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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Yassine
- 27-10-2017 11:59:22
Bonjour,
Attention, il y a des coquilles dans ce que tu as écris pour le cas $n=2$,
tu as écris
$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap_{i=1}^2A_i$
Alors que c'est plutôt
$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\cup(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)) \cup \bigcap_{i=1}^2A_i$
Pour l’hérédité, il faut écrire
$\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i = \bigcup_{i=1}^{n}A_i \cup A_{n+1}$
Tu appliques le cas $n=2$ à cette égalité pour avoir
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) + \mu\left(A_{n+1}\right) - \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\cap A_{n+1}\right)$
Utilise la distributivité de l'union pour transformer le troisième terme du deuxième membre en une intersection. Tu pourras alors appliquer l'hypothèse de récurrences au premier et troisième terme (transformé) et regrouper tous les termes.
Tu peux aussi chercher sur le net avec les mots clés "formule du crible", souvent rencontrée en probabilités.
- lekoue
- 27-10-2017 09:48:04
j'ai essayé de faire la preuve pour [tex]n=2[/tex]
D'une part [tex](A_i)_{i=1,2}\in\mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^2A_i\in\mathscr{F}[/tex] car [tex]\mathscr{F}[/tex] est une tribu.
D'autre part, [tex]\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap_{i=1}^2A_i[/tex] et les ensembles [tex]A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex], [tex]A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] et [tex]\bigcap_{i=1}^2A_i[/tex] sont deux à deux disjoints et il s'en suit donc de la définition de [tex]\mu[/tex] que [tex]\mu(\bigcup_{i=1}^2A_i)=\mu(A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))+\mu(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))+\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i).[/tex] or [tex]\bigcap_{i=1}^2A_i\subset A_i, i=1,2 [/tex] et il resulte donc de l'additivité finie de [tex]\mu[/tex] que [tex]\mu(A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))=\mu(A_1)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] et [tex]\mu(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)) = \mu(A_2)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] (car [tex]\mu[/tex] est une mesure finie). D'ou
[tex]\mu(\bigcup_{i=1}^2A_i) = \mu(A_1)+\mu(A_2)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex].
Question: comment raisonner pour tout [tex]n> 2(n\in\mathbb{N})?[/tex]
- Roro
- 26-10-2017 20:35:50
Bonsoir lekoue,
A tout hasard : as-tu essayé par récurrence ?
Roro.
- lekoue
- 26-10-2017 16:48:07
Bonjour chers tous, svp j'ai besoin d'un lien pour la preuve de la formule [tex](1.1)[/tex] de Poincaré suivante:
Soit [tex]\mu[/tex] une mesure finie sur [tex](\Omega,\mathscr{F}).[/tex] Pour tout entier [tex]n\ge 2[/tex] et tous [tex]A_i (1\le i\le n)[/tex] éléments de [tex]\mathscr{F},[/tex] on a:
[tex]\mu(\bigcup_{i=1}^nA_i) = \sum\limits_{i=1}^n\mu(A_i)+\sum\limits_{k=2}^n(-1)^{k+1}\sum\limits_{1\le i_1<i_2\ldots<i_k\le n}^n\mu(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\;\;\;\;\;\; (1.1)[/tex]
ou bien si quelqu'un peut m'aider (où m'indiquer les grand points) de la preuve ça sera génial.
Merci!