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bib
22-10-2017 19:46:25

non, c'est parce que la fonction $\dfrac{1}{x}$ est symétrique alors on a $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$. Désolée pour la question idiotte, ce point est réglé.

Fred
22-10-2017 19:39:56
bib a écrit :

Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$

C'est quoi cette règle ? Si la fonction est x^2 tu en penses quoi ?


et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.

bib
22-10-2017 19:18:29

Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$
et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.

bobo
22-10-2017 00:22:29

une primitive de 1/x c'est ln(|x|) au passage.

bib
21-10-2017 22:35:26

et pour le théorème d'intégration? Quand est-ce que sait qu'il faut l'utiliser et qu'est ce qu'il nous donne? S'il vous plaît.

Fred
21-10-2017 21:32:24

Le développement de Taylor permet de mettre en valeur les termes dominants de la fonction. On l'utilise jusqu'à cequ'il n'y ait plus de problèmes avec le reste.

bib
21-10-2017 19:06:44

Je veux dire qu'il est clair qu'il y a un problème en 0 avec la fonction $\dfrac{\varphi(x)}{x}$ qui n'est pas définie en 0. Alors quelle information on espère trouver par un développement de Taylor ou bien l'utilisation du théorème de calcul intégrale? S'il vous plaît. Est-ce qu'on espère la disparition du $x$ au dénominateur?

bib
21-10-2017 10:44:30

Quand il y a un problème en 0, on fait un développement de Taylor avec reste de Young par exemple, ou bien on utilise le théorème du calcul intégral pour connaître le comportement de la fonction en 0. Comment cela nous donne des informations sur le comportement de la fonction en 0? S'il vous plaît.

bib
20-10-2017 23:32:35

Je suis vraiment idiotte, j'ai oublié d'appliquer la relation $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$, donc le tout donne 0.

Fred
20-10-2017 22:22:30

Oh!!!! $\ln(-\epsilon)$!!!!! Sur quel intervalle est défini le logarithme????

bib
20-10-2017 20:00:21

Justement pour 1 c'est ce que j'ai fait, et j'obtiens ceci:
$$
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]
=
\varphi(0). \lim_{\epsilon \to 0} [\ln(a)- \ln(\epsilon)+\ln(-\epsilon)-\ln(-a)]
$$
en sachant que $\lim_{\epsilon \to 0} \ln(\epsilon)=-\infty$, je suis un peu déroutée sur la façon dont tout ça nous donne la limite 0. Comment? S'il vous plaît.

Fred
20-10-2017 18:41:48

1. Tu peux calculer les deux intégrales!!!!
2. Oui, c'est bon.

bib
20-10-2017 18:09:05

Oui pardon, j'ai fait une erreur de frappe. Je reprend.
On fait le changement de variable $u=tx$ avec $t \in [0,1]$, et on a ainsi: $\displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du = x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Donc on a
$$
\dfrac{\varphi(x)}{x}= \dfrac{\varphi(0)}{x}+ \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
$$
on note $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$ et on a
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
J'ai deux questions s'il vous plaît.
1. Comment justifier le fait que $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$?
2. On a $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]= \displaystyle\int_{-a}^0 \psi(x) dx + \displaystyle\int_0^a \psi(x) dx= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx$.
C'est bon?

Fred
20-10-2017 14:54:32

Question1. Tu fais tendre epsilon vers 0 donc tu t'interesses quand même au comportement en 0.

Question 2. Tu fais des erreurs de calcul qui ne sont pas acceptables quand on étudie un sujet aussi avancé ! Tu as fait une erreur dans ton changement de variables  !

bib
20-10-2017 14:01:57

Si je comprend bien, on a pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$: $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi\rangle= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$.
On cherche à savoir si $vp \dfrac{1}{x}$ est une distribiution, et pour ça on commence par montrer qu'elle est bien définie, ce qui revient à voir si la limite de l'intégrale $\displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$ existe.
Question 1: ici l'intégrale n'est pas définie en 0, alors pourquoi on chercherait s'il y a des problèmes en 0?

On utilise le théorème fondamentale du calcul intégrale qui permet d'écrire $\varphi(x)= \varphi(0)+ \displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du$.
Quetion 2: qu'est ce qui nous amène ou nous fait penser à faire le changement de variable $u=x t$?

On a alors
$$
\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx
+ \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{t}{x} (\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt) dx.
$$
Comment on conclut proprement? S'il vous plaît.

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