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bib
06-11-2017 15:14:01

Bonjour,
soit $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ et soit $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Jessaye de montrer que la forme linéaire donnée par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <f T,\varphi>= <T,f \varphi>
$$
est continue.
Voici ce que j'ai fait:
soit $K$ un compact et soit $\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. On a
$$
|<fT,\varphi>|= |<T,f \varphi>| \leq C P_{K,m} (f \varphi)
$$
On a
$$
P_{K,m}(f \varphi)= \sup_{|\alpha|\leq m} |D^{\alpha} (f \varphi)
$$
et d'après Libniz, on a
$$
D^{\alpha} (f \varphi)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} (D^{\alpha-\beta} f )(D^\beta \varphi)
$$
Ma question est: comment on fait pour majorer $|D^{\alpha} (f \varphi)|$ par $\sup|D^\beta \varphi|$? (c'est la présence de $\sum_{\beta \leq \alpha}$ dans la formule qui me perturbe complétement.
Merci par avance.

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