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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 25-10-2017 09:57:29
Bonjour,
Comme le dit Yassine, le point clé est de calculer l'exponentielle de la matrice $A$. Ceci est facilité ici par le fait que son polynôme caractéristique est $(X+1)^3$. Ainsi, par le théorème de Cayley-Hamilton, on a $(A+I_3)^3=0$. On écrit ensuite $tA=t(A+I_3)-tI_3$ et donc, puisque les deux matrices commutent, $\exp(tA)=\exp( t(A+I_3))\exp(tI_3)$. Le calcul de la première exponentielle est facile en utilisant la série car, avec la relation $(A+I_3)^3=0$, on ne doit garder que deux termes.
Cet exercice est très proche de ce que tu dois faire. Son corrigé est détaillé.
F.
- Yassine
- 24-10-2017 18:10:22
Bonsoir,
Je ne suis pas un spécialiste, mais par analogie avec le cas dim=1, tu peux écrire $X'_t = AX_t + \beta$ où $X_t$ désigne le vecteur $\left(x(t), y(t), z(t)\right)^T$, $A$ une matrice $3\times 3$ et $\beta$ un vecteur non dépendant de $X_t$ ($\left(1, -e^t, 2e^t\right)$ dans ton cas).
La solution de l'équation homogène $X'_t = AX_t$ est de la forme $X_t = exp(At)$.
Voir ici pour une discussion sur l'exponentielle d'une matrice.
- oussama96
- 24-10-2017 13:20:34
Bonjour tout le monde,
On considère le système (S) d'équations différentielles suivant:
x′(t) = x(t) + 2y(t) + 1
y′(t) = −3x(t) − 3y(t) + z(t) − exp(t)
z′(t) = 2x(t) + 2y(t) − z(t) + 2exp(t)
comment résoudre ce probleme on utilisant la méthode d'exponentielles d'une matrice ?
merci d'avance