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Bonjour,
on considère l'application donnée pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ par
$$
<Pf(\dfrac{H}{x^2}), \varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx -\dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln \epsilon]
$$
La question est de montrer que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est une distribution.
Voici ce que j'ai fait.
1. On commence par montrer que que $Pf(\dfrac{H}{x^2})$ est bien définie. On écrit le développement de Taylor avec reste de Lagrange d'ordre 2 de $\varphi$ au point $x$ au voisinage de 0:
$$
\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+ \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi), \xi \in (0,x)
$$
Ainsi, on a
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(0)}{x} dx+ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi ''(\xi) dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}+ \varphi'(0) \ln \epsilon
$$
Ainsi
$$
u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{a}+ \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx
$$
Ma question est: qu'est ce qu'on fait du terme $ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi) dx$?
Merci par avance.