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Yassine
06-01-2018 09:59:13

Ah ok. J’avais vu ce concept de familles sommables mais j’ai oublié.
C’est en effet intéressant.

Dattier
05-01-2018 17:03:49

Salut,

Yassine a écrit :

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice...

Les termes de la série sont de même signe.

Cordialement.

Multimusicos
05-01-2018 16:25:35

Comment définit-on la convergence d'une suite [tex]u_{n,m}[/tex] ?

Cette convergence est définie dans le cadre des familles sommables, c'est une histoire de borne supérieure: les "sommes partielles" doivent être bornées, et la somme est alors définie comme la borne supérieure des sommes partielles. Voir la page Wikipédia.

Je connais cet exercice, il faut trouver une condition sur [tex]a[/tex] pour que [tex](\frac{1}{n^{2a}+m^{2a}})_{n,m\geqslant1}[/tex] soit sommable. C'est mieux si on a une idée du critère ([tex]a\gtrless1[/tex] je crois). Il peut être utile d'étudier d'abord le cas a=1.

Ça se résout par comparaison avec des familles notablement sommables ou non sommables, en utilisant entre autres des inégalités de convexité du type [tex](nm)^{2a}\leqslant\frac{n^{2a}+m^{2a}}{2}[/tex] ce qui permet de se ramener à des produits de Cauchy de série Riemanniennes genre:
[tex]\sum\limits_{n,m}\frac{1}{(nm)^{2a}}=\sum\limits_n\frac{1}{n^{2a}}\sum\limits_m\frac{1}{m^{2a}}[/tex]

Étonnant, non ?

Yassine
05-01-2018 11:30:10

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice.
Comment définit-on la convergence d'une suite $u_{n,m}$ ?
En particulier, est-ce que la définition est indépendante de la "manière" dont $(n,m)$ va tendre vers l'infini ?
Plus formellement, si on définit une telle limite, est-ce que pour toutes fonctions strictement croissantes $\varphi$ et $\psi$, la suite
$u_{\varphi(k), \psi(k)}$ tend vers la même limite au sens usuel (je pense que non) ?

yoshi
05-01-2018 06:51:17

Bonjour,

En remplaçant \frac par \dfrac, c'est mieux, non ?
Et d'ailleurs, cela m'a permis d'apercevoir ceci :
Déterminer les reels $a$ tels que cette série converge : [tex]\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}[/tex]
[tex]i^2[/tex] ou [tex]i^b[/tex] ?

Dattier
04-01-2018 23:59:46

Salut,

Mets un zoom à 150% tu devrais les voir, mais c'est vrai qu'ils sont écrits tout petit.

evaristos
04-01-2018 23:49:13

bonjour

Les lettres a et b n'apparaissent pas dans les énoncés!

Dattier
27-12-2017 21:31:44

Salut,

evaristos a écrit :

a et b?

Je ne comprends pas ta question.
Cordialement.

evaristos
17-12-2017 14:30:09

Bonjour

a et b?

Dattier
04-11-2017 12:49:08

Salut,


[tex]\textbf{doublement classique ?}\\
\text{Determiner les reels }a\text{ tel que cette serie converge : } \sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}
[/tex]



[tex]\textbf{doublement classique + ?}\\
\text{Determiner une CNS sur }(a,b)\in \mathbb{R}^2\text{ tel que cette serie converge : }
\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^b+j^a}[/tex]

Cordialement.

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