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Fred
01-11-2017 20:52:44

Si par exemple $(T_{g})'=\delta_a+T_{g'}$ alors $(T_{g})''=\delta_a'+(T_{g'})'$ et tu appliques la formule des sauts pour déterminer $(T_{g'})'$...

bib
01-11-2017 19:32:25

Je ne suis pas sure de bien comprendre votre message.
1. Mes calculs sont bien correctes?
2. Ensuite, la formule des sauts nous donne $(T_g)'$ c'est à dire la dérivée de la distribution que définie $g$, et s'il y a des sauts alors $(T_g)'$ n'est pas égale à $T_{g'}$. Comment on applique la formule des sauts pour obtenir $T_{g''}$? S'il vous plaît.

Fred
01-11-2017 18:25:14

Tu peux appliquer la formule des sauts directement à $T_{g'}$ puis à $T_{g''}$. Mais il n'y a pas une formule qui te donnera directement $T_{g}''$ en fonction de $T_{g''}$ car:
1. il faut tenir compte des masses de Dirac qui apparaissent dans la formule des sauts pour calculer la dérivée première
2. $g'$ peut avoir des points de discontinuité différents de ceux de $g$...

F.

bib
01-11-2017 17:40:03

Comment on fait? Je sais calculer de la manière suivante:
1. Calcul de $(T_g)''$: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)'',\varphi>=-<(T_g)',\varphi'>= 2\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - 2\displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi'(x) dx
$$
en utilisant l'ipp on obtient que
$$
<(T_g)'',\varphi>=-2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx).
$$
Donc
$$
(T_g)''= -2 (\chi_{]-\infty,0[}+\chi_{[0,+\infty[}).
$$

2. Calcul de $(T_g)'''$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)''',\varphi>=-<(T_g)'',\varphi'>= 2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi'(x) dx)=0
$$
donc
$$
(T_g)'''=0.
$$

S'il n y a pas d'erreur, j'ai une question. Le théorème des sauts donne la dérivée première. Est-ce qu'il y a une formule directe qu'on peut utiliser pour calculer les dérivées d'ordre $\alpha$ supérieure ou égale à 2? S'il vous plaît.

Fred
01-11-2017 17:04:24

Pourquoi pas ?

bib
01-11-2017 11:15:06

Bonjour,
pour la fonction $g(x)=x|x|$ définie sur $\mathbb{R}$ on remarque que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ et elle n'a pas de sauts. Donc on a $(T_g)'= T_{g'}$. Puisque
$$
g'(x)=
\begin{cases}
-2x &:x \in ]-\infty,0[\\
2x &x \in [0,+\infty[
\end{cases}
$$
on remarque que $g' \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ donc elle définie alors une distribtion par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T_{g'},\varphi> = -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx +2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
$$
et
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <(T_g)',\varphi>= <T_{g'},\varphi>
$$

Maintenant je cherche à calculer $(T_g)''$. On a la première méthode qui consiste à écrire $<(T_g)'',\varphi>= -<(T_g)',\varphi'>$ puis on fait l'intégration par parties.
Ma question est est-ce qu'on peut calculer $(T_g)''$ directement en utilisant le théorème des sauts?

Fred
31-10-2017 14:40:48

Je crois que tu ne comprends pas que l'on a une seule fonction  $f' $  même si elle s'exprime différemment suivant l'intervalle où on se place... Donc il n'y aucun problème pour définir la distribution associée.

F.

bib
31-10-2017 13:19:45

Oui, et donc comment on applique la formule donnée par le théorème des sauts? S'il vous plaît. Plus précisément, qu'est ce qu'on prend comme $T_{f'}$?

Fred
30-10-2017 22:34:12

De la même façon que dans l'exemple précédent ! Tu as deux expressions différentes suivant le signe de  $ x $

bib
30-10-2017 22:01:52

Si on a par exemple la fonction $g(x)= x |x|$ sur $\mathbb{R}$, elle est $C^1$ parmorceaux.
D'abord, d'après la définition des sauts, le saut en 0 est la différence entre la limite de la fonction à droite de 0 et à gauche de 0. Mais là ça nous donne 0.  Donc il n y pas de saut en 0.
1. Les points où il y a un saut sont seulement ceux où on n'a pas la continuité, c'est bien ça?
2. Ensuite pour appliquer le théorème des sauts, on a besoin de $g'$,mais comment le calculer ici? ou bien il s'agit de $g'$ au sens des distributions et pas au sens fort?

Fred
30-10-2017 20:23:31

Tu n'as pas deux $f'$. Au départ, est-ce que tu as l'impression d'avoir deux $f$???? C'est juste que $f'$ est définie par deux formules différentes sur deux intervalles. En mettant des fonctions caractéristiques, tu peux avoir une seule formule si ça te chante...

bib
30-10-2017 20:15:38

Mais là on a trouvé deux $f'$, et dans la formule des sauts il n y a qu'un seul $f'$. Lequel on choisit? Ou bien il doit y avoir une somme dans la formule des sauts?

Fred
30-10-2017 20:04:28

Sur chaque intervalle (ouvert) où $f$ est dérivable. Dans ton cas, $f'=0$ sur $]0,1[$ et $f'=-1$ sur $]1,2[$.

Par ailleurs, je crois qu'il y a un problème de signe dans ton IPP.

bib
30-10-2017 19:59:12

Le théorème des sauts dit ceci: soit $f$ de classe $C^1$ par morceaux, et discontinue en $a_1,...,a_p$. Soit $\sigma_i$ un saut en $a_i$. c'est à dire que $\sigma_i= \lim_{x \to a_i^+} f(x)-\lim_{x \to a_i^-} f(x)$, donc
$$
(T_f)'= T_{f'} + \sum_{i=1}^n \sigma_i \delta_{a_i}
$$
Ma question est: je ne comprend pas la signification de $f'$ c'est la dérivée de $f$ dans quel intervalle? Par exemple dans l'exemple $f$ que j'ai donné, comment on calcul $f'$ pour appliquer le théorème des sauts directement? S'il vous plaît.

Fred
30-10-2017 18:38:00

Tu traces sa courbe représentative!!!!!

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