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bib
06-11-2017 15:27:13

Bonjour,
j'ai une question un peu bête mais je la pose quand même.
$\log|x|$ est définie sur $\mathbb{R}^\star$, elle n'est pas définie au point $x=0$ alors comment elle peut être intégrable sur $\mathbb{R}$ tout entier? S'il vous plaît.

bib
05-11-2017 20:49:59

Ahhh ok!! On coupe l'intégrale en 0! J'avais peur de couper en 0 car $\log|x|$ n'est pas définie en 0. Merci beaucoup!

Fred
05-11-2017 20:48:14

Ou bien tu fais la même méthode avec le théorème de convergence dominée, ou bien tu coupes l'intégrale en deux en 0!!! Quand même, l'effort à faire ne me semble pas insurmontable!

bib
05-11-2017 20:44:13

$\displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx= \displaystyle\int_{-\epsilon}^{2\epsilon - \epsilon} \log|x|$ donc la limite est nulle. Mais vous, vous avez intégrer entre $a$ et $a+\epsilon$ et là on ajoute pas $\epsilon$ mais $2 \epsilon$! C'est pareil? S'il vous plaît.

Fred
05-11-2017 20:27:17

Je pense que si tu réfléchis 5 minutes de plus, tu vas trouver toute seule!!!

bib
05-11-2017 19:57:05

Je n'arrive pas à voir le lien avec $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx$. Qui joue le rôle de $a$? et qui joue le rôle de $\epsilon$? S'il vous plaît.

Fred
05-11-2017 19:45:22

Parce que si tu as une fonction intégrable $f$ disons sur $[a,b]$, on a toujours $\int_a^{a+\epsilon}f(t)dt\to 0$. Ceci se démontre en appliquant le théorème de convergence dominée à $f\mathbf 1_{[a,a+\epsilon]}$.

bib
05-11-2017 12:57:56

Désolée ce n'est pas du tout évident pour moi, je suis complétement bloquée sur ce point. Pourquoi c'est évident s'il vous plaît? Ou bien comment appliquer la convergence dominée ici? Merci de m'aider sur point

Fred
05-11-2017 00:13:37

C'est presque évident...ou alors applique le théorème de convergence dominée

bib
04-11-2017 20:08:00

S'il vous plaît, la distribution que définie $\log|x|$ sur $\mathbb{R}$ est pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$:
$$
<\log|x|,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
On écrit
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx=0$?

bib
02-11-2017 12:26:01

Ah c'est réglé, j'ai trouvé l'erreur. Merci beaucoup.

Fred
02-11-2017 11:18:27

Refais les encore alors (c'est la partie négative qui ne convient pas...)

bib
02-11-2017 10:20:24

Oui c'est ce que je pensais, mais j'ai refait les calculs et je trouve les même signes à chaque fois

Fred
02-11-2017 10:14:16

Ça me semble assez clair ! Tu t'es trompéede signe quelque part !

bib
02-11-2017 10:01:15

Ok, alors voici ce que j'ai fait. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On a:
$$
<(\log|x|)',\varphi>=-<\log|x|,\varphi'> = -\lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx)
$$
On applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx$. On a:
$$
\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx= [\log(-x) \varphi(x)]_{-a}^{\epsilon}+ \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx = -\lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Puis on applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx$. On trouve
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= [\log(x) \varphi(x)]_{\epsilon}^a -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))+ \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Donc
$$
<(\log|x|)',\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x}dx - \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx)
$$
Je n'obtiens pas $vp \dfrac{1}{x}$. Où est le problème? S'il vous plaît.

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