, car si on colle les mots "sin" et "paire", on obtient sinpaire(=s'impaire), donc [tex]\sin(-x)=-\sin(x)[/tex]

#24 Re : Café mathématique » Moyens Mnémotechnique » 05-06-2019 18:46:50

Développement de tan(a+b)

Pour le développement de [tex]\tan(a+b)[/tex], on sait que [tex]\tan(x)=\cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex], donc [tex]\tan(a+b)=\cfrac{??????}{??????}[/tex].
Maintenant la seule chose à retenir sera la structure de [tex]\tan(a+b)[/tex].
On a donc [tex]\tan(a+b)=\cfrac{\tan(a) \diamond \tan(b)}{1 \diamond \tan(a)\tan(b)}[/tex], avec [tex]\diamond[/tex] qui correspond à l'addition (+) ou à la soustraction (-).

Comme [tex]\tan(x)=\cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex], alors :

  • le [tex]\diamond[/tex] du numérateur va suivre la règle de [tex]\sin[/tex]

  • le [tex]\diamond[/tex] du dénominateur va suivre la règle de [tex]\cos[/tex]

Ce qui donne:
[tex]\tan(a \color{red}{+}b)=\cfrac{\tan(a)\color{red}{+}\tan(b)}{1 \color{red}{-} \tan(a)\tan(b)}[/tex]
[tex]\tan(a \color{red}{-}b)=\cfrac{\tan(a)\color{red}{-}\tan(b)}{1 \color{red}{+} \tan(a)\tan(b)}[/tex]

#25 Re : Café mathématique » Moyens Mnémotechnique » 05-06-2019 18:32:39

Développement de sin(a+b)

Pour le développement de [tex]\sin(a+b)[/tex], on peut retenir que [tex]\sin[/tex] est :

  • sinpa(sympa), car il ne va pas changer le signe

  • ouvert sur le monde, car il va mélanger les [tex]\cos(a)[/tex],[tex]\cos(b)[/tex],[tex]\sin(a)[/tex] et [tex]\sin(b)[/tex] ensembles

Ce qui donne
[tex]\sin(a \color{red}{+}b)=\color{green}{\sin(a)\cos(b)}\color{red}{+}\color{green}{\cos(a)\sin(b)}[/tex]
[tex]\sin(a \color{red}{-}b)=\color{green}{\sin(a)\cos(b)}\color{red}{-}\color{green}{\cos(a)\sin(b)}[/tex]

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