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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité complexe » 27-02-2014 03:59:30

ABB

Bonsoir
considérer les points M(z),E(z+i),F(z-i), N(z+1)
calculer la surface du quadrilatère OENF de deux façons( O étant l'origine du repère orthonormé )

#2 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm : Périmètre minimum avec aire donnée [Résolu] » 24-09-2009 21:42:07

ABB

Salut tout le monde

je crois que la résolution de ce problème peut se faire simplement en se reférant à l'inégalité de la moyenne : [tex]2\sqrt{xy}\leq x+y[/tex]

#3 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique [Résolu] » 15-07-2009 17:32:51

ABB

Bonsoir
je crois que l'équation proposée à cet examen peut etre résolue sans passer les étapes imposées par l'examen; cela peut etre vu si on change simplement l'ecriture de cette  équation.

#4 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique [Résolu] » 09-07-2009 22:20:27

ABB

Bonsoir
utiliser le fait qu'une équation du second degré à coefficients dans Z admet une solution dans Z si et seulement si son discriminent est un carrée parfait

#5 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique [Résolu] » 08-07-2009 10:24:31

ABB

Bonjour
Remarquer que si (x;y) est une solution de cette équation alors il existe un entier naturel a tel que [tex]x+y=a^2[/tex].Puis conclure que [tex]x(x-4a)[/tex] est un carrée parfait

#6 Re : Entraide (supérieur) » diviseurs de n factoriel » 20-12-2008 17:20:51

ABB

Bonjour
je crois que mon intervention est mal comprise. Je m'explique
dire que a <n alors a divise (n-1)! et b<n alors b divise (n-1)!. mais pour conclure que ab divise (n-1)!; il faut ajouter la condition a et b sont premiers entre eux
Mais, dire que n=ab pour conclure que ab divise (n-1)!,il faut ajouter la condition a et b sont distincts.

Je vais maintenant formuler la réponse à la question: quels sont les entiers naturels n tels que n² divise  (n-1)!
remarquons que 1 répond à la question
remarquons que tous les nombres premiers ne répondent pas à la question
soit n un entier nautel supérieur strictement à 1 et non  premier
Premier cas: n est impair
alors n=ab où a et b sont premiers entre eux, car n est non premier
comme n est impair alors a>2 et b>2
ce qui implique que 2a<n . le nombre a figure deux fois dans la décomposition de  (n-1)!  alors a² divise  (n-1)!
de meme on a : b² divise  (n-1)!
comme a et b sont premiers entre eux alors a² et b² sont premiers entre eux
donc a²b² divise (n-1)! c'est -à - dire n² divise (n-1)!
Deuxième cas: n= m.2^k où k est un entier strictement supérieur à 1 et m est un nombre impair distinct de 1
On a 2m<n alors m²  divise (n-1)!
On a aussi 2.2^k<n alors 2^2k divise (n-1)!
comme m² et 2^2k sont premiers entre eux alors n² divise divise (n-1)!
il resute les deux cas: n=2^k et n=2m
On procéde de la meme manière.

#7 Re : Entraide (collège-lycée) » exo de geometrie [Résolu] » 16-12-2008 18:12:47

ABB

Bonsoir
utiliser le resultat suivant: Si ABC est un triangle et M est le milieu du segment [BC] alors les deux traingle ABM et ACM ont meme surface qui vaut la moitie de la surface du triangle ABC

tu peux démontrer ce résultat au se référant à la définition de la surface, en remarquant que les deux triangles ABM et ACM ont meme hautaur issue du sommet A.

#8 Re : Entraide (supérieur) » diviseurs de n factoriel » 16-12-2008 12:26:52

ABB

Bonjour
pour que la démonstration soit juste il faut supposer que les entiers a et b sont premiers entre eux, en vertu du résultat si a divise x et b divise x et a et b sont premiers entre eux alors ab divise x. ce résultat tombe en défaut si a et b  ne sont pas premiers entre eux. contre exemple : 6/12 et 4/12; mais 24 ne divise pas 12

#9 Re : Entraide (supérieur) » domaine de definition et limite » 02-11-2008 12:37:40

ABB

Bonjour,

Pour calculer cette limite on fait le changement de variable [tex] u=sinx[/tex]
remarquer que :[tex] \lim_{u \to +0^+}u^{u}=\lim_{u\to +0^+}exp{u\ln(u)}[/tex]

#10 Re : Café mathématique » Une propriété qui existe? » 28-10-2008 20:44:41

ABB

Bonsoir
je crois que la question ainsi formulée par tibo est simple à justifier
soient p et q deux nombres naturels non nuls tels que q premier
il existe a et b deux entiers naturels non nuls tels que : a+b=q; il suffit de prendre a=1 et b= p-1 ou a=2 et b=p-2 suivant les cas.
On pose : x=ap et y=bp
comme q est premier et a et b non nuls alors pgcd(a;b)=1 . donc : pgcd(x;y)=p
ce qui prouve x et y verifiant les contraintes de la questiuon sauf la contriante del'unicite, qui n'est pas réalisé.

la condiution p est premier n'est pas obligatoire.

