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Bonjour,
  Exercice intéressant! Evidemment, il faut revenir à la définition. Soit donc $\varepsilon>0$.
Puisque $f$ est uniformément continue, il existe $\eta>0$ tel que $|a-b|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Soit maintenant $x,y\in\mathbb R$ avec $|x-y|<\eta$. Sans perte de généralité, on peut supposer $x\leq y$.
On va prouver que $\sup_{[y,y+1]}f \leq \sup_{[x,x+1]}f+\varepsilon$.

Pour cela, puisque $f$ est continue sur un segment, il existe $a\in  [y,y+1]$ tel que $f(a)=\sup_{[y,y+1]}f$.
Si $a\in [x,x+1]$, alors $f(a)\leq \sup_{[x,x+1]}f$ et c'est bon! Sinon, $a\in ]x+1,y+1]$. Mais alors, $|a-(x+1)|<\eta$
et donc $f(a)\leq f(x+1)+\varepsilon\leq \sup_{[x,x+1]}f+\varepsilon.$

Par symétrie, on a aussi $\sup_{[x,x+1]}f \leq \sup_{[y,y+1]}f+\varepsilon$ ce qui prouve que $g$ est uniformément continue.

Pour la deuxième question, je te conseille de te ramener à la première question.

F.