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#1 Re : Entraide (supérieur) » Coordonnantes composées » 06-01-2020 12:02:01

En géométrie dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (et plus), je vois tout-à-fait que l'on veuille réserver le mot "coordonnées'' pour les points et "composantes'' pour les vecteurs (ce que j'avais en effet appris au lycée).

En algèbre linéaire, le mot vecteur désigne tout élément d'un espace vectoriel. Ok. Le post référencé ne fait complétement sens pour moi que si (dans ce contexte) le mot composantes est défini par "coordonnées dans la base canonique'' (et pas juste équivalent à) (il faut bien que les valeurs dans $(\cdot, \cdot,\ldots,\cdot)$ fassent référence à quelque chose).

Il me semble ça s'éclaircit un peu. Merci pour vos réponses.

#2 Re : Entraide (supérieur) » Coordonnantes composées » 06-01-2020 07:51:56

Salut Mateo,

merci pour ta réponse. Ah oui, cela me rappelle des choses ;). Donc, au sens géométrique ta réponse me va bien. En revanche, pour faire écho à ce post (on se place dans le cadre de l'algèbre linéaire), si l'on prend $v$ dans $E=\mathbb{K}^4$ espace vectoriel, la distinction entre ces deux écritures se perd car le "point" $(1, 0, -1, 0)$ est vecteur du $\mathbb{K}$-espace $E$, c'est ça?

#3 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 05-01-2020 23:18:47

Bonne année!
Pour ne pas laisser ceci sans réponse, et si ça s'avérait utile à quelqu'un:

comme brièvement évoqué plus haut, pense que j'avais perdu de vue la distinction entre les notions de localement intégrable et d'intégrable... et même pire, elle était devenue synonyme de primitivable (par exemple, pas comme la fameuse fonction de Dirichlet). J'avais bêtement gardé en tête un bestiaire de fonctions dites non-intégrables (lors de comparaison surtout) et ne voyais plus pourquoi je ne pouvais pas avoir une fonction "intégrable'', dont la différence de la primitive aux bornes aurait été non-finie. Du coup, pour faire sens de ceci, je tentais de me ramener à la définition de la l'intégrabilité au sens de Riemann via la convergence des sommes de Darboux, où effectivement parler de ``la convergence des deux sommes vers l'infini'' aurait été absurde (mais quelque chose comme ça se lit en fait assez souvent, en particulier dans le monde anglosaxon, avec "converges to infinity''). J'ai repris la lecture de mes cours, je crois que ça va mieux ;).

#4 Entraide (supérieur) » Coordonnantes composées » 05-01-2020 22:26:12

Chris
Réponses : 5

Bonjour,

ceci est probablement une question assez naïve (et peut-être aurait-elle plus sa place dans l'entraide collège (?)) mais je me heurte à ceci régulièrement:

mettons par exemple  que $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3, e_4)$ soit une base d'un espace $E.$

Écrire $v=e_1-e_3$ c'est (d)écrire un vecteur $v$ de $E.$ Écrire $[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\0
\end{pmatrix}$ c'est écrire le vecteur-coordonnées de $v$ dans la base $\mathcal{B}.$ Mais alors qu'est $(1,0,-1,0)$?  Je me rappelle avoir appris qu'il s'agit des composantes de $v$ dans $\mathcal{B}$ (?). Mais si c'est le cas, quelle est la différence avec la seconde écriture, mis à part, pour ainsi dire, la convention graphique?

J'aurais envie d'écrire $[v]_{\mathcal{B}}=(1,0,-1,0)$, mais ne serait-ce pas dire que composantes et coordonnées sont synonymes?

Merci,

#5 Re : Entraide (supérieur) » Décomposition de Gauss / # de carrés » 23-12-2019 00:54:40

Bonsoir,

merci pour votre réponse.

1) oui d'accord; la forme en question est en fait dégénérée finalement (erreur de calcul, la matrice est de rang 2). Du coup, je me suis évertué à essayer d'obtenir trois carrés, en retombant toujours, forcément (en particulier à la lumière de votre remarque), sur deux. D'où la question originale.

2) entendu;  oui effectivement usage parfaitement erroné du mot. Je voulais dire, vous l'avez compris, produit dont les facteurs sont différents (j'étais probablement en train de penser à la forme polaire, bilinéaire, et du coup...)

Belle fêtes,

#6 Entraide (supérieur) » Décomposition de Gauss / # de carrés » 21-12-2019 23:29:47

Chris
Réponses : 2

Bonjour,

je peine à "orthogonaliser" une forme quadratique, a priori non-dégénérée, sur un espace vectoriel $E$ (de dimension 3 dans mon exercice). En l’occurrence, je tombe toujours sur 2 carrés, ou davantage avec des termes linéaires restants (l'algorithme de décomposition de Gauss).

