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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

sbl_bak
03-11-2017 17:12:26

Merci pour la réponse.
Effectivement le produit ne part pas de 1 mais de 2, d'ou l'étude par le log;

Alors strictement convergent cela signifie par définition :
Soit $(u_k)_k$ une suite de $\mathbb{C*}$. Pour $n\geq 1$, on pose $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$.
Si la suite $(p_n)_{n\geq 1}$ converge dans  $\mathbb{C*}$, on dit que le produit infini $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$ est strictement convergent et on pose

$\displaystyle\prod_{k\geq 1}u_k = lim_ {n} p_n$

Je vous avoues, je suis un peu perdu dans l'étude de la convergence des produit infini

Fred
03-11-2017 16:41:11

Bonjour,

  Si le produit part bien de 1, alors il vaut $0$ car $k^3-1=0$ pour $k=1$....
Ca veut dire quoi la convergence n'est pas stricte????

F.

sbl_bak
03-11-2017 16:34:11

Bonjour,

Vous trouverez un autre exemple : $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$,
1- montrer que le produit est strictement convergent ou non.
2 - s'il converge alors calculer la valeur si possible.

1 ) Je vais donc utiliser le Log.

$\ln(p_N)=\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1}) = ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³)$

Pour n assez grand nous avons
$ln(1-1/k³) = -1/k³ + o(1/k³)$
$ln(1+1/k³) = 1/k³ + o(1/k³)$

d’où $ ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³) = -2/k³ +o(1/k³)$ , conclusion $\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1})$ converge.

D’où la convergence de $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$. La convergence n'est pas stricte.

2) Je ne vois pas comment calculer la valeur (d'ailleurs est ce possible ? comme l'annoncé l’énoncé)

Merci d'avance

Fred
02-11-2017 21:16:01

Oui c'est cela. Mais il faut bien dire que c'est assez rare que l'approche directe donne un résultat. On a vraiment eu de la chance qu'il y ait autant de simplifications !

sbl_bak
02-11-2017 20:46:04

Effectivement c'est clair.
On peut conclure que l'approche "par le Log" nous donne une information seulement de convergence du produit.
Tandis que le calcul direct permet de calculer la valeur est d'affirmer la convergence strict ou pas.

Fred
02-11-2017 20:21:24

Non ça ne veut pas dire que la série converge vers zero ça veut simplement dire qu'elle converge !

sbl_bak
02-11-2017 20:11:32

Bonjour,

Je vois la simplification, ce qui donne : $p_N=\frac{N+1}{2N}$ d’où la convergence de$p_N$ vers 1/2.
Il y a convergence strict.

Par contre avec la méthode "Log" on obtient un équivalent à $1/n²$ ce qui montre que la série convergence vers 0.

donc à partir $p_N=exp(\sum_{n=2}^N \ln\left(1-\frac 1{n^2}\right)).$ $p_N$ converge vers 1.

Donc deux valeurs il y a une erreur quelque part, et je pense que je n'ai pas bien exploité le Log.

Merci d'avance

Fred
01-11-2017 18:22:47

En fait, tu as plein de simplifications dans ces 3 produits. Si tu écris cela sans les produits infinis, mais avec des pointillés, tu as

$$p_N=\frac{(1\times 2\times \cdots\times N-1)\times(3\times 4\times\cdots \times N+1)}{(2\times 3\times\cdots\times  N)\times (2\times 3\times\cdots\times N)}.$$

Vois-tu mieux les simplifications que tu peux faire??

F.

sbl_bak
01-11-2017 10:43:45

Bonjour,

Effectivement, en passant par le log on étudie directement la convergence de la série
car $p_N = exp(\sum log(p_N)$ d’où $log(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln(p_N)$

Donc on a $log(1-1/n²) = -1/n² + o(1/n²)$ d’où la convergence de la série.

Ce que je voulais dire par arrangement c'est de travailler sur le produit infini sans utiliser le log (effectivement ce n'est pas clair dans mon premier post).

J'ai la correction que je ne comprends pas, qui est :

$p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²}) = \prod_{2}^{N}(n-1)\prod_{2}^{N}(n+1)\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²} =\prod_{1}^{N-1}n \prod_{3}^{N+1}n\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²}$, jusqu'à la tout va bien mais je ne sais pas exploiter les 3 produits infinis

Merci pour votre aide

Fred
31-10-2017 21:54:51

Bonjour,

  Je ne sais pas ce que cela veut dire "des arrangements" sur le produit infini. Dans le cas qui t'intéresse, c'est assez simple!

Etudier la convergence de $p_N$, c'est pareil que d'étudier la suite $\ln(p_N)$. Mais
$$\ln(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln\left(1-\frac 1{n^2}\right).$$
Tu te ramènes donc à étudier la convergence d'une série.
Il est très simple de vérifier ici que cette série converge, grâce à un équivalent du terme général.

F.

sbl_bak
31-10-2017 21:37:39

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour l'étude de la converge de  $p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²})$ en utilisant des arrangement sur le produit infini.
Je vous avoues que j'ai du beaucoup de mal à travailler avec les produits infini.
De plus, auriez vous des liens web sur un cours élémentaire sur la manipulation des $\prod$?
merci d'avance pour les conseils.

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