#11 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Fractions » 29-07-2008 13:00:47

ABB

Bonjour

Le problème ne réside pas dans le choix de 347; tu peux le changer, par exemple par 1235
Un diviseur commun trivial c'est un diviseur commun qu’on peut détecter facilement.

#12 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Fractions » 29-07-2008 11:33:20

ABB

Bonjour
    Si j’ai bien compris, Golgup ne veux pas utiliser le pgdc pour résoudre le problème en question.
    Je vais proposer une méthode qui se base implicitement sur l’algorithme d’EUCLIDE :
**On a : [tex]\frac{61}{8}=7+\frac{5}{8}[/tex]
Comme [tex]\frac{5}{8}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{61}{8}[/tex] est non simplifiable.
**On a : [tex]\frac{40}{29}=1+\frac{11}{29}[/tex]
Comme [tex]\frac{11}{29}[/tex] est non simplifiable ( on remarque que 11 ne divise pas 29)alors [tex]\frac{40}{29}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{29}{40}[/tex] est non simplifiable
**On a : [tex]\frac{56}{13}=4+\frac{4}{13}[/tex]
Comme [tex]\frac{4}{13}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{56}{13}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{13}{56}[/tex] est non simplifiable

    Ce problème ouvre un débat sur la possibilité de reconnaître une fraction est simplifiable ou non dans le cas où son numérateur et son dénominateur n’ont pas un diviseur commun trivial. Par exemple la fraction [tex]\frac{347}{695042}[/tex] est –elle simplifiable ?

#13 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Permutation des aguilles d’une montre » 28-07-2008 22:47:30

ABB
Réponses : 6

Salut
    Un jour qu’Albert Einstein était malade, son ami et biographe A.Mochkovski lui proposa pour le distraire le problème suivant :
    « Prenons la position des aiguilles à 12 heures. Si dans cette position la grande et la petite aiguille échangent leurs places, leurs indications resteront tout de même exactes. Mais à d’autres instants, par exemple,à six heures, une pareille permutation conduirait à une position impossible avec une montre qui marche bien : la grande aiguille ne peut pas se trouver sur 6 quand la petite indique 12.Une question se pose alors : quand est-ce que les aiguilles d’une montre occupent  une position telle que leur interversion donne une nouvelle position, également possible avec une montre en bon état ?
    Oui, répondit Einstein, c’est un problème qui convient bien à un homme contraint de garder le lit : assez intéressant et pas trop facile. Mais je crains que la distraction ne dure pas longtemps car j’ai déjà trouvé la solution » Rapidement, écrit Mochkovski, il a tracé sur un morceau de papier un schéma représentant les conditions du problème. Pour le résoudre il a mis moins de temps que je n’ai mis, moi, pour l’exposer… »
    Comment résoudre ce problème ?

#15 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Fractions » 28-07-2008 21:55:59

ABB

Bonsoir
j'ai pensé à factoriser 69 en produit des facteurs premiers.

on a 69=3x23 et 23 est un nombre premier, je ne tiens pas compte de 1 car d est distinct de 1.

#16 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Fractions » 28-07-2008 18:47:03

ABB

Bonsoir
Tu a raison, yoshi. Je n’ai pas fait attention.
il est difficile de lire toute la démonstation sur écran.

#17 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Fractions » 28-07-2008 18:16:57

ABB

Bonsoir
Il existe un moyen simple de savoir la fraction simplifiable par les quatre fractions :
Le forme générale de cette suite de fractions est [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex], cette forme était mentionnée par yoshi.
Supposons que la fraction [tex]\frac{61-16k}{8+16k}[/tex] est simplifiable
Alors 61-16k et 8+16k admettent un diviseur commun d distinct de 1
On a : d divise [tex](61-16k)+(8+16k)[/tex]  c'est-à-dire d divise 69
Donc : l’entier naturel d prend les valeurs 3 ; 23, 69
Eliminons la valeur 69 car les numérateurs (comme les dénominateurs) de ces quatre fractions sont strictement inférieurs à 69
Eliminons la valeur 23 car les dénominateurs de ces quatre fractions ne sont pas divisibles par 23
La méthode de savoir  la fraction simplifiable parmi les quatre fractions :c’est chercher la fraction dont le numérateur et dénominateur sont divisibles par 3

#18 Re : Café mathématique » Partie entière par ABB » 27-07-2008 23:44:44

ABB

Salut, cher collège yoshi
    Je n’ai aucune intention de faire passer ma conception. Je veux simplement discuter des méthodes simples pour résoudre des problèmes apparemment difficiles, à travers des situations.
    Si tu vois que ma contribution à ce forum n’est pas intéressante, je te demande cordialement d’effacer mes interventions, que tu juge non bénéfiques.

