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bib
27-10-2017 18:47:08

Alors pour montrer que $D^\alpha \psi_n(x)$ converge uniformément vers 0 si on suppose que $D^\alpha \varphi(0)=0$pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$.
Soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On a $D^\alpha \psi_n(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2}) D^\beta \varphi(x)$.

Tout d'abord, on remarque que $(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})'= -\dfrac{2 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2}$ et $(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})''= -2 n^2 \dfrac{1-x^2 +4 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^3}$.
1. à partir de là comment on peut construire une formule par reccurence qui montre que le degré en $n$ du numérateur est toujours injerieur à celui du dénominateur, ce qui montre que $D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Ensuite, pour montrer la convergence uniforme, on commence par soit $\epsilon > 0$ et on distingue deux cas:
2. si $|x| \leq \eta$ on a par contuité de $D^\beta \varphi(x)$ que $|D^\beta \varphi(x)| \leq \epsilon$. Mais que dire de $D^\alpha (\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$?
3. si $|x| > \eta$ dans ce cas on utilise le fait que $D^\beta \varphi(x)$ est bornée par $M$, mais que dire à propos de $D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$?
S'il vous plaît. Merci par avance pour votre aide.

Fred
26-10-2017 06:16:25

Tu sais, je n'ai pas un temps infini à te consacrer, et je te l'ai déjà dit, cet exercice me semble difficile (comment faire ensuite pour la dérivée seconde par exemple?), et en plus, j'ai l'impression que tu nous donnes des informations au fur et à mesure (au début, c'était étudier la convergence dans $\mathcal D(\mathbb R)$, ensuite c'est devenu montrer que ça converge si et seulement si $\varphi^{(k)}(0)=0$ pour tout $k$).

Concernant tes questions, d'abord je ne sais pas d'où vient ton $9n/8\sqrt 3$. Et c'est clair que la première chose que je ferai, c'est étudier les deux fonctions $2n^2x/( 1+(n^2x^2)^2)$ et $1/(1+n^2x^2)$ pour savoir quel est leur maximum et où il est atteint.

bib
25-10-2017 21:09:51

S'il vous plaît Fred vous pouvez m'aider à finir la solution de mon post 30 s'il vous plaît.

bib
25-10-2017 18:17:47

Je reprend. On a
$$
\psi'_n(x)= -\dfrac{2n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2} \varphi(x) +\dfrac{1}{1+ n^2 x^2} \varphi'(x)
$$
on suppose que $\varphi(0)= \varphi'(0)=0$.
Montrer que $(\psi'_n)$ est uniformément convergente revient à montrer que $\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 => |\psi'_n(x)| \leq \epsilon)$.
Soit $\epsilon > 0$. On a

\begin{align*}
\sup_{x \in K} |\psi'_n(x)| &\leq \sup_x |\dfrac{-2 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2}| \sup_x |\varphi(x)| + \sup_x |\dfrac{1}{1+n^2 x^2}| \sup_x |\varphi'(x)|\\
& \leq \dfrac{9n}{8\sqrt{3}} \sup_x |\varphi(x)| + \sup_x |\varphi'(x)|.
\end{align*}
Puisque $\varphi$ et $\varphi'$ sont continues et que $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$ alors on a $\forall \epsilon >0, \exists \eta > 0, \forall x: |x| \leq \eta => |\varphi(x)| \leq \epsilon$ et $|\varphi'(x)| \leq \epsilon$.
Donc si $x \in [-\eta,\eta]$ on a $\sup_x |\psi'_n(x)| \leq (  \dfrac{9n}{8\sqrt{3}}+1   ) \epsilon$.

J'ai deux difficultés s'il vous plaît.
1. Dans ce cas où $|x| \leq \eta$ comment conclure que $\sup_x |\psi'_n(x)| \leq \epsilon$ à partir d'un certain rang $n_0$? Surtout que $ \dfrac{9n}{8\sqrt{3}}+1 >1$.

