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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Natsu hadder
- 20-11-2017 14:44:32
Aaah d'accord . Merci énormément à vous deux d'avoir éclairci cette nuance de doute en moi . Sur ce , bonne journée (année) :)
- Yassine
- 20-11-2017 10:29:33
Bonjour,
Ah , d'accord , je comprend mieux maintenant . Mais ne devrait il pas étudier deux cas ? si on revient à dire qu'ils sont différents alors ce sera soit p<p' soit p'<p , et on demontrera par une contradiction que c'est faux .
En fait, l'argument développé par Fred est important à comprendre. Il dit :
Quitte à permuter le rôle joué par (p,q) et (p',q'), on peut supposer que p<p'.
Comme on ne suppose rien de particulier sur (p,q) et (p',q'), la démonstration qui serait déroulée pour le cas p'<p est strictement la même que celle pour le cas p<p', à l'inversion des 'prime' près. Donc plutôt que de redire deux fois la même chose, on invoque cet argument de symétrie des variables.
Par exemple, si on te demande de démontrer une propriété sur deux entiers quelconques, tu commences par dire soit $x$ et $y$ deux entiers quelconques. Quitte à renommer les variables, on peut suppose $x \le y$.
Par contre, tu n'aurais plus le droit de le faire si on "spécialise" une des variable. Si on demande de vérifier une propriété pour un entier premier est un entier quelconque, on ne peux pas dire : soit $p$ premier et $n$ entier, quitte à bla bla, on peut supposer $p \le n$. Ici, il n'y a plus de symétrie dans les rôles joués par les deux variables et on aurait alors démontré la propriété que dans le cas où l'entier quelconque est supérieur au nombre premier.
- Nathan.h
- 20-11-2017 00:53:33
Re-bonsoir,
ça ne sert à rien de considérer ces deux cas, car ils reviennent aux mêmes, par contre les seuls cas que l'on pourrait effectivement considérer est soit p différent de p' (ce qui implique que l'un est supérieur à l'autre), ET/OU, q est différent de q'.
Or si on a q=q', du fait de l'équation : p-p' = 1/q'- -1/q, ce qui est équivalent à p=p', on a donc nécessairement p différent de p' ET q différent de q' (car dans tous les autres cas f est nécessairement injective)
- Natsu hadder
- 19-11-2017 23:43:57
Ah , d'accord , je comprend mieux maintenant . Mais ne devrait il pas étudier deux cas ? si on revient à dire qu'ils sont différents alors ce sera soit p<p' soit p'<p , et on demontrera par une contradiction que c'est faux .
- Nathan.h
- 19-11-2017 13:16:19
Il a pris p'-p>1 car il a posé au départ de sa démonstration par l'absurde que p'>p.
NB:car si l'application n'est pas injective et f(p,q)=f(p',q') cela implique que p soit différent de p' ou/et q est différent de q' et puisque p-p'=1/q' - 1/q, on a donc nécessairement, p différent de p'. Or les entiers relatifs sont ordonnées, on peut donc écrire cette inégalité
Ce qui revient à écrire : p'-p>0, or p' et p sont des entiers relatifs, donc p'-p est un entier naturel (car p'>p). Or le seul entier naturel strictement supérieur à 0 est 1, on peut donc écrire p'-p>=1 (l'inégalité stricte dans la démo donné me semble un peu imprudente voir exagérée)
- Natsu hadder
- 18-11-2017 23:39:04
Bonjour , Alors voilà j'ai parcouru d'anciennes discussion (probablement d'il y'a plus de 6ans) dans l'espoir de trouver la mèthode avec laquelle on peut montrer l'injectivité/surjectivité d'une application à deux variables et j'ai trouvé ceci .
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4823
J'ai compris qu'il fallait utiliser l'absurde et trouver à la fin une contradiction qui nous ménera à l'injection , mais je comprends toujours pas pourquoi on a pris exactement p'-p>1 alors qu'on pourrait prendre p'-p<1 ou bien p'-P<0 ou une autre proposition (ou plusieurs à la fois pour montrer que dans tous les cas c'est faux). Merci d'avance pour vos réponses . :)