Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci pour la réponse.
Effectivement le produit ne part pas de 1 mais de 2, d'ou l'étude par le log;

Alors strictement convergent cela signifie par définition :
Soit $(u_k)_k$ une suite de $\mathbb{C*}$. Pour $n\geq 1$, on pose $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$.
Si la suite $(p_n)_{n\geq 1}$ converge dans  $\mathbb{C*}$, on dit que le produit infini $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$ est strictement convergent et on pose

$\displaystyle\prod_{k\geq 1}u_k = lim_ {n} p_n$

Je vous avoues, je suis un peu perdu dans l'étude de la convergence des produit infini

Bonjour,

Vous trouverez un autre exemple : $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$,
1- montrer que le produit est strictement convergent ou non.
2 - s'il converge alors calculer la valeur si possible.

1 ) Je vais donc utiliser le Log.

$\ln(p_N)=\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1}) = ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³)$

Pour n assez grand nous avons
$ln(1-1/k³) = -1/k³ + o(1/k³)$
$ln(1+1/k³) = 1/k³ + o(1/k³)$

d’où $ ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³) = -2/k³ +o(1/k³)$ , conclusion $\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1})$ converge.

D’où la convergence de $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$. La convergence n'est pas stricte.

2) Je ne vois pas comment calculer la valeur (d'ailleurs est ce possible ? comme l'annoncé l’énoncé)

Merci d'avance

Effectivement c'est clair.
On peut conclure que l'approche "par le Log" nous donne une information seulement de convergence du produit.
Tandis que le calcul direct permet de calculer la valeur est d'affirmer la convergence strict ou pas.

Bonjour,

Je vois la simplification, ce qui donne : $p_N=\frac{N+1}{2N}$ d’où la convergence de$p_N$ vers 1/2.
Il y a convergence strict.

Par contre avec la méthode "Log" on obtient un équivalent à $1/n²$ ce qui montre que la série convergence vers 0.

donc à partir $p_N=exp(\sum_{n=2}^N \ln\left(1-\frac 1{n^2}\right)).$ $p_N$ converge vers 1.

Donc deux valeurs il y a une erreur quelque part, et je pense que je n'ai pas bien exploité le Log.

Merci d'avance

Bonjour,

Effectivement, en passant par le log on étudie directement la convergence de la série
car $p_N = exp(\sum log(p_N)$ d’où $log(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln(p_N)$

Donc on a $log(1-1/n²) = -1/n² + o(1/n²)$ d’où la convergence de la série.

Ce que je voulais dire par arrangement c'est de travailler sur le produit infini sans utiliser le log (effectivement ce n'est pas clair dans mon premier post).

J'ai la correction que je ne comprends pas, qui est :

$p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²}) = \prod_{2}^{N}(n-1)\prod_{2}^{N}(n+1)\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²} =\prod_{1}^{N-1}n \prod_{3}^{N+1}n\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²}$, jusqu'à la tout va bien mais je ne sais pas exploiter les 3 produits infinis

Merci pour votre aide

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour l'étude de la converge de  $p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²})$ en utilisant des arrangement sur le produit infini.
Je vous avoues que j'ai du beaucoup de mal à travailler avec les produits infini.
De plus, auriez vous des liens web sur un cours élémentaire sur la manipulation des $\prod$?
merci d'avance pour les conseils.