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Fred
29-09-2017 21:23:36

Du même genre, je ne sais pas trop.
Il y a sur cette page du site quelques exercices sur les fonctions test.

F.

bib
29-09-2017 18:36:30

Merci beaucoup, c'est enfin réglé et j'ai bien compris comment on résout l'exercice. Mais il était très compliqué pour moi au début car sans aucune indication.
Pouvez vous s'il vous plaît me proposer un exercice du même genre, avec une indication qui donne une piste mais pas qui rende l'exercice trop simple.
Merci beaucoup par avance pour votre aide.

Fred
28-09-2017 20:09:48
bib a écrit :

1. On ne sait pas que $\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$. On sait seulement que c'est une constante, et on pose cette constante $1$. Non?

Tu peux aussi poser $v(x)=\frac 1{\int_{-1}^1 \varphi(t)dt}\times\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt$.

2. et sur $[1/2,1]$ comment on trouve $\psi$? S'il vous plaît.

Là, je trouve que tu exagères, quelle est la différence par rapport à ce que j'ai fait avant sur les autres intervalles!?!?

3. Mon souci est que $\psi$ doit est de classe $C^\infty$ aux points $-1/2, -1, 1/2$ et 1. Comment on vois que c'est vérifié? S'il vous plaît.

$v$ est $C^\infty$ non? (c'est une primitive d'une fonction $C^\infty$). Donc $\psi(x)=v(ax+b)v(cx+d)$ (pour $x\in\mathbb R$) est de classe $C^\infty$!!! C'est la même formule pour tout $x\in\mathbb R$!!!!!

bib
28-09-2017 18:11:42

1. On ne sait pas que $\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$. On sait seulement que c'est une constante, et on pose cette constante $1$. Non?
2. et sur $[1/2,1]$ comment on trouve $\psi$? S'il vous plaît.
3. Mon souci est que $\psi$ doit est de classe $C^\infty$ aux points $-1/2, -1, 1/2$ et 1. Comment on vois que c'est vérifié? S'il vous plaît.

Fred
28-09-2017 13:01:59
bib a écrit :

Bonjour,
voilà, j'ai rédigé une solution complète.
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$.
On a: $\forall x \leq -1: v(x)=0$ et on pose $\forall x \geq 1: v(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$.

Pourquoi ce dernier "on pose". "On sait" serait plus approprié

On pose $\psi(x)= v(ax+b)v(cx+d)$ avec $a,b,c$ et $d$ des constantes réelles tels que $\forall x \in ]-\infty,-1]: v(ax+b)=0$,
$\forall x \in [-1/2,+\infty[: v(ax+b)=1$, et $\forall x \in ]-\infty,1/2]: v(cx+d)=1$ et $\forall x \in [1,+\infty[: v(cx+d)=0$.
on trouve que $a=4$, $b=3$, $c=-4$ et $d=3$.
Donc, $$\psi(x)= v(4x+3)v(-4x+3)$$
On remarque que $\psi \in C^\infty(\mathbb{R})$, mais je ne sais pas comment calculer le support, et aussi que dire à propos de la fonction sur les intervalles $[-1,-1/2]$ et $[1/2,1]$ s'il vous plaît.

Tu n'as qu'à séparer les cas :
* si $x\leq -1$, alors $4x+3\leq -1$ et donc $v(4x+3)=0$, donc $\psi(x)=0$.
* si $x\in]-1,-1/2[$ alors $-1< 4x+3$ et $-1<-4x+3$ ce qui prouve que $\psi(x)\neq 0$.
* si $x\in [-1/2,1/2]$ alors $4x+3\geq 1$ et donc $v(4x+3)=1$ tandis que $-4x+3\geq 1$ et donc $v(-4x+3)=1$. Finalement, $\psi(x)=1$.
* et ainsi de suite....

Je pense qu'il faudrait que tu fasses un dessin avec la fonction v et les fonctions $v(4x+3)$, $v(-4x+3)$ pour comprendre ce qui se passe.

