Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le deuxième mot de cette phrase?

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Fred
05-11-2017 20:16:03

Ah, je comprends mieux! Alors tu as oublié quelque chose de très important, il y a des $1/2^k$ qui doivent être ajoutés!

Pour trouver le rayon de convergence, il suffit de revenir à la définition et regarder quand est-ce que, pour $R>0$, la série
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 1{2^k}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}\right)^k$ converge. C'est important d'abord pour justifier que l'on puisse développer correctement et permuter les sommes, afin d'obtenir réellement une série entière, et aussi pour le rayon de convergence.

Ici, ce n'est pas très dur, car
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}=e^R$$
et donc tu cherches les réels positifs $R$ pour lesquels la série
$$\sum_{k\geq 0}\frac1{2^k}e^{Rk}=\sum_{k\geq 0}\left(\frac{e^R}{2}\right)^k$$
converge.

MaT88
05-11-2017 19:55:53

Oui c'est exactement ça.
En effet, j'ai obtenu cette série en développant f(z)= [tex]\frac{1}{2-e^z}[/tex] en une série entière au voisinage de 0 et je cherche à trouver son rayon de convergence.

Fred
05-11-2017 18:10:19

Alors non, on ne peut pas en déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infinie.
D'abord, la première question à se poser est : quelle est la série entière extérieure? Est-ce que tu développes formellement la puissance $k$ qui est à l'intérieur, puis tu regroupes les termes de même degré???


F.

MaT88
05-11-2017 10:48:27

Ah oui vous avez raison, je me suis trompée en écrivant la borne supérieure de l'intégrale extérieure, c'est : [tex]\sum_{k=0}^{\infty}{(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z}{n!}}^n)}^k[/tex]

Fred
05-11-2017 10:04:06

Il y a un problème d'indice dans tes sommes. La somme extérieure ne peut pas être entre 0 et n si l'indice de sommation à l'intérieur est sur n...

MaT88
05-11-2017 07:58:09

Salut,

J' ai une question à propos du rayon de convergence d'une série entière.
Soit la série entière  [tex]\sum_{k=0}^{n}{(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z}{n!}}^n)}^k[/tex].
Sachant que le rayon de convergence de la série intérieure est infini je me demandais si on peut déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infini.

Merci.

Pied de page des forums