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bib
12-11-2017 13:15:47

Bonjour,
s'il vous plaît, pour finir ce topic, si on calcule $f''$ en utilisant l'ipp, on trouve ceci:
$<f'',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}}(-2 \sin(a_{2k+1}).\varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}).\varphi (a_{2k}) + \sin(a_{2k+2}).\varphi (a_{2k+2})+\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$
La question est comment regrouper les termes pour avoir le bon résultat?
Merci par avance pour votre aide.

Bibib
12-11-2017 06:11:24

Bonjour,
C’est le regroupement qui m’interesse. Comment on regroupe ces termes? Please.

aviateur
11-11-2017 22:30:08

La formule 38 me semble correcte, encore que je n'ai pas vérifié les détails (i.e les signes.)
mais elle est maladroite : en effet les termes a_k  d'indice impairs sont regroupés (on voit donc un  facteur 2) qui est correct (au signe près)
mais le  terme en a_{2k+2} va se regrouper avec le terme a{2(k+1)}  qui est dans le terme suivant.

Normalement à la fin on doit avoir -2f(a_k) pour tout k.

Personnellement j'aurai écrit que f(x)=(-1)^{k+1} cos(x) sur [a_k,a_k+1]  (la parité n'intervient que dans l'exposant de(-1)

f' un peut  la même chose et puis regrouper le terme de bord \phi(a_{a_{j+1} } avec le suivant.

bib
11-11-2017 22:03:59

Oui $a_k=\pi/2+k\pi$.
S'il vous plaît,
1.alors la formule que j'obtiens dans mon post 38 est correcte?
2. comment vous repérer les points de discontinuités? S'il vous plaît. J'avais compris mais d'un coup je me suis mise à douter. Comment vous repérer les sauts?
3. Surtout que chez moi, les sauts sont les points $a_{2k}, a_{2k+1}$ et $a_{2k+2}$ et vous en appliquant la formule des sauts vous avez trouvé les sauts aux points $a_k$. Je ne comprend pas cette différence.
Merci par avance pour votre aide pour éclaircir ces trois points.

aviateur
11-11-2017 21:58:37

Je suppose que a_k=k \pi+Pi/2?
Les termes en les a_k ne s'annulent pas car  sin(a_k)=cos(kpi)=(-1)^k donc l y a bien des dirac

bib
11-11-2017 20:37:24

Mais pourquoi je n'obtient pas la même chose si je calcul en utilisant la définition?
On a
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
donc
$$
<f'',\varphi>=-<f',\varphi'>= - \sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi'(x) dx)
$$
puis par ipp on trouve que
$$
\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx = \sin(a_{2k+1}) \varphi (a_{2k+1}) - \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k}) - \displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx.
$$
et on fait pareil pour l'autre intégrale, on retrouve le résultat du post 38.
Pourquoi on ne trouve pas les Dirac en les points de discontinuités $a_k$? Où est le problème? S'il vous plaît.

aviateur
11-11-2017 18:19:59

Rebonjour
J'ai corrigé la dérivée mais ma remarque ne change pas.

D'abord je rappelle que la dérivée de |cos(x)| c'est donc la fonction g(x)=-signe(cos(x))  sin(x)

Donc g'' (au sens classique)= -signe(cos(x))  cos(x)

De plus g est discontinue en les points [tex]x_k=\pi/2+k\pi,k\in Z[/tex] avec un saut de -2.

On a donc[tex] g''(x)= -signe(cos(x))  cos(x)-2\sum_{k\in Z}\delta_{\pi/2+k\pi}
[/tex]

c[tex] g''(x)= -signe(cos(x))  cos(x)-2\sum_{k\in Z}\delta_{\pi/2+k\pi}
[/tex]

bib
11-11-2017 18:03:59

moi j'ai calculer f', pas de problème. Je cherche à calculer f''. J'ai posté ce que j'ai fait dans le post 38. Comment on calcule f''? S'il vous plaît.

aviateur
11-11-2017 17:55:53

Rebonjour, Non Bib tu te trompes, j'ai très bien compris la question (il s'agit de la dérivée au sens des distributions.)