2. Dans le cas où $|x| > \eta$ je ne comprend pas comment on fait, je n'y arrive pas. Pouvez vous me donner une méthode simple et intuitive pour raisonner?
Merci par avance pour votre aide.

Fred
25-10-2017 07:10:49

Dès que  $ n $ est assez grand  $ \eta>1/n^4 $  et donc la fonction  $ g $  est decroissante sur  $ [\eta,+\infty[ $ .
En passant je ne suis pas sûr de ce  $ 1/n^4 $ .

F

bib
24-10-2017 19:54:44

S'il vous plaît, je cherche à montrer que $\psi'_n$ converge uniformément si et seulement si $\varphi'(0)=0$.
On a
$$
\psi'_n(x)= \dfrac{-2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2} \varphi(x) + \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi'(x).
$$

1. La limite simple de $\psi'_n$ est $\varphi'(0)$ si $x=0$ et $0$ si $x \neq 0$.
La limite uniforme doit être continue, donc si on suppose que $\psi'_n$ converge uniformément vers $\psi$ alors on a nécessairement que $\varphi'(0)=0$.

2. On montre maintenant que si $\varphi'(0)=0$ alors $\psi'_n$ converge uniformément vers $\psi$.
Soit $\epsilon > 0$. Par continuité de $\varphi'$ et puisque $\varphi'(0)=0$, on a $\exists \eta > 0, \forall x \in [-\eta,\eta]: |\varphi'(x)| < \epsilon$.
on a aussi que $|\dfrac{1}{1+(nx)^2}| \leq 1$, $|\varphi(x)| < \epsilon$. Il reste à majorer $|-\dfrac{2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2}|$.
On pose $g(x)= -\dfrac{2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2}$ et on a $g'(x)= \dfrac{2n^2 -2 n^6 x^4}{(1+(nx)^2)^4}$. On trouve que $|g(x)| \leq |g(\dfrac{1}{n^4})| \leq 1$.
Donc on conclut que si $|x| \leq \eta$ alors $|\psi_n'(x)| < \epsilon$.
Maintenant si $|x| > \eta$, le terme $\dfrac{-2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2} \varphi(x)$ me pose problème, je ne sais pas comment le majorer dans ce cas.
Merci de m'aider s'il vous plaît à conclure et à améliorer la preuve.

Fred
23-10-2017 21:03:56
bib a écrit :

Bon je crois que j'ai fini par comprendre.
$\varphi$ est continue en 0 avec $\varphi(0)=0$ veut dire que pour tout $\epsilon > 0$, $\exists \eta >0: |x| < \eta: |\varphi(x)| < \epsilon$.
Alors soit $\epsilon > 0$, on a si $|x| < \eta: |\psi_n| \leq \epsilon$.
et si $|x| \geq \eta$ on a $\dfrac{1}{1 + x^2 \eta^2} \leq \dfrac{1}{1+n^2 \eta^2}$ donc $|\psi_n(x)| \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.

Ecris ainsi, tu ne prouves pas la convergence uniforme car tu écris simplement que $\psi_n(x)\to 0$ alors que ceci doit être uniforme. Tu dois fixer $N$ tel que, pour $n\geq N$, $1/(1+n^2\eta^2)\leq\varepsilon$ et dire que, pour tout $n\geq N$, et tout $x\in[-a,a]$, $|\psi_n(x)|\leq\varepsilon$.

On conclut que si $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ bornée, alors $(\psi_n)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Le problème maintenant est pour les dérivées. Comment on fait pour voir si pour tout $\alpha \in \mathbb{N}, D^\alpha \psi_n$ est uniformément convergente vers 0 ou non? S'il vous plaît.

