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Bonsoir,

Soit $X$ un espace de Banach uniformément convexe. $f:K\rightarrow K$, tels que $\parallel fx-fy\parallel \leq\parallel x-y\parallel\,\,\forall x,y\in K $, avec $K$ est un sous-espace non vide, férmé, convexe, borné  de $X$. 

On pose $C_{\varepsilon}=\{x:\parallel x-fx\parallel\leq\varepsilon\}$, where $a=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}\inf\limits_{C_{\varepsilon}}\parallel x\parallel$.

Je veux montrer que l'intersection de tous les ensembles  $C_\varepsilon$ est non vide. (On a $\inf\limits_{x\in K}\parallel x-fx\parallel=0$. La question: pourquoi   $a>0$, en utilisant la fermeture $C_\varepsilon$).

Merci.