F.

bib
28-09-2017 12:32:18

Bonjour,
voilà, j'ai rédigé une solution complète.
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$.
On a: $\forall x \leq -1: v(x)=0$ et on pose $\forall x \geq 1: v(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$.
On pose $\psi(x)= v(ax+b)v(cx+d)$ avec $a,b,c$ et $d$ des constantes réelles tels que $\forall x \in ]-\infty,-1]: v(ax+b)=0$,
$\forall x \in [-1/2,+\infty[: v(ax+b)=1$, et $\forall x \in ]-\infty,1/2]: v(cx+d)=1$ et $\forall x \in [1,+\infty[: v(cx+d)=0$.
on trouve que $a=4$, $b=3$, $c=-4$ et $d=3$.
Donc, $$\psi(x)= v(4x+3)v(-4x+3)$$
On remarque que $\psi \in C^\infty(\mathbb{R})$, mais je ne sais pas comment calculer le support, et aussi que dire à propos de la fonction sur les intervalles $[-1,-1/2]$ et $[1/2,1]$ s'il vous plaît.

Fred
27-09-2017 09:00:25

Je pense que toutes les explications nécessaires sont dans mon post #15.

bib
27-09-2017 08:50:40

et pour l'expression de $\psi$ sur les intervalles $[-1/2,-1]$ et $[1/2,1]$? Qu'est ce qu'on dit? S'il vous plaît.

Fred
26-09-2017 21:33:17

Parce que si je compare le graphe de $v$ et celui de $w$, je veux faire une homothétie (mais seulement sur l'axe des abscisses) pour passer de l'un à l'autre. Et une homothétie, cela s'écrit bien $x\mapsto ax+b$.

bib
26-09-2017 21:27:56

Super!C'est compris.
J'ai une question s'il vous plaît. Pourquoi avoir choisit exactement d'appliquer $v$ à $ax+b$ pour obtenir ce qu'on cherche?
Et aussi, qu'en est-il des intervalles $[-1/2,1]$ et $[1/2,1]$?

Fred
26-09-2017 21:18:58

Si $a(-1)+b=-1$ et $a(-1/2)+b=1$, tu as les propriétés voulues....

bib
26-09-2017 21:10:36

Ok, alors on a:
$$
v(a(-1)+b)=0 => \displaystyle\int_{-1}^{-a+b} \varphi(t) dt =0
$$
et
$$
v(a(-1/2)+b)=1 =>  \displaystyle\int_{-1}^{a(-1/2)+b} \varphi(t) dt =1
$$
mais on ne connaît pas une primitive de $\varphi$, alors comment est-ce qu'on peut continuer le calcul? S'il vous plaît.

Fred
26-09-2017 20:03:01

Je ne crois pas avoir écrit cela (relis bien mon post #7).
Je suis d'accord avec toi, pour $v(a(-1)+b)=0$ et $v(a(-1/2)+b)=1$.

bib
26-09-2017 18:51:15

Ok, j'ai compris l'idée, merci beaucoup beaucoup.
Il me reste les calculs. On pose $w(x)=v(ax+b)$, et vous avez dit que $w$ nulle jusqu'à -1 et constante à partir de $-1/2$ veut dire que $v(a(-1)+b)=1$ et $v(a(-1/2)+b)=1$. Je ne comprend pas  pourquoi?
Moi je dit que $w$ est nulle en $-1$ veut dire que $v(a(-1)+b)=0$  et $w$ vaut 1 en $-1/2$ veut dire que $v(a(-1/2)+b)=1$. Non?

Fred
26-09-2017 12:18:39

Pourquoi supprimes-tu $\int_{-1}^1\varphi(t)dt$??? Si on a supposé que $\varphi$ est strictement positive sur $]-1,1[$, alors en aucun cas cette intégrale ne pourrait être nulle. J'ai supposé (quitte à multiplier $\varphi$ par une constante), que $\int_{-1}^1\varphi(t)dt=1$.

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