Je ne sais pas immédiatement, et je n'ai pas plus envie de réfléchir à cela que la semaine passée!

bib
23-10-2017 20:51:33

Bon je crois que j'ai fini par comprendre.
$\varphi$ est continue en 0 avec $\varphi(0)=0$ veut dire que pour tout $\epsilon > 0$, $\exists \eta >0: |x| < \eta: |\varphi(x)| < \epsilon$.
Alors soit $\epsilon > 0$, on a si $|x| < \eta: |\psi_n| \leq \epsilon$.
et si $|x| \geq \eta$ on a $\dfrac{1}{1 + x^2 \eta^2} \leq \dfrac{1}{1+n^2 \eta^2}$ donc $|\psi_n(x)| \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.
On conclut que si $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ bornée, alors $(\psi_n)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Le problème maintenant est pour les dérivées. Comment on fait pour voir si pour tout $\alpha \in \mathbb{N}, D^\alpha \psi_n$ est uniformément convergente vers 0 ou non? S'il vous plaît.

Fred
23-10-2017 13:29:07

Tu veux appliquer la définition, tu fixes un $\varepsilon>0$ et tu veux montrer qu'il existe $N$ tel que, si $n\geq N$ et $x\in [-a,a]$, alors $|\psi_n(x)|<\varepsilon$.

La continuité te règle le cas $x\in[-\eta,\eta]$ : pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in [-\eta,\eta]$, alors $|\psi_n(x)|\leq\varepsilon$.

Si $x\notin  [-\eta,\eta]$, je ne vois pas comment faire mieux, sans te donner le corrigé, que de répéter ce que j'ai dit dans mon post précédent : Puisque $|x|\geq\eta$ (donc $x^2\geq \dots$), on peut majorer $\frac{1}{1+(nx)^2}$ par quelque chose de bien meilleur que 1.

bib
23-10-2017 13:25:11

Aidez moi s'il vous plaît, je suis complétement perdue.
Si $x \in [-\eta,\eta]$ alors $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$, et comment ça implique la convergence uniforme de $(\psi_n)$?
Ensuite si $|x| > \eta$, je ne sais plus comment faire pour montrer la convergence unifoeme de $(\psi_n)$ car il me reste $\sup_{x \in K}|\varphi(x)|$ au second membre et on ne saitr pas s'il tends vers 0 ou non. Comment le montrer s'il vous plaît.

Fred
23-10-2017 11:48:47

La continuité de $\varphi$ en $0$ te dit qu'il existe $\eta>0$ tel que si $x\in [-\eta,\eta]$ alors $|\varphi(x)|\leq \varepsilon$.
Ceci doit permettre de traiter le cas $x\in [-\eta,\eta]$.

Tu traites ensuite les cas $|x|>\eta$ à peu près comme tu l'as proposé, mais sachant que $|x|>\eta$, tu peux faire mieux que $\frac 1{1+(nx)^2}\leq 1$.

F.

bib
23-10-2017 09:41:17

Bonjour,
alors s'il vous plaît, est-ce que $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ borné impliquent la convergence uniforme de $(\psi_n)$?

bib
21-10-2017 21:56:48

Oui, j'ai oulblié le $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, je viens de réctifier.
S'il vous plaît, si on veut montrer que $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |\psi_n(x)|=0$. On doit montrer que pour tout $\epsilon >0$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq n_0$ on a $|\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|| \leq \epsilon$.
Si on suppose que $\varphi(0)=0$ en sachant que $\varphi$ est continue, comment ça peut nous aider à montrer que la limite est zéro? S'il vous plaît.

Fred
21-10-2017 21:34:55

Non cela n'implique pas la convergence uniforme et je pense que tu as oublié une partie dans la définition de ta fonctionn

bib
21-10-2017 19:04:38

Bonjour,
je reviens sur cet exercice. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ donc $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On considère la suite de fonctions $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$.
Je commence par étudier la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
On a
$$
\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq \sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|. \sup_{x \in K} |\varphi(x)|.
$$
On pose $\sup_{x \in K}|\varphi(x)|=M$ et on a $\sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|=1$. Donc on en déduit que $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq M$ où $M=\sup_{x \in K} |\varphi(x)|$.
On a obtenu une majoration constante de $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|$ mais cela n'implique pas que la suite $(\psi_n)$ converge uniformément. Non?
et puis c'est quoi la relation avec l'hypothèse $\varphi(0)=0$? S'il vous plaît. Je ne comprend pas.

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