#19 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » partage d'un jardin » 27-07-2008 23:13:31

ABB

Bonsoir

on peut démontrer que le centre de gravité d'un triangle est le seul point qui le partage en trois triangles de même surface.

#20 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » partage d'un jardin » 27-07-2008 22:26:51

ABB

Bonsoir
tibo,Il s’agit d’une plaque métallique de forme triangulaire.
ton intuition est juste, pour la démontrer il suffit de remarquer si M est le milieu du segment [BC] alors la droite (AM) partage le triangle ABC en deux triangles de même surface.

#21 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Les échelles » 27-07-2008 22:19:32

ABB

Bonsoir
Soit  ABCD  le trapèze, tel que [AC] représente l’échelle de longueur 5m et [BD] représente l’échelle de longueur 3m. on démontre en utilisant THALES que : [tex]\frac{1}{BC}+\frac{1}{AD}=1[/tex]
En utilisant le théorème de PYTHAGORE on trouve que [tex]BC^2-AD^2=16[/tex]
On pose [tex]x=AD+BC[/tex] et [tex]y=AD-BC[/tex]
Alors  : [tex]x^2-y^2=4x[/tex] et [tex]xy=16[/tex]
Cela nous conduit à l’équation [tex]x^4-4x^3-16^2=0[/tex]
En étudiant la fonction f définie sur ]0 ;8[ par  [tex]f(x)=x^4-4x^3-16^2[/tex] on trouve que l’équation [tex]f(x)=0[/tex] admet une seule solution a telle que [tex]5<a<6[/tex]

#22 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le répétiteur de Tchékhov » 27-07-2008 15:31:31

ABB

Bonsoir
    Ce problème a servi de sujet à un récit humoristique qui rappelle le répétiteur de Tchékhov. Deux personnes de la famille de l’élève auquel on a donné ce problème à résoudre cherchent en vain la réponse et raisonnant ainsi :
    -il y a quelque chose d’étrange là-dedans, dit l’un d’eux ; si en 24 jours 70 vaches mangent toute l’herbe du pré, combien de vaches la mangeront en 96 jours ? Évidemment, ¼ de 70, c'est-à-dire 17 vaches et ½.. Première bêtise ! et voici la deuxième : 30 vaches mangent tout l’herbe en 60 jours ; combien de vaches la mangeront en 96 jours ? le résultat est encore pire : 18 vaches et ¾ . de plus : si 70 vaches mangent toute l’herbe en 24 jours ; 30 vaches la mangeront en 56 jours, et  pas du tout en 60 jours,comme l’énonce le problème.
    -Avez-vous tenu compte du fait que l’herbe pousse tout le temps ? demande l’autre.
    Cette remarque est fondée : l’herbe pousse de façon continue, et si l’on ne tient pas compte de ce fait, on ne pourra pas résoudre ce problème et son énoncé même paraîtra contradictoire.

#23 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le répétiteur de Tchékhov » 27-07-2008 12:53:50

ABB
Réponses : 5

Bonjour

L’herbe d’un pré pousse partout avec même vitesse et la même densité. On sait que 70 vaches la mangeraient en 24 jours et 30 vaches en 60 jours
Combien de vaches mangeraient l’herbe du pré en 96 jours ?

#24 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » partage d'un jardin » 27-07-2008 12:40:14

ABB

Bonjour
On peut reformuler cette situation comme suit :
On accroche au plafond d’une salle, une pièce métallique homogène par un point M de sa surface de telle sorte que la pièce sera en équilibre.
Quelle est la position de ce point M ?

#25 Re : Café mathématique » Partie entière par ABB » 26-07-2008 22:18:54

ABB

Bonsoir

    Malgré la simplicité de l’énoncé l’équation de Pell-Fermat ( l’équation dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] : [tex]x^2-ny^2=1[/tex] où n est un entier naturel non carrée parfait), la méthode de sa résolution repose sur la notion de fraction continue, qui est une notion compliquée.
    La non justification du recours aux fractions continues pose des difficultés devant les étudiants pour comprendre cette méthode. Ce qui rendre la reproduction de cette méthode par eux difficile.
    Devant cette situation, la question qui s’impose est la suivante : peut-on trouver une approche qui permet à l’étudiant de comprendre la nécessité des fractions continues ?
    Si on regarde la forme de cette équation, on peut constater que si (x ;y) est une solution de cette équation alors [tex]1+ny^2[/tex] est un carrée parfait, On peut formuler cette constatation en posant la question suivante : Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier naturel soit un carrée parfait ? cette question est équivalente à la question objet de ce post.
    Au retour à l’équation de Pell-Fermat, on pourra alors dire que si (x ;y) est une solution de cette équation tels que[tex]x>0[/tex] alors [tex]x-1=E(y\sqrt{n})[/tex]. Cette remarque permettra de comprendre pourquoi on fait appel aux fractions continues dans la résolution de cette équation.

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