Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » (log |x|)'
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bib
- 06-11-2017 16:27:13
Bonjour,
j'ai une question un peu bête mais je la pose quand même.
$\log|x|$ est définie sur $\mathbb{R}^\star$, elle n'est pas définie au point $x=0$ alors comment elle peut être intégrable sur $\mathbb{R}$ tout entier? S'il vous plaît.
- bib
- 05-11-2017 21:49:59
Ahhh ok!! On coupe l'intégrale en 0! J'avais peur de couper en 0 car $\log|x|$ n'est pas définie en 0. Merci beaucoup!
- Fred
- 05-11-2017 21:48:14
Ou bien tu fais la même méthode avec le théorème de convergence dominée, ou bien tu coupes l'intégrale en deux en 0!!! Quand même, l'effort à faire ne me semble pas insurmontable!
- bib
- 05-11-2017 21:44:13
$\displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx= \displaystyle\int_{-\epsilon}^{2\epsilon - \epsilon} \log|x|$ donc la limite est nulle. Mais vous, vous avez intégrer entre $a$ et $a+\epsilon$ et là on ajoute pas $\epsilon$ mais $2 \epsilon$! C'est pareil? S'il vous plaît.
- Fred
- 05-11-2017 21:27:17
Je pense que si tu réfléchis 5 minutes de plus, tu vas trouver toute seule!!!
- bib
- 05-11-2017 20:57:05
Je n'arrive pas à voir le lien avec $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx$. Qui joue le rôle de $a$? et qui joue le rôle de $\epsilon$? S'il vous plaît.
- Fred
- 05-11-2017 20:45:22
Parce que si tu as une fonction intégrable $f$ disons sur $[a,b]$, on a toujours $\int_a^{a+\epsilon}f(t)dt\to 0$. Ceci se démontre en appliquant le théorème de convergence dominée à $f\mathbf 1_{[a,a+\epsilon]}$.
- bib
- 05-11-2017 13:57:56
Désolée ce n'est pas du tout évident pour moi, je suis complétement bloquée sur ce point. Pourquoi c'est évident s'il vous plaît? Ou bien comment appliquer la convergence dominée ici? Merci de m'aider sur point
- Fred
- 05-11-2017 01:13:37
C'est presque évident...ou alors applique le théorème de convergence dominée
- bib
- 04-11-2017 21:08:00
S'il vous plaît, la distribution que définie $\log|x|$ sur $\mathbb{R}$ est pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$:
$$
<\log|x|,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
On écrit
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx=0$?
- bib
- 02-11-2017 13:26:01
Ah c'est réglé, j'ai trouvé l'erreur. Merci beaucoup.
- Fred
- 02-11-2017 12:18:27
Refais les encore alors (c'est la partie négative qui ne convient pas...)
- bib
- 02-11-2017 11:20:24
Oui c'est ce que je pensais, mais j'ai refait les calculs et je trouve les même signes à chaque fois
- Fred
- 02-11-2017 11:14:16
Ça me semble assez clair ! Tu t'es trompéede signe quelque part !
- bib
- 02-11-2017 11:01:15
Ok, alors voici ce que j'ai fait. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On a:
$$
<(\log|x|)',\varphi>=-<\log|x|,\varphi'> = -\lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx)
$$
On applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx$. On a:
$$
\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx= [\log(-x) \varphi(x)]_{-a}^{\epsilon}+ \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx = -\lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Puis on applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx$. On trouve
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= [\log(x) \varphi(x)]_{\epsilon}^a -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))+ \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Donc
$$
<(\log|x|)',\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x}dx - \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx)
$$
Je n'obtiens pas $vp \dfrac{1}{x}$. Où est le problème? S'il vous plaît.