Et j'ai vu que la solution était donné dans ton  premier post (voir ci dessous).

Bib a écrit :

. Par contre elle est continue sur tout R donc elle n'admet pas de sauts. Ainsi, (Tf)′=Tf′, mais comment calculer f′? S'il vous plaît.

Ce résultat est bien connu et c'est pourquoi (|sin(x)|)'= (cf ma correction dans mon premier post)  au sens des distributions.   

Souvent on illustre l'application de cette propriété à la fonction valeur absolue.

soit f(x)=|x|  alors   g(x)=-1  si x<0  et g(x)=+1 si x>=0. 

Alors f'=g (dist.) 

Par contre
[tex]
f''=g'=2\delta_0[/tex]

bib
11-11-2017 12:25:39

aviateur: on cherche les dérivées dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$, ce n'est donc pas pareil que dans $\mathbb{R}$ s'il y a des discontinuités.
Sinon merci de m'aider pour ma dernière question du post #38 s'il vous plaît.

aviateur
11-11-2017 11:36:49

Bonjour
Je ne vais pas m'amuser à lire tous les posts précédents et ma réponse est donc peut être déplacée.
Mais pour moi la dérivée de |cos(x)|  et |sin(x)| et je suis étonné de toute la littérature qui suit la question.

Non je corrige  la dérivé c'est  la fonction -sin(x) (quand cos(x) est > 0)   et    sin(x)  (quand cos (x) <0)   

bib
11-11-2017 09:52:04

Bonjour,
ah ok, en fait c'est aussi simple que ça. J'ai toujours tendance à croire que les choses sont compliquées. Merci beaucoup.
Pour le calcul de $f''$ s'il vous plaît. On a trouvé que $f'$ est donnée par
$$
<f',\varphi>= \sum_{k \in \mathbb{Z}}(\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x)\varphi(x) dx)
$$
Je souhaite calculer $f''$. J'ai fait de manière classique, et voici ce qu'on obtient:
$$
<f'',\varphi>=-<f',\varphi'>= \sum_{k \in \mathbb{Z}}(-2 \sin(a_{2k+1}).\varphi (a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}).\varphi (a_{2k})- \sin(a_{2k+2}).\varphi (a_{2k+2})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Mais je trouve ce résultat louche. On ne devrait pas trouver des dirac seulement aux points $a_{k}$ et pas aux points $a_{2k}$ et $a_{2k+1}$ et $a_{2k+2}$? Aussi je me rend compte que je ne sais pas appliquer la formule des sauts directement. Pouvez vous m'aider? S'il vous plaît.

Yassine
11-11-2017 09:17:53

Bonjour,
Je ne vois pas d'ou viennent les discontinuités dont tu parles.
La démarche est similaire à ce que tu dis, mais en plus simple : toute partie infinie de $\alpha\mathbb{Z}$ est non bornée (pour $\alpha \neq 0$, si elle était bornée, par un certain $M$, elle serait incluse dans $\{-M, -M+\alpha, -M+2\alpha,...,M\}$ qui est une partie finie. Pour $\alpha=0$, $\alpha\mathbb{Z}=\{0\}$).

bib
10-11-2017 21:17:29

$K \cap \alpha \Z \subset K$, donc $K$ est infini, et d'un autre côté, les points de discontinuité ne sont pas d'accumulation. Et le théorème de Bolzano dit que toute partie infini et borné admet un point d'accumulation. Donc $K$ n'est pas borné.
Si ce n'est pas ça alors pouvez vous me donner les grandes lignes de la preuve, je ne trouve pas de support pour m'inspirer et ma tête est vide

Yassine
10-11-2017 20:41:30

Non, ce n'est pas bon. Infini ne veut pas dire non borné. l'intervalle $[0,1]$ est infini et est pourtant borné.
Si le $\alpha$ te perturbe, tu peux l'oublier dans un premier temps.

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