Deux questions me viennent:

1) Soit $n=\dim E$. Est-on assuré de l'existence d'une décomposition en au moins n carrés ?

EDIT:  ok oui, j'étais passé à côté des remarques de cette page wiki.

2) Le fait de n'avoir plus que des termes linéaires à la k-ième itération de l'algorithme (1<k<n) invite-il à passer au "deuxième cas" (ref) (il me semble que oui, mais...doute)?

#7 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 21-12-2019 21:29:38

Salut,

un bref message pour dire que j'ai bien lu ta réponse, mais étant pas mal occupé en ce moment - et visiblement ce qui me gêne se soulage un peu moins facilement que ce que j'avais imaginé - je vais laisser ces notions décanter un peu et je reviendrai quand je serai en mesure d'être plus clair.

Merci pour tes interventions et bonnes fêtes

#8 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 19-12-2019 17:46:23

ok merci.
Donc "être divergente" est une des manières de ne pas être intégrable (différent de ce j'avais compris).


Ce qui, pour revenir aux sommes de Darboux, se justifierait par le fait que l'on ne peut "comparer les infinis" (?) (elles auraient pu, peut-être, ``progresser de la même manière'' et ``donner le même résultat'', même si au fond l'inf et le sup divergent vers l'infini).

#9 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 19-12-2019 17:06:49

Ok, je ne suis peut-être pas vraiment au clair avec ce qui me pose problème. J'essaie d'éclaircir avec la question suivante. À mes yeux, $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ est bien définie et continue sur $I=[1,+\infty[$, j'ai donc envie de dire qu'elle est localement intégrable sur $I$. Alors pour $x \in [1,+\infty[$, on a l'intégrale de Riemann

$$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}= \ln(x) \underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$$ et donc $\displaystyle\int_I f \ $ diverge.

Doit-on alors dire qu'elle n'est pas intégrable sur $I$?

#10 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 19-12-2019 13:57:59

D'accord, en résumé:

- si $f$ intégrable sur tout compact $J\subset I$, $I$ non-compact, alors $f$ est localement intégrable;

- l'intégrale sur tout $J$ est finie;

- selon le cas, l'intégrabilité de $f$ peut-être étendue à $I$, et être éventuellement divergente.

mais minorer $f$ par une fonction dont l'intégrale est divergente permet-il d'exclure que $f$ soit localement intégrable?

désolé si c'est évident. Merci pour la réponse en tous cas.

#11 Re : Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 19-12-2019 07:14:39

Bonjour,

Merci bien pour la réponse. Je vois; je connaissais en fait cette définition, mais la pièce ne tombe que maintenant XD.

Ça n'aurait en revanche pas de sens de dire qu'une fonction est intégrable mais diverge sur I?

Chris

#12 Entraide (supérieur) » Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale » 18-12-2019 22:32:34

Chris
Réponses : 12

Salut,

je me fais une série d'exos dans lesquels il faut, entre autres, montrer l'existence des intégrales demandées, à l'aide de comparaisons. Jusque là ça se passait plutôt bien...mais je n'arrive maintenant plus à voir la différence entre le fait de dire qu'une fonction n'est pas intégrable sur un intervalle, ou de dire que l'intégrale sur cet intervalle diverge.

Pour moi (Riemann-)"intégrable" signifie 1) que l'on "peut intégrer" puisque l'opération a un sens, 2) faisant référence à la convergence des sommes de Darboux (pour toutes les valeurs de la droite réelle achevée?), alors que "divergente" signifie que la valeur de l'intégrale "progesse indéfiniment ($\pm \infty$).

Donc, par exemple $\frac{1}{x}$ est intégrable sur $[1, +\infty[$, mais $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ diverge. Mon souci est que j'ai un corrigé qui donne:

$f$ est continue sur $\mathbb{R}_+$, donc y est localement intégrable...or $f \underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{x}$, et puisque $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ diverge, $f$ n'est pas intégrable sur $[1, +\infty[$.

Mon problème est-il au niveau de la définition de "localement intégrable" vs "intégrable"?

Merci d'avance

#13 Re : Café mathématique » Créez vos propres feuilles d'exercices avec Bibm@th » 18-08-2019 08:52:31

Bonjour (4 ans plus tard),

tout d'abord merci pour ces fonctionnalités! De la composition de ses propres fiches d'exos à la souplesse du format TeX, c'est vraiment super!

