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#1 Re : Café mathématique » Axiome ! (faux(0) et vrais(1))Ou( faux(0) ou vrais(1)) » 20-09-2018 06:30:42

Re,

Ok , je comprend ce que tu veux dire par "ZF vrai".
D'habitude on dit plutôt "Plaçons nous dans la théorie ZF" ou "Supposons les axiomes de la théorie ZF vrais".
Et je t'invite à faire de même ; c'est plus long mais beaucoup plus clair.


Ta preuve est fantastique ! Elle permet de démontrer que toute théorie est consistante.
Par exemple, prenons la théorie T ayant pour axiomes une assertion A ainsi que non(A).
Alors soit T est consistante, alors ok
Soit T n'est pas consistante, et je peux tout prouver, en particulier que T est consistante.
Donc T est consistante.
Alors que par définition, T n'est pas consistante.

En fait il y a un théorème (démontré par Godel je crois) qui dit :
"On ne peut pas démontrer qu'une théorie est consistante dans la théorie elle-même."
Cela vient du fait que pour démontrer une assertion A dans une théorie T, il faut commencer par énoncer A dans le langage de la théorie T.
En particulier, l'assertion "T est consistante" ne peut pas être énoncé dans le langage de T.
Dans T, cette phrase n'est ni vraie ni fausse. Elle n'existe tout simplement pas dans T. (Et donc elle n'est pas indécidable non plus.)

C'est comme si je voulais démontrer dans ZF que "La nuit, tous les chats sont gris.".
J'en suis incapable, car dans ZF, cette phrase n'existe pas.

#2 Re : Café mathématique » Axiome ! (faux(0) et vrais(1))Ou( faux(0) ou vrais(1)) » 19-09-2018 20:12:30

Salut,

Je ne suis pas sûr que ce sois une bonne idée d'intervenir. Il paraît qu'il ne faut pas nourrir les troll... dont je considère que Dattier en est un beau spécimen.
Néanmoins, allons y.

Dattier a écrit :

Supposons ZF vrai,...

Ça veut dire quoi qu'une théorie est vraie ?
Je peux éventuellement dire qu'une assertion est vraie dans une théorie donnée si je peux la démontrer avec les axiomes de la théorie ; mais une théorie vraie, j'avoue que je ne vois pas du tout...

Dattier a écrit :

Ainsi rien ne sert de montrer l'inconsistance de ZF, par contre la manière d'attaquer ZF est de prouver qu'il y a profusion d'indécidable.

C'est pas difficile à montrer ça... la démonstration du premier théorème d'incomplétude de Godël me permet de construire une infinité d'assertions indécidables !

Le vrai problème est de montrer que ZF est inconsistante... Là ça ferait pas mal de bruit dans la communauté mathématique et il y aurait sûrement une médaille à la clef.

Quoique... à bien y réfléchir, je ne pense pas que les labos de math s'effondreraient pour autant. Cela donnerait du boulot à une ou deux générations de logiciens, les axiomes de la théorie ZF seraient remaniés de manière à lever l'inconsistance et pis voilà.

Dans la pratique, vraiment très peu de mathématiciens utilisent les axiomes ZF pour démontrer des trucs.
On a écrit les axiomes de ZF pour s'assurer que les mathématiques construites dessus l'étaient sur une base solide.
Dans la pire des cas, on se tournerait vers d'autres théories comme la théorie de types ou la théorie de catégories.
Mais il n'y a aucune chance que les mathématiques s'écroulent, un frémissement peut-être, mais rien de bien grave.

#4 Re : Entraide (collège-lycée) » Donner une équation sous la forme (x + b)² + a = 0 » 10-09-2018 15:13:50

Bonsoir,

Pour le triangle $ABC$, c'est bon.
Mais il faut construire un autre triangle, appelons le $A'B'C'$, ayant pour coté $3+x$, $4+x$ et $6+x$.
Donc tu traces un segment $A'B'$ de longueur $3+x$, puis un cercle de centre $A$ de rayon $4+x$, etc...

#5 Re : Entraide (collège-lycée) » Donner une équation sous la forme (x + b)² + a = 0 » 09-09-2018 15:13:56

Ok pour la construction du triangle de coté 3,4,6.
As-tu réussi à le faire sur géogébra ?
Si oui, tu peux faire exactement la même chose, sauf que tes cercles auront pour rayons $3+x$, $4+x$ et $6+x$.


