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#1 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 29-09-2019 07:51:54

Bonjour LCTD
mais moi je cherche la solution générale, et après avoir cherché, je trouve qu'elle s'écrit sous la forme suivante:
$$
v(\tau,t)= \sum_{\mathbb{N}} \delta_n \exp(- (n\pi/L)^2 \nu t) (\alpha \cos(k_n t + \phi_n) + \beta \sin (k_n t+\phi_2))
$$
où les $\phi_i, \alpha, \beta$ et $k_n$ viennent des conditions aux limites et initiales.
Mais comment on se débarrasse de la somme sur $n$?

Aussi dans votre solution, on ne voit pas $\tau$.
Cordialement

#2 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 18-09-2019 17:57:29

Oui j'essaye de reconnaître des dérivées de quotient ou de produit mais je n'y arrive pas. Pouvez vous me dire si vous en voyez? Svp

#3 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 18-09-2019 13:04:43

Bonjour
vous avez raison Roro, je m'excuse. Mais ça me rend bête tellement je ne trouve pas comment on peut passer de l'écriture
$$
a(t) \alpha^2(t) \dfrac{v \partial^3_z v}{v^2}
- a(t) \alpha^2(t) \dfrac{\partial^3_z v}{v^2}
+ 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial^2_z v)(\partial_z v)}{v^2}
- 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}
$$
à l'écriture
$$
a\alpha^2\dfrac{v\partial^3_z v-3\partial_z v\partial^2_z v}{v^2}+2a\alpha^2\dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}.
$$
?
C'est possible de passer de l'une à l'autre?  Sinon il y a un moyen de simplifier la première écriture?

Bien cordialement

#4 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 17-09-2019 20:58:11

Bonjour
est ce qu'on a l'égalité suivante:
$$
\partial^3_z v=(\partial_z v)(\partial_z^2 v)
$$
?

Bien cordialement

#5 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 18:10:40

LCTD merci pour l'idée. Je ne suis pas sure de comprendre. Vous avez trouvé une unique solution? Et comment savoir si avec ce $v$ les conditions initiales et aux limites sur u sont satisfaites?

Bien cordialement

#6 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 11:23:07

Non, j'ai bien dit que les fonction a, b , c, $\alpha$ et $\beta$ sont connues on les connaît.
Je cherche à déduire des conditions initiale et aux limites sur v (en utilisant la relation entre $u$ et $v$ et aussi du fait qu'on sait que $u(x,0)=0, u(1,t)= u(0,t)=0$), afin  de résoudre l'edp linéaire du premier message. C'est possible?

Bien cordialement

#7 Re : Entraide (supérieur) » edp inéaire » 17-09-2019 06:48:37

Bonjour
j'ai une question assez complexe pour moi.
Si on pose
$$
u(x,t)= a(t) \dfrac{\partial_z v(\tau,z)}{v(\tau,z)} + b(t) x + c(t)
$$
avec $\tau=\tau(t)$ et $z= \alpha(t) x + \beta(t)$.
où les fonctions $a, b, c \alpha, \beta$ sont connues.
Si on impose sur $u$ les conditions: u(x,0)=0, u(0,t)=u(1,t)=0. Est-ce qu'on peut en déduire des conditions initiale et aux limites sur $v$?

Bien cordialement

#8 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 17-09-2019 06:42:26

Zbulor et pour mon calcul du post 3 il est correct? Stp

#9 Re : Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 16-09-2019 21:42:35

C'est ok, merci.
Autre question, est-ce que ce qui suit est correct :
$$ \partial_x (\partial_z v^2)= 2 \partial_x (v. \partial_z v)= 2(\partial_x v)(\partial_z v)+ v. \partial_x(\partial_z v)
= 2 \alpha((\partial_z v)^2 + 2 v \partial^2_z v)\quad ?
$$ Est-ce qu'on peut la simplifier encore plus ?

Bien cordialement

#10 Entraide (supérieur) » Dérivée d'une fonction composée » 16-09-2019 19:16:29

mati
Réponses : 12

Bonjour
je suis un peu perdue sur un calcul et j'espère votre aide.
Si on considère la fonction $v(\tau,z)$ où $\tau = \tau(t)$ et $z=\alpha(t) x + c(t)$.
Comment calculer $\partial_x(\partial_z v^2)(\tau,z)$?

Il est clair que $\partial_z v^2(\tau,z)= 2 v \partial_z(\tau,z)$, mais qu'en est-il de  $\partial_x(\partial_z v^2)(\tau,z)$?

Je sais qu'il y a une formule simple à appliquer mais je n'arrive pas à la retrouver.

Bien cordialement

#11 Entraide (supérieur) » edp inéaire » 14-09-2019 10:14:33

mati
Réponses : 16

Bonjour
je bloque sur la résolution de l'edp suivante: trouver $v(\tau,z)$ telle que
$$
\partial_{\tau} v - \nu \partial_z^2 v =0,
$$
où $\nu$ est une constante.

