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Fred
30-10-2017 22:48:18

C'est ce que j'essaie de te dire depuis un bon moment. Sauf que la condition est aussi suffisante (ne me demande pas pourquoi d'ici 5 minutes, je suis sûr que si tu réfléchis un peu, tu trouveras seule).

bib
30-10-2017 22:23:33

Aaaaah non je suis idiote. Tout va bien, je m'étais trompé. $C=e^{-a} \varphi(-a)$.
Donc la méthode de mon poste est la bonne?

Fred
30-10-2017 22:17:55

Mais pourquoi donc  $ C=e^a $???

bib
30-10-2017 21:33:22

La solution générale est
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
avec $C=e^a$ (en appliquant la méthode di facteur intégrale)
Si on veut que $\varphi$ soit à support compact, il faut que $Supp(\varphi) \subset [-M,M]$ avec $M > 0$.
$\varphi(-M)=0$ implique que $C e^{-M}=0$ qui implique que $C=0$ mais cela n'est pas possible puisque $C=e^{-a}$! Donc que faire?

Fred
30-10-2017 21:25:29

Qu'est-ce qui ne te plait pas dans ce qui a été dit plus tôt??????
Tu supposes que $\varphi$ est à support compact, disons dans $[-b,b]$ avec $b\geq a$. Tu regardes ce que ça fait en $-b$ pour déduire que $C=0$, puis en $b$ etc.....

bib
30-10-2017 21:14:07

Non c'est $Supp (\psi) \subset [-a,a]$ et je cherche à montrer que $\varphi$ donnée par
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C= e^a$ (j'ai pris en compte votre dérnière remarque)
est à support compact.
Comment on fait exactement? S'il vous plaît.

Fred
30-10-2017 21:02:25
bib a écrit :

Ah alors c'est bon? Merci beaucoup.
Mais j'ai une question qui me gêne. On a supposé que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.

$\psi$ ou $\varphi$???

La solution générale est de la forme
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
1. Comment expliquer le passage à l'écriture
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$

Tu peux prendre pour $x_0$ n'importe quelle valeur. Pourquoi pas $a$???

F.

bib
30-10-2017 20:16:15

Ah alors c'est bon? Merci beaucoup.
Mais j'ai une question qui me gêne. On a supposé que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.
La solution générale est de la forme
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
1. Comment expliquer le passage à l'écriture
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
2. Pourquoi on pose les conditions selon les bornes du compact $[-a,a]$ qui contient $Supp(\psi)$?
S'il vous plaît.

Fred
30-10-2017 20:03:16
bib a écrit :

S'il vous plaît donnez moi les grandes lignes pour trouver ces conditions pour lesquels $\varphi$ est à support compact

C'est exactement ce que je suis en train de faire, non?????

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu dis que la condition n'est pas suffisante!!!

bib
30-10-2017 19:48:51

Pourquoi c'est faux? S'il vous plaît.
Et j'ai aussi un autre problème. La solution générale est en fait
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
Avant de poster j'ai passé des semaines pour trouver la condition et là je suis complétement perdue. S'il vous plaît donnez moi les grandes lignes pour trouver ces conditions pour lesquels $\varphi$ est à support compact, j'ai vraiment besoin de comprendre et je n'ai pas d'exemple bien fait sous la main. Merci par avance pour votre aide.

Fred
30-10-2017 19:37:28
bib a écrit :

Donc pour trouver la condition, on passe par deux étapes:
$\varphi(-a)$ doit être 0 donc $\varphi(-a)=C e^{-a}+ e^{-a} \displaystyle\int_{-a}^{-a} e^s \psi(s) ds=0$ implique que $C=0$
et
$\varphi(a)$doit être 0 donc $\varphi(a)= e^a \displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$ la condition est $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds$.
Donc pour que $\varphi$ soit à support compact, il est nécessaire que $C=0$ et $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$.
Mais ce n'est pas une condition suffisante.

Ah bon, pourquoi???

bib
30-10-2017 19:27:43

Donc pour trouver la condition, on passe par deux étapes:
$\varphi(-a)$ doit être 0 donc $\varphi(-a)=C e^{-a}+ e^{-a} \displaystyle\int_{-a}^{-a} e^s \psi(s) ds=0$ implique que $C=0$
et
$\varphi(a)$doit être 0 donc $\varphi(a)= e^a \displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$ la condition est $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds$.
Donc pour que $\varphi$ soit à support compact, il est nécessaire que $C=0$ et $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$.
Mais ce n'est pas une condition suffisante.
C'est correct?
Si oui, est-ce qu'on peut trouver une condition suffisante?

Fred
30-10-2017 19:21:01

Prouve d'abord que C=0 en faisant  $ x=-a $ puis trouve une condition nécessaire en faisant $ x=a $ .

F

bib
30-10-2017 18:34:45

Bonjour,
Dans la question soit $\psi \in \mathcal{D}(\R)$ prouver qu'il existe $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ solution de $\varphi'+\varphi=\psi$ je pense qu'on s'est trompé dans les conditions pour que $\varphi$ soit à support compact.
On a trouver que la solution générale de l'équation est
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
et puisque $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on peut écrire
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C$ est une constante quelconque.
Ma question est: s'il vous plaît, qu'est ce qu'il faut écrire exactement pour voir quand $\varphi$ est à support compact?

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