Mais sinon l'énoncé ne te demande pas de faire de shéma.
C'est toujours bien d'en avoir un sous la main, mais ici on peut s'en passer.

Posons $x$ la longueur que l'on ajoute à chaque coté du triangle $ABC$.
On obtient ainsi un triangle $A'B′C′$ avec
$A′B′=...$
$A′C′=...$
$B′C′=...$
Or d'après Pythagore...

À toi de compléter les ... et de continuer le raisonnement.

#6 Re : Entraide (collège-lycée) » Donner une équation sous la forme (x + b)² + a = 0 » 09-09-2018 09:41:26

Re,

Finalement on va peut-être revoir comment on dessine un triangle dont les longueurs des cotés sont donnés :
1) Tracer le segment $[AB]$
2) Tracer un cercle de centre $A$ de rayon $AC$
3) Tracer un cercle de centre $B$ de rayon $BC$
4) Le point $C$ est l'un des points d'intersection des deux cercles

Quant à ton triangle rectangle, ok il est bien rectangle, mais il ne respecte pas du tout l'énoncé.
Tu dois ajouter à chaque coté une même longueur.

Sur Géogébra, tu peux créer un curseur (que tu laisse sur 0 au début).
Et tu construis un triangle de coté $3+x$, $4+x$ et $6+x$.

#7 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 07-09-2018 23:37:56

Hum...
Tu joues très bien le rôle du logicien extrémiste...

Si j'ai le dessin devant moi, je peux désigner avec mon doigt laquelle est $d$ et laquelle est $d'$.
Mais je suppose que cette méthode ne te conviens pas...

J'ai peut-être une méthode plus "formelle".
1) Soit $B$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OI}$.
Si cela te dérange que je parle de vecteur, on peut reformuler en construisant le parallélogramme $OIBA$ (éventuellement plat).
2) Tracer le cercle de centre $A$ de rayon $AB$.
3) Parcourir le cercle dans le sens trigonométrique en partant de $B$.
La première demi-droite que l'on croise s'appelle $d_1$, et l'autre $d_2$.

#8 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 07-09-2018 20:38:52

Re,

1/ Bah envoie moi un dessin avec deux demi-droites, et je les nommerai comme j'ai envie.
Le fait de leur donner un nom ne change rien à leur propriété.
Tu me demanderais de nommer une infinité d'objets, là je pourrais éventuellement avoir quelques problèmes, mais nommer deux objets, ça j'en suis capable.

3/ Je commence à comprendre ce que tu entend par "bonne volonté"... et si je comprend bien ce que c'est, non ce n'est pas forcément nécessaire. Un bon logicien va t'emme... te demander de définir rigoureusement chaque objet, de justifier chaque argument,... (Cauchy était connu pour être un de cela et Godel n'aurait pas pu pondre son théorème d’incomplétude s'il n'avait pas joué à ce petit jeu.)
Après je reconnais que la plupart du temps en mathématiques, on ne se sent pas obligé de revenir à ce niveau de rigueur parce que cela rendrait les articles incroyablement chiants.

2-4/ Il y a sûrement moyen de justifier rigoureusement que j'ai le droit de faire un nombre fini de choix sans utiliser l'axiome du choix, mais je ne sais pas comment.
Et de toute façon, j'accepte de ne pas le faire vu que la définition que j'utilise ne me le permet pas.

5/ Le but est de se donner au départ le moins d'éléments possibles, uniquement ce qui est nécessaire et suffisant.
A partir du segment $[OI]$, je peux construire un repère orthonormé, donc le repère orthonormé n'est pas nécessaire.

Et la définition est très claire la dessus :
"Lorsque l'ensemble des points que l'on se donne au départ est constitué de O et de I, on dit simplement que M est constructible (à la règle et au compas)."

#9 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 07-09-2018 12:07:05

Re,

Réponse rapide à ton avant-dernier message :
1/ J'ai toujours le droit de nommer les objets qui se trouve devant moi comme j'ai envie.
Notamment, on peut toujours appeler $d$ et $d'$ les deux demi-droites de départ.
Inutile de faire appel à un "processus de nommage automatique"... dont j'ignore d'ailleurs ce que c'est.