Merci par avance pour toute aide.
Bien cordialement

#12 Entraide (supérieur) » Convolution » 10-06-2019 10:33:53

mati
Réponses : 0

Bonjour
depuis plusieurs semaines que je tourne en rond avec une question sur le produit de convolution sans réponse claire. J'espère votre aide pour régler cette question.
Il y a un exercice qui demande de comparer entre $1*(\delta' *H)$ et $(1*\delta')*H$, où $H$ est la fonction de Heaviside et $\delta'$ et la dérivée de Dirac. Le but étant de voir que le produit de convolution n'est pas toujours associatif. Ma question est: comment justifier déjà l'existence du produit de convolution $1*(\delta' *H)$ et $(1*\delta')*H$. Les supports de $1$, $\delta'$ et $H$ sont convolutifs? Pourquoi ils le sont?

Merci par avance pour toute aide.

#13 Re : Entraide (supérieur) » Point maximal » 22-05-2019 15:43:13

L'exo dit que si $y$  est une solution définie sur un compact $I$ de $\mathbb{R}$ telle que y admet un point maximum au point $x$ de $I$, c'est à dire que $y'(x)=0$, alors y(x)$ est constante.

#14 Entraide (supérieur) » Point maximal » 22-05-2019 11:39:32

mati
Réponses : 3

Bonjour, j'ai l'exo suivant.

Prouver que si $y$ est définie sur un intervalle compact $I$ de $\mathbb{R}$, et elle admet un point maximal $x$ de $I$, et si $y'$ existe alors $y(x)$ est constant.

Il me semble qu'il manque quelque chose à ce problème. Comment le résoudre avec les éléments qu'on a ?
Bien cordialement.

#15 Entraide (supérieur) » edo d'ordre 2 » 26-04-2019 09:17:52

mati
Réponses : 1

Bonjour
soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes du problème
$$
\begin{cases}
a(x) y"+ b(x) y' +c(x) y=0\\
l_1(y)= a_0 y(\alpha)+ a_1 y'(\alpha)+ b_0 y(\beta)+b_1 y'(\beta)=0\\
l_2[y]= c_0 y(\alpha)+ c_1 y'(\alpha)+ d_0 y(\beta)+d_1 y'(\beta)=0
\end{cases}
$$

La question est de montrer que le problème admet une unique solution si et seulement si $l_1[y].l_2[y_2] - l_1[y_2] l_2[y_1] \neq 0$. J'ai du mal à trouver la solution. Merci par avance pour toute aide.

#16 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 21-04-2019 12:26:06

Bonjour,
j'ai du mal à comprendre. Qui est la matrice B?

#17 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 20-04-2019 19:53:39

Peut être que quelqu'un peut nous aider à y voir plus clair

#19 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 20-04-2019 18:00:40

Oui mais ça ne donne pas l'idée du calcul. Quand je refais je bloque à ce niveau:
$y_1= \alpha_1 \phi_1 + \alpha_2 \phi_2$, $y_1'= \alpha_1 \phi_1' + \alpha_2 \phi_2'$ puis $y_2= \beta_1 \phi_1+ \beta_2 \phi_2$, $y_2'= \beta_2 \phi_1' + \beta_2 \phi_2'$.
On a par définition: $$W(y_1,y_2)= y_1 y_2' - y_2 y_1' = (\alpha_1 \phi_1 + \alpha_2 \phi_2)(\beta_1 \phi_1'+ \beta_2 \phi_2') -(\beta_1 \phi_1 + \beta_2 \phi_2)(\alpha_1 \phi_1' + \alpha_2 \phi_2')$$
et là en développant je me perd carrément dans les calculs, je ne retrouve pas $W(\phi_1,\phi_2)$.
Comment on voit que $W(\phi_1,\phi_2)$ apparaît?

#20 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 20-04-2019 10:58:24

Merci. Ce cours ne contient pas le résultat qu'on voit dans cet exercice. Quelle est l'idée à retenir? Ou bien peut on le formuler comme théorème?

Bien cordialement

#21 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 20-04-2019 09:06:31

Bonjour
merci pour la réponse. Vous avez un cours qui donne tout ce qu'il faut sur le Wronksien?

Bien Cordialement

#22 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 19-04-2019 19:02:34

Mais ça dépend aussi de $W(\phi_1,\phi_2)$ et on ne connaît pas sa valeur

#23 Re : Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 19-04-2019 17:18:56

Salut
qui sont $p,r,q,s$? Qu'est ce que vous utilisez comme méthode?

Bien cordialement

#24 Entraide (supérieur) » système fondamentale d'une edo » 19-04-2019 09:09:47

mati
Réponses : 19

Bonjour
soit $\{\phi_1,\phi_2\}$ un système de solutions fondamentales sur un intervalle $I$ pour l'edo d'ordre 2 $y''+a(x)y=0$.
La question est de montrer qu'il existe un système de solutions fondamentales $\{y_1,y_2\}$ tel que le Wronksien $W(y_1,y_2)$ satisfasse: $W(y_1,y_2)=1$.
Je sais que $\{y_1,y_2\}$ un système fondamentale veut dire que toute solution de l'edo s'écrit sous la forme $y=c_1 y_1+c_2 y_2$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles arbitraires, et on sait aussi que $W[y_1,y_2]= y_1 y_2'-y_1'y_2$. Mais je n'arrive pas à trouver une solution à la question et quel est le lien avec $\{\phi_1,\phi_2\}$?

Bien cordialement

#25 Re : Entraide (supérieur) » Translation et dérivée » 27-03-2019 12:49:07

Mon problème est surtout avec $(-1)^{|\alpha|}$. D'où vient-il?

Bien cordialement

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