En revanche, je n'ai pas trouvé le moyen d'inclure les indices et corrigés au fichier tex, et il me semble que cette possibilité n'est pas donnée. Si c'est bien le cas, serait-il compliqué de l'ajouter?

Merci

Chris

#15 Re : Entraide (supérieur) » Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables » 10-06-2019 19:35:18

hey,

je vais jeter un oeil sur tout ça,
merci pour ta réponse.

Edit:

Okay, dois-je comprendre que je devrais écrire \(\times (f+g,h)\) plutôt que \(I_a^b (f+g,h)\) et:

\[
    \begin{array}{rl}
    \times \colon\qquad\left(\mathcal{I}_a^b\right)^2&\longrightarrow{\mathbb{R}}\\
        (f+g,h)&\longmapsto \displaystyle\int_a^b (f+g)h
    \end{array}
\]
?
Ce qui satisferait en tous les cas \(\times(f+g,h)=\times(f,h)+\times(g,h)\)...

(oui, bon, ben à la réflexion, ça me semble évident , mais une confirmation serait bienvenue)

#16 Entraide (supérieur) » Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables » 10-06-2019 11:51:12

Chris
Réponses : 5

Bonjour,

je feuillette en ce moment un cours sur l'intégration, pour lequel mes connaissances sont peut-être les bases juste suffisantes.

Jusqu'au point où ça coince, on a montré que \(\left(\mathcal{I}_a^b, +, \cdot\right)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, avec

\[\mathcal{I}_a^b:= \left\{ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \ \Big| \ f \text{ est Riemann-Intégrable sur [a,b]} \right\}\]

A aussi été montré que pour \(f,g \in \mathcal{I}_a^b\) on a \(fg \in \mathcal{I}_a^b\). Le document stipule que \(\mathcal{I}_a^b\) a dès lors une structure de \(\mathbb{R}\)-algèbre; or il s'agit d'un objet que je n'ai pas encore manipulé. En me référant à la wikipédia (oui, désolé):

Une algèbre sur un corps commutatif \(\mathbb{K}\), ou simplement une \(\mathbb{K}\)-algèbre, est une structure algébrique \((A, +, \cdot, \times)\) telle que :

  1. \((A, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur  \(\mathbb{K}\) ;

  2. la loi \(\times\) est définie de \(A \times A\) dans \(A\) est donc une loi de composition interne ;

  3. la loi \(\times\) est bilinéaire.

Donc 1 et 2 sont ok. Pour 3 - c'est ici que ça ne passe pas - on voudrait:

\[
\forall (x,x')\in E^{2},\quad\forall (y,y')\in F^{2},\quad\forall \lambda \in \mathbb{K},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\varphi (x+x',y)
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\
\varphi (x,y+y')
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\
\varphi (\lambda x,y)
    &=\varphi (x,\lambda y)\\
    &=\lambda \varphi (x,y).
\end{aligned}
\right.
\]

que je traduis par

\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]

or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute. Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de pouce svp?

merci d'avance,

#17 Re : Entraide (supérieur) » Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3) » 17-01-2019 08:53:22

Ok je vois, merci. Du coup j'explicite pour celles et ceux que ça pourrait intéresser (pour alléger l'écriture, j'écris les développements sans expliciter les restes):

la factorisation permet de poser $\displaystyle v=\frac{u}{2}+\frac{u^2}{4}$, et donc $\displaystyle \frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)$.

Puisque $\mathrm{DL}_{0}^{2}\ \displaystyle \frac{1}{1+v}=1-v+v^2$, on obtient 

\begin{align*}
h(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)\\
    &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2+
    \frac{1}{u}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2\right)\right)\\
    &=\frac{1}{2}-\frac{u}{4}+\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\\
    &=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}
\end{align*}

#18 Entraide (supérieur) » Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3) » 16-01-2019 23:12:47

Chris
Réponses : 2

Bonjour/bonsoir,

dans l'exercice donné ici (18, point 3), on cherche à déterminer l'asymptote en les infinis de la fonction

[tex]h(x)=\frac{x+1}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}[/tex]

A la lecture du corrigé, je vois bien que l'on obtient, à l'aide du changement [tex]u=\frac{1}{x}[/tex],

[tex]h(x)=\frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)}[/tex]

mais je ne parviens pas à obtenir

[tex]h(x)=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}+o(u)[/tex].

à partir des "techniques usuelles" (ni autrement d'ailleurs ;)). Desquelles s'agirait-il en particulier?

Merci d'avance,

Christophe

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