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#1 Re : Café mathématique » Créez vos propres feuilles d'exercices avec Bibm@th » 18-08-2019 08:52:31

Bonjour (4 ans plus tard),

tout d'abord merci pour ces fonctionnalités! De la composition de ses propres fiches d'exos à la souplesse du format TeX, c'est vraiment super!

En revanche, je n'ai pas trouvé le moyen d'inclure les indices et corrigés au fichier tex, et il me semble que cette possibilité n'est pas donnée. Si c'est bien le cas, serait-il compliqué de l'ajouter?

Merci

Chris

#3 Re : Entraide (supérieur) » Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables » 10-06-2019 19:35:18

hey,

je vais jeter un oeil sur tout ça,
merci pour ta réponse.

Edit:

Okay, dois-je comprendre que je devrais écrire \(\times (f+g,h)\) plutôt que \(I_a^b (f+g,h)\) et:

\[
    \begin{array}{rl}
    \times \colon\qquad\left(\mathcal{I}_a^b\right)^2&\longrightarrow{\mathbb{R}}\\
        (f+g,h)&\longmapsto \displaystyle\int_a^b (f+g)h
    \end{array}
\]
?
Ce qui satisferait en tous les cas \(\times(f+g,h)=\times(f,h)+\times(g,h)\)...

(oui, bon, ben à la réflexion, ça me semble évident , mais une confirmation serait bienvenue)

#4 Entraide (supérieur) » Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables » 10-06-2019 11:51:12

Chris
Réponses : 5

Bonjour,

je feuillette en ce moment un cours sur l'intégration, pour lequel mes connaissances sont peut-être les bases juste suffisantes.

Jusqu'au point où ça coince, on a montré que \(\left(\mathcal{I}_a^b, +, \cdot\right)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, avec

\[\mathcal{I}_a^b:= \left\{ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \ \Big| \ f \text{ est Riemann-Intégrable sur [a,b]} \right\}\]

A aussi été montré que pour \(f,g \in \mathcal{I}_a^b\) on a \(fg \in \mathcal{I}_a^b\). Le document stipule que \(\mathcal{I}_a^b\) a dès lors une structure de \(\mathbb{R}\)-algèbre; or il s'agit d'un objet que je n'ai pas encore manipulé. En me référant à la wikipédia (oui, désolé):

Une algèbre sur un corps commutatif \(\mathbb{K}\), ou simplement une \(\mathbb{K}\)-algèbre, est une structure algébrique \((A, +, \cdot, \times)\) telle que :

  1. \((A, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur  \(\mathbb{K}\) ;

  2. la loi \(\times\) est définie de \(A \times A\) dans \(A\) est donc une loi de composition interne ;

  3. la loi \(\times\) est bilinéaire.

Donc 1 et 2 sont ok. Pour 3 - c'est ici que ça ne passe pas - on voudrait:

\[
\forall (x,x')\in E^{2},\quad\forall (y,y')\in F^{2},\quad\forall \lambda \in \mathbb{K},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\varphi (x+x',y)
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\
\varphi (x,y+y')
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\
\varphi (\lambda x,y)
    &=\varphi (x,\lambda y)\\
    &=\lambda \varphi (x,y).
\end{aligned}
\right.
\]

que je traduis par

\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]

or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute. Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de pouce svp?

merci d'avance,

#5 Re : Entraide (supérieur) » Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3) » 17-01-2019 08:53:22

Ok je vois, merci. Du coup j'explicite pour celles et ceux que ça pourrait intéresser (pour alléger l'écriture, j'écris les développements sans expliciter les restes):

la factorisation permet de poser $\displaystyle v=\frac{u}{2}+\frac{u^2}{4}$, et donc $\displaystyle \frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)$.

Puisque $\mathrm{DL}_{0}^{2}\ \displaystyle \frac{1}{1+v}=1-v+v^2$, on obtient 

\begin{align*}
h(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)\\
    &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2+
    \frac{1}{u}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2\right)\right)\\
    &=\frac{1}{2}-\frac{u}{4}+\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\\
    &=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}
\end{align*}

#6 Entraide (supérieur) » Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3) » 16-01-2019 23:12:47

Chris
Réponses : 2

Bonjour/bonsoir,

dans l'exercice donné ici (18, point 3), on cherche à déterminer l'asymptote en les infinis de la fonction

[tex]h(x)=\frac{x+1}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}[/tex]

A la lecture du corrigé, je vois bien que l'on obtient, à l'aide du changement [tex]u=\frac{1}{x}[/tex],

[tex]h(x)=\frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)}[/tex]

mais je ne parviens pas à obtenir

[tex]h(x)=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}+o(u)[/tex].

à partir des "techniques usuelles" (ni autrement d'ailleurs ;)). Desquelles s'agirait-il en particulier?

Merci d'avance,

Christophe

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