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bib
27-10-2017 20:10:10

Bonjour,
la question est de résoudre les problèmes de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=0
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=1
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
y'+\sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0\\
y(0)=\sqrt{5}
\end{cases}
$$

Le problème est que je n'arrive pas à calculer $-\displaystyle\int_{x_{0}}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds$.
Alors ma question est
1. Comment voir qu'il est impossible de calculer la valeur exacte de $-\displaystyle\int_{x_{0}}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds$?
2. C'est quoi le but de la question résoudre les trois problèmes de Cauchy or qu'on ne sait pas calculer l'intégrale?

Voici ce que j'ai essayé de faire. Pour trouver la solution générale de l'équation $y'+ \sqrt{1+x^2} e^{-x} y=0$, on remarque que $y=0$ est une solution de l'équation. On cherche maintenant les solution $y \neq 0$, alors il existe $x_0$ tel que $y(x_0) \neq 0$ et puisque $y$ est continue alors il existe $V \in \mathcal{V}(x_0)$ t.q $\forall x \in V: y(x) \neq 0$. On pose $y(x_0)=y_0 \neq 0$ et on a:
$$
\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{y'(s)}{y(s)} ds = -\displaystyle\int_{x_0}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds
$$
qui implique que la solution générale du problème est de la forme
$$
y(x)= y_0 \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)
$$
où $y_0$ est une constante réelle quelconque.
Maintenant pour chaque problèmes de Cauchy, on a
$y(0)=0$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=0$ implique que $y_0=0$ donc $y=0$.
et
$y(0)=1$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=1$ implique que $y_0  = \exp(\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)$
et
$y(0)=\sqrt{5}$ implique que $y_0  \exp(-\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)=\sqrt{5}$ implique que  $y_0= \sqrt{5} \exp(\displaystyle\int_0^x e^{-s} \sqrt{1+s^2} ds)$
C'est une bonne solution?

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