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bib
03-11-2017 19:59:07

Oui avec  ça on voit que $v(a)=0$ et par conséquent $v(b)=0$, mais comment on a l'idée de poser $v(t)=\displaystyle\int_a^t u(x) dx? D'où vient cette égalité? S'il vous plaît.

Fred
03-11-2017 19:46:14

Si tu poses directement $v(t)=\int_a^t u(x)dx$, je crois que c'est clair!

bib
03-11-2017 19:22:45

OK! J'ai compris le truc. Donc on résout l'équation $v'=u$. $u$ est continue et le coefficient de $v'$ est la fonction continue $1$ donc $v$ existe. Reste à prouver que ce $v$ est bien une fonction teste. Pour ça on intègre les deux membres de l'équation, et en utilisant l'hypothèse on obtient que $v(b)-v(a)=0$ donc $v(b)=v(a)$. Mais comment est ce que $v(a)=v(b)$ implique que $v \in \mathcal{D}(I)$? S'il vous plaît.

Fred
03-11-2017 18:49:18

En intégrant la relation $v'=u$ entre $a$ et $x$ bien sûr (après tout, $v'=u$ est une équation différentielle d'inconnue $v$, très simple bien entendu).

bib
03-11-2017 18:10:30

D'accord. Alors on doit montrer l'équivalence suivante:
$$
(\exists v \in \mathcal{D}(]a,b[): v'=u) <=> (\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0).
$$
On commence par montré l'implication dans le sens $=>$. On suppose qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. En intégrant les deux membres, on a $\displaystyle\int_a^b v'(x) dx = \displaystyle\int_a^b u(x) dx$ qui implique que $v(b)-v(a)= \displaystyle\int_a^b u(x) dx$. Comme $v \in \mathcal{D}(]a,b[)$, on a $v(a)=v(b)=0$ ainsi, $\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0$.

On montre maintenant l'implication inverse $<=$: on suppose que $\displaystyle\int_a^b u(x) dx=0$ et on montre qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. Ce qui me pose difficulté c'est comment on procède pour montrer qu'un tel $v$ existe? S'il vous plaît.

Fred
03-11-2017 16:11:51

Et si plutôt tu essayais de démontrer ce lemme? Ce n'est pas si dur, et cela ressemble beaucoup à d'autres résultats pour lesquels tu t'es fait aidé ici...

bib
03-11-2017 11:24:49

Merci c'est bien celle que j'avais. S'il vous plaît, comment prouver le lemme utilisé dans la preuve? Le lemme dit ceci: soit $u \in \mathcal{D}(I)$. Il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ tel que $v'=u$ si et seulement si $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} u=0$. Dans ces cas, $v$ est unique.
Merci par avance pour votre aide.

Fred
03-11-2017 10:09:13

Bonjour

  Il y en a une dans un exercice de de cette feuille. Je ne pense pas qu'on puisse faire vraiment plus simple.

F

bib
03-11-2017 10:00:21

Bonjour,
soit $T$ une distribution. Comment on montre que $T'=0$ ssi $T$ est une constante? S'il vous plaît.
J'ai trouvé une preuve mais trop longue, il y en a une simple et rapide?

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