3/ On choisit un point $M$ distinct de $O$... Arrête de jouer l'idiot avec ce genre de remarques. Cette discussion s'est révélé plus intéressante que prévu en essayant de remonter à la justification précise de chaque étape. Essaye de faire preuve d'un peu de "bonne volonté" ^^ (C'est un troll, je n'ai toujours pas compris ce que c'est)

2/ et 4/ L'axiome du choix ne fait évidemment pas partie des axiomes d'Euclide. Mais on en a pas besoin ici.
Ce qui rend l'axiome du choix bizarre, c'est qu'il donne la possibilité de faire une infinité de choix simultanément. Et c'est cette infinité de choix qui entraîne des paradoxes un peu bizarre.

Ici M. Coste veut faire un choix, et ça, ça va.
Dans la pratique quand on fait des constructions à la règle et au compas, on s'autorise à choisir des points arbitraires sur des droites ou des cercles déjà tracés.


Néanmoins, la définition que je veux te faire admettre comme "usuelle" ne le permet pas. Donc je me l'interdis aussi.
Les seuls points que j'ai le droit d'ajouter à $P$ l'ensemble des points constructibles doivent être l'intersection de deux cercles, deux droites ou d'un cercle et une droite.

Et en parlant de cette définition d'ailleurs, on y trouve
"Lorsque l'ensemble des points que l'on se donne au départ est constitué de O et de I, on dit simplement que M est constructible (à la règle et au compas)."
C'est cette partie de la définition qui m'autorise à te demander le segment $[OI]$ en plus des deux demi-droites.

#10 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 23:36:57

Bah justement, moi je ne te demande pas de repère orthonormé.
Je veux juste ton angle et un segment $[OI]$.

Bonne nuit.

#11 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 23:26:06

Tu ergotes vraiment sur des détails.

Tu me fais penser aux climato-sceptiques qui, quand on leur montre des études de climatologues, rétorquent
"Mais regardez, toutes ces modélisations se contredisent ! Certaines prédisent une augmentation de 2°C et d'autres de 6°C. Vous voyez, même les experts ne sont pas d'accord entre eux. C'est donc que cette histoire de réchauffement climatique est fausse."
Sauf que tous les modèles prédisent bien une augmentation de la température.

C'est la même idée ici.
Je ne suis pas d'accord avec l'ordre dans lequel Fred a écrit deux phrases dans son article. A mon sens il aurait dû supposer l'existence du repère orthonormé après avoir donné la définition, vu que la définition ne se sert pas du repère.
Mais la définition en elle-même est très largement acceptée comme bonne, et c'est à elle qu'on se réfère lorsque l'on parle de construction à la règle et au compas.


(Je vais devoir aller me coucher, je continuerai demain.)

#12 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 23:06:04

On peut construire le repère orthonormé uniquement à partir du segment $[OI]$ :
1 - tracer la droite $(OI)$,
2 - avec le compas construire les graduations sur la droites $(OI)$,
3 - tracer la perpendiculaire à $(OI)$ passant par $O$,
4 - avec le compas construire les graduations sur la droites $(OJ)$.

Mais de toute façon, on en a pas besoin pour nos histoires de bissectrices.

Pour construire la bissectrice d'un angle, j'ai juste besoin que tu me donnes cet angle et le segment $[OI]$.


D'ailleurs, c'est à mon sens une erreur dans l'article de Bibmath. Il ne devrait pas supposer que le plan est muni d'un repère orthonormé.
Ce repère ne nous sert à rien pour définir la notion de constructibilité. La définition n'en parle pas du tout et se suffit à elle-même, sans supposer l'existence de quoique ce soit (mis à part les points $O$ et $I$, mais ces points sont introduit dans la définition au moment où elle en a besoin).

PS : Je vais de ce pas signaler ça comme une erreur via le lien disponible à cet effet. Fred ne sera peut-être pas d'accord avec moi.

#13 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:51:38

La définition usuelle de la construction à la règle et au compas est exactement celle que j'ai donné à mon post précèdent.
Je l'ai copié/collé de Bibmath (on trouve d'autres formulations équivalentes sur internet).

Elle découle directement des axiomes d'Euclide.
Si tu veux que je te le démontre, on s'éloigne un peu du sujet initial.
Je ne suis pas un spécialiste des Eléments d'Euclide, il va me falloir un peu de temps pour retrouver les définitions exactes.

#14 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:38:54

Pour continuer cette discussion, il faut se mettre d'accord sur la définition des objets que l'on utilise.
Moi je considère cette définition :

Soit P un ensemble de points du plan. On considère les 2 catégories d'objets suivant :
1 - les droites (AB), où A et B sont des éléments de P.
2 - les cercles centrés en un point de P, et de rayon AB, où A et B sont des éléments de P.
(ces 2 catégories d'objets sont donc tous les cercles et toutes les droites que l'on peut construire à partir des points de P).

Un point M du plan est dit constructible à la règle et au compas en une étape à partir de P s'il existe deux éléments distincts de 1. et 2. donc M est point d'intersection

Un point M est dit constructible à la règle et au compas à partir de P s'il existe des points M1,…,Mn tels que Mi soit constructible en une étape à partir de P et des points précédemment construits.

Lorsque l'ensemble des points que l'on se donne au départ est constitué de O et de I, on dit simplement que M est constructible (à la règle et au compas).

Enfin, on dit qu'un réel r est constructible si le point A(r,0) est constructible.

Si tu n'es pas d'accord avec cette définition, dis moi exactement laquelle tu veux que l'on utilise.

#15 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:35:19

Le segment $[OI]$ est donné de base.
Cela fait partie de la définition "usuelle" de la construction à la règle et au compas.

#16 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:29:55

il faut nommer une des 2 demi-droites et cela c'est impossible !

Je ne comprend pas ce que tu veux dire.

Pour résumer, les règles sont les suivantes : partant de deux points $O$ et $I$, on peut
- tracer une droite passant par 2 points déjà construits.
- tracer un cercle de centre et de rayon déjà construits.
- ajouter à l'ensemble des points construits les points d'intersection de deux cercles, deux droites ou un cercle et une droite.

Laquelle de mes étapes ne respectent pas les règles ci-dessus ?

#17 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:18:37

En effet tu exagères un peu.
Si tu me demandes de tracer la bissectrice d'un angle, je suppose que que cet angle est déjà tracé.

Si je dois tracer moi-même cet angle, j'ai besoin de 2 étapes de plus pour tracer les demi-droites.
Donc va pour 6 étapes.

#18 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 22:04:52

On se donne au départ
- un segment $[OI]$ qui définit l'unité
- deux demi-droites de même origine le point $A$.

Etape 1 :
Tracer le cercle de centre $A$ de rayon $OI$.
On note $B$ et $C$ les points d'intersection de ce cercle avec les demi-droites.

Etape 2 :
Tracer le cercle de centre $B$ de rayon $OI$.

Etape 3 :
Tracer le cercle de centre $C$ de rayon $OI$.
Ces deux derniers cercles se coupent en $A$ et un autre point que l'on notera $D$.

Etape 4 :
Tracer la droite $AD$.

#19 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 21:53:33

Je ne comprend pas du sens de la phrase "la bonne volonté est indispensable en maths" ; du coup je continue à répondre.

Mon dernier post était un peu expéditif, et j'aimerais le reformuler.

En fait la construction à la règle et au compas est très bien définie sur Bibmath.
On y trouve notamment que l'on peut construire "les cercles centrés en un point de $P$, et de rayon $AB$, où $A$ et $B$ sont des éléments de $P$." où $P$ est l'ensemble des points déjà construits.

Donc oui pour tracer un cercle il te faut déjà au moins 1 point et 1 segment (ou 3 points distincts).

#20 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 21:06:12

En mathématique, l'utilisation usuelle du compas est donnée par le troisième axiome d'Euclide :
"Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre".

#21 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 20:54:11

Je n'ai pas parlé de bon ou de mauvais usage du compas.
Les mathématiciens se sont mis d'accord sur une définition, et cela leur permet de se comprendre entre eux et de pouvoir travailler ensemble plus efficacement.
L'utilisation que tu sembles vouloir faire de ton compas ne rentre pas de la définition "usuelle".
Cela ne veut pas dire que c'est un mauvais usage.


Certes rien ne t'empêche de définir de nouveaux objets, mais évite de les appeler de la même manière que des objets déjà existant et bien défini, car cela rend les choses peu claires et nous induit en erreur (ce qui est peut-être le but).

Quand tu parles dans ton premier post de "de coups de compas et règle", nous on entend implicitement "construction à la règle et au compas usuelle".
Si tu ne veux pas utiliser cette définition implicite, alors précise-le et explicite exactement ce que l'on a le droit ou pas de faire avec la règle et le compas.

D'ailleurs je peux te proposer une construction en 0 coup :
En partant de deux demi-droites tracées sur une feuille, il me suffit de plier la feuille de manière à superposer les deux demi-droites, et le pli ainsi obtenu est exactement la bissectrice.

#22 Re : Entraide (collège-lycée) » Donner une équation sous la forme (x + b)² + a = 0 » 06-09-2018 18:59:44

Salut,

On va dire ok pour le shéma (même s'il y avait moyen d'être plus précis avec Géogébra).

après j'ai d'autres idées pour l'équation ...

Quelles sont-elles ?

Je te donne le début :
Posons $x$ la longueur que l'on ajoute à chaque coté du triangle $ABC$.
On obtient ainsi un triangle $A'B'C'$ avec
$A'B' = ...$
$A'C' = ...$
$B'C' = ...$

Or d'après Pythagore...

#23 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Problème de complexité géométrique. » 06-09-2018 18:37:42

Salut,

Effectivement, il est possible de tracer un cercle avec un coup de compas... c'est tout l'intérêt du compas non ?

Je pense savoir d'où tu veux en venir.
On pose d'abord la mine du compas sur l'intersection des demi-droites, puis la pointe sur une des demi-droites ; et on trace le cercle.
C'est en effet faisable dans le monde réel, mais ce n'est pas ce qu'on entend classiquement quand on parle de construction au compas.

On peut toujours définir une nouvelle notion : la dattier-constructibilité, et il en découlerait sûrement quelques propriétés intéressantes ; mais on n'aurait alors pas le droit de sous-entendre que c'est la même chose que la constructibilité "classique" (à moins de le démontrer).

#24 Re : Café mathématique » Apprendre les mathématiques seul : Autodidacte et pédagogie » 05-08-2018 23:28:20

Salut,

Tu as une bien piètre opinion de l'université.
Un prof du supérieur sera plus à même d'en parler, mais je pense que les programmes de fac et de prépa sont assez proches.
La différence réside essentiellement dans l'objectif.

A l'université, il suffit de réussir l'examen pour pouvoir continuer. Un étudiant un peu fainéant peut passer d'année en année en travaillant juste le minimum.

En prépa, l'objectif est un concours, il faut être meilleur que le dernier pris. Et comme tout le monde travaille dur, tu dois aussi travailler dur.
Le contexte est différent aussi, en prépa, on impose une charge de travail importante (DST hebdomadaire, DM, khölle, ...), et même un élève fainéant travaille (j'en étais un).

A la fac, cette charge de travaille existe aussi théoriquement, mais elle n'est pas imposé. Un étudiant peut très bien ne rien glander sans qu'il ne lui arrive rien de fâcheux... jusqu'à l'examen final.
Mais rien n'empêche de bosser sérieusement. Je dirais même que la structure même de l'université permet un travail de meilleur qualité : accès à la bibliothèque universitaire très riche, labo de math avec des enseignants-chercheurs spécialisés,...
L'université française fourni l'un des meilleurs enseignements du monde.

J'en ai fini avec mon couplet moralisateur.



Pour répondre à ta question, oui c'est possible, et sans même avoir besoin de travailler 5h par jour (en plus des cours de la fac).
Je te déconseille même de travailler autant ; ce n'est pas évident de tenir un tel rythme sur le long terme. Il y a de grande chance que tu t’essouffles rapidement.

Normalement, si tu as suivi les cours à peu prés assidûment, tu as déjà les mêmes connaissances qu'un élève de prépa.
Pour l'égaler (ou même le surpasser), il te suffit de faire des exercices.
Prend un bouquin de prépa, et bouf toi tous les exo. Cela te permettra de raisonner plus rapidement et de "voir" plus facilement le bon chemin.

C'est comme pour les échecs, ce qui différencie un bon joueur d'un grand maître, c'est la quantité de problèmes résolus.

#25 Re : Café mathématique » Paire et impaire » 10-07-2018 15:23:18

Salut,

Sinon une autre solution : tu prends un deuxième paquet de 52 cartes et tu crées un nouveau paquet de carte en alternant une carte de chaque paquet en commençant par le deuxième.
Ainsi toutes les cartes du premier